18.含双层绝对值的分段函数图象绘制与值域求解【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 18.含双层绝对值的分段函数图象绘制与值域求解【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合辨析） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】双层绝对值函数的定义 ￮定义表述：形如或的函数称为双层绝对值函数，其本质是嵌套了两次绝对值变换的复合分段函数，需通过逐层去绝对值符号转化为分段函数研究。 ￮数学符号/表达式： 以一次双层绝对值函数为例，为常数， 去绝对值后为分段函数： ￮关键特征：函数图象由多段直线或抛物线组成，存在多个“折点”（绝对值零点处）；值域需结合各分段区间的函数最值综合判断。 ￮跨章节关联：关联绝对值的几何意义、分段函数的图象与性质，适用于一次、二次函数嵌套双层绝对值的场景。 2. 【概念2】双层绝对值函数的零点与折点 ￮定义表述：双层绝对值函数的零点是使函数值为的取值，满足即；折点是绝对值内表达式为的取值，包括内层绝对值零点（）和外层绝对值零点（），折点是图象单调性发生改变的点。 ￮数学符号/表达式： 对于，内层零点为，外层零点为，折点坐标为、、。 ￮关键特征：折点数量由内外层绝对值的零点数量决定；零点一定是折点，但折点不一定是零点。 ￮跨章节关联：关联函数的零点存在性定理、分段函数的分界点，是绘制函数图象的核心依据。 三、题型分类与例题精析 题型1： 一次型双层绝对值函数的图象绘制与值域求解 题型特征：函数由一次函数嵌套双层绝对值构成，形如，图象为“W”字形或“M”字形折线，存在3个折点。 解题步骤： 1. 求折点坐标：分别求内层绝对值零点和外层绝对值零点，计算对应值得到3个折点； 2. 写分段解析式：根据折点划分区间，逐层去绝对值写出各区间的分段函数解析式； 3. 绘图象求值域：根据分段解析式绘制折线图象，结合图象各段的最值确定函数值域。 例题1 绘制函数的图象，并求其值域。 解析： 第一步：求折点坐标 内层绝对值零点：令，得，代入函数得，折点为； 外层绝对值零点：令，得，解得或，代入函数得，折点为、。 第二步：写分段解析式 根据折点将定义域分为三个区间： · 当时，，，故； · 当时，，分两小层： · 时，，； · 时，，； · 当时，，，故。 综上，分段解析式为： 第三步：绘图象求值域 根据分段解析式绘制图象：以、、为折点的“W”字形折线； 各区间取值范围：时；时；时；时。 取并集得函数值域为。 答案：图象为以、、为折点的“W”字形折线，值域为。 举一反三1-1 绘制函数的图象，并求其值域。 解析： 第一步：求折点坐标 内层零点，折点；外层零点，解得或，折点、。 第二步：写分段解析式 第三步：绘图象求值域 图象为以、、为折点的“W”字形折线；各区间取值范围的并集为。 答案：图象为“W”字形折线，值域为。 举一反三1-2 绘制函数的图象，并求其值域。 解析： 第一步：求折点坐标 内层零点，得，折点；外层零点，解得或，折点、。 第二步：写分段解析式 第三步：绘图象求值域 图象为“W”字形折线；各区间取值范围的并集为。 答案：图象为“W”字形折线，值域为。 举一反三1-3 绘制函数的图象，并求其值域。 解析： 第一步：求折点坐标 内层零点，得，折点；外层零点，解得，折点。 第二步：写分段解析式 第三步：绘图象求值域 图象关于轴对称，为“W”字形折线；各区间取值范围的并集为。 答案：图象为关于轴对称的“W”字形折线，值域为。 题型2： 二次型双层绝对值函数的图象绘制与值域求解 题型特征：函数由二次函数嵌套双层绝对值构成，形如，图象关于轴对称，需先研究的部分再对称到左侧。 解题步骤： 1. 研究右侧区间：当时，，函数转化为，按单层绝对值二次函数绘制右侧图象； 2. 对称左侧图象：将的图象沿轴对称复制到的区域； 3. 整合图象求值域：根据完整图象分析各区间的最值，确定函数值域。 例题2 绘制函数的图象，并求其值域。 解析： 第一步：研究右侧区间（） 当时，，函数转化为； 内层二次函数零点为、（舍去负根），顶点为； 单层绝对值翻折后，右侧解析式为： 右侧图象以、为关键点的折线与抛物线弧。 第二步：对称左侧图象 将的图象沿轴对称复制到的区域，左侧解析式为： 第三步：整合图象求值域 完整图象关于轴对称，为“W”字形与抛物线弧结合的图形； 各区间取值范围：或时；时。 取并集得函数值域为。 答案：图象为关于轴对称的复合图形，值域为。 举一反三2-1 绘制函数的图象，并求其值域。 解析： 第一步：研究右侧区间（） 时，，右侧图象关键点为、。 第二步：对称左侧图象 沿轴对称得的解析式：。 第三步：整合图象求值域 图象关于轴对称，为“W”字形；取值范围的并集为。 答案：图象为关于轴对称的“W”字形，值域为。 举一反三2-2 绘制函数的图象，并求其值域。 解析： 第一步：研究右侧区间（） 时，，右侧解析式为： 关键点为、、。 第二步：对称左侧图象 沿轴对称得到的图象。 第三步：整合图象求值域 图象关于轴对称，取值范围的并集为。 答案：图象为关于轴对称的复合图形，值域为。 举一反三2-3 绘制函数的图象，并求其值域。 解析： 第一步：研究右侧区间（） 时，，关键点为、、。 第二步：对称左侧图象 沿轴对称得到的图象。 第三步：整合图象求值域 图象关于轴对称，取值范围的并集为。 答案：图象为关于轴对称的“W”字形，值域为。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析：函数图象为“W”字形，折点为、、，最小值为，选A。 答案：A 2. 多选题 关于函数的说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 图象关于轴对称 C. 