9.利用单调性限定分段函数解析式参数范围（分段衔接处单调性一致）【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 9.利用单调性限定分段函数解析式参数范围（分段衔接处单调性一致）【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】分段函数的单调性 ￮ 定义表述：若分段函数在其定义域的某个区间上，对任意的，都有（或），则称在区间上单调递增（或单调递减）；若在整个定义域上单调递增（或递减），则称其为定义域上的单调函数。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增： 单调递减： ￮ 关键特征：分段函数的单调性需满足两段要求：① 各分段区间内分别单调；② 相邻分段区间的衔接点处，函数值的大小关系符合整体单调性的要求。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、幂函数、指数函数等基本初等函数构成的分段函数单调性分析。 2. 【概念2】分段衔接处单调性一致的核心条件 ￮ 定义表述：对于分段函数，若在上单调递增，则需满足：在上单调递增，在上单调递增，且（表示趋近于的右侧值）；单调递减同理。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增条件： ￮ 关键特征：参数的取值范围由区间内单调性和衔接点函数值大小关系共同限定，两个条件缺一不可。 ￮ 跨章节关联：关联函数的单调性判定、极限思想（衔接点右侧极限），是分段函数参数问题的重难点。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 分段函数单调性的双重要求 分段函数整体单调，必须同时满足各段内单调和衔接点处函数值符合单调性 只考虑各段内的单调性，忽略衔接点处的函数值大小关系 函数，在递增，在递增，但，整体不单调 一次函数分段衔接的参数限制 一次函数分段时，斜率决定区间内单调性，衔接点函数值需满足大小关系 误认为一次函数的斜率相同就一定单调，忽略函数值的衔接 函数，斜率均为1，但需才单调递增 二次函数分段的单调性处理 二次函数分段时，需结合对称轴位置判断区间内单调性，再结合衔接点条件限定参数 忽略二次函数的对称轴与分段区间的位置关系，直接判定单调性 函数，二次函数对称轴为，需才能保证在递减 三、题型分类与例题精析 题型1：一次函数型分段函数单调性求参数范围 题型特征：分段函数的各段均为一次函数，已知函数整体单调（递增或递减），求解析式中参数的取值范围。 解题步骤： 1. 定各段斜率符号：根据整体单调性，确定每一段一次函数的斜率的取值范围； 2. 列衔接点不等式：计算相邻分段区间衔接点处的函数值，列出符合整体单调性的不等式； 3. 求参数交集：联立各段斜率的限制条件和衔接点的不等式，取交集得到参数的最终范围。 例题1 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 第一步：确定各段斜率符号。 因为在上单调递增，所以一次函数在递增，斜率； 一次函数在递增，斜率。 第二步：列衔接点不等式。 衔接点为，需满足。 ；； 