值域为 D. 单调递增区间为 解析：函数满足，是偶函数，A正确；图象关于轴对称，B正确；值域为，C正确；单调递增区间为和，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 函数的零点为______。 解析：令，得，解得，即或。 答案：和 4. 解答题 (1) 绘制函数的图象，并求其值域。 解析：折点为、、，分段解析式为；图象为“W”字形，值域为。 答案：图象为“W”字形折线，值域为。 (2) 绘制函数的图象，并求其值域。 解析：时，对称到左侧后图象关于轴对称；值域为。 答案：图象为关于轴对称的“W”字形，值域为。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 若函数的图象关于直线对称，且最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析：图象关于对称，故；最小值为则，的最小值为（趋近于），选A。 答案：A 2. 多选题 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 解析：时，单调递减区间为；对称到左侧得，结合选项选BC。 答案：BC 3. 填空题 若函数的值域为，则的值为______。 解析：函数最小值为，最大值为，故。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的图象过点和，求的值并绘制图象。 解析：代入点得即，即，解得；函数为，折点为、、，图象为“W”字形。 答案：，图象略。 (2) 绘制函数的图象，并求其单调递增区间。 解析：时，对称到左侧后图象关于轴对称；单调递增区间为和。 答案：图象为关于轴对称的复合图形，单调递增区间为和。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 18.含双层绝对值的分段函数图象绘制与值域求解【拔高】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合辨析） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】双层绝对值函数的定义 ￮定义表述：形如或的函数称为双层绝对值函数，其本质是嵌套了两次绝对值变换的复合分段函数，需通过逐层去绝对值符号转化为分段函数研究。 ￮数学符号/表达式： 以一次双层绝对值函数为例，为常数， 去绝对值后为分段函数： ￮关键特征：函数图象由多段直线或抛物线组成，存在多个“折点”（绝对值零点处）；值域需结合各分段区间的函数最值综合判断。 ￮跨章节关联：关联绝对值的几何意义、分段函数的图象与性质，适用于一次、二次函数嵌套双层绝对值的场景。 2. 【概念2】双层绝对值函数的零点与折点 ￮定义表述：双层绝对值函数的零点是使函数值为的取值，满足即；折点是绝对值内表达式为的取值，包括内层绝对值零点（）和外层绝对值零点（），折点是图象单调性发生改变的点。 ￮数学符号/表达式： 对于，内层零点为，外层零点为，折点坐标为、、。 ￮关键特征：折点数量由内外层绝对值的零点数量决定；零点一定是折点，但折点不一定是零点。 ￮跨章节关联：关联函数的零点存在性定理、分段函数的分界点，是绘制函数图象的核心依据。 三、题型分类与例题精析 题型1： 一次型双层绝对值函数的图象绘制与值域求解 题型特征：函数由一次函数嵌套双层绝对值构成，形如，图象为“W”字形或“M”字形折线，存在3个折点。 解题步骤： 1. 求折点坐标：分别求内层绝对值零点和外层绝对值零点，计算对应值得到3个折点； 2. 写分段解析式：根据折点划分区间，逐层去绝对值写出各区间的分段函数解析式； 3. 绘图象求值域：根据分段解析式绘制折线图象，结合图象各段的最值确定函数值域。 例题1 绘制函数的图象，并求其值域。 举一反三1-1 绘制函数的图象，并求其值域。 举一反三1-2 绘制函数的图象，并求其值域。 举一反三1-3 绘制函数的图象，并求其值域。 题型2： 二次型双层绝对值函数的图象绘制与值域求解 题型特征：函数由二次函数嵌套双层绝对值构成，形如，图象关于轴对称，需先研究的部分再对称到左侧。 解题步骤： 1. 研究右侧区间：当时，，函数转化为，按单层绝对值二次函数绘制右侧图象； 2. 对称左侧图象：将的图象沿轴对称复制到的区域； 3. 整合图象求值域：根据完整图象分析各区间的最值，确定函数值域。 例题2 绘制函数的图象，并求其值域。 举一反三2-1 绘制函数的图象，并求其值域。 举一反三2-2 绘制函数的图象，并求其值域。 举一反三2-3 绘制函数的图象，并求其值域。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数的说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 图象关于轴对称 C. 值域为 D. 单调递增区间为 3. 填空题 函数的零点为______。 4. 解答题 (1) 绘制函数的图象，并求其值域。 (2) 绘制函数的图象，并求其值域。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 若函数的图象关于直线对称，且最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 填空题 若函数的值域为，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知函数的图象过点和，求的值并绘制图象。 (2) 绘制函数的图象，并求其单调递增区间。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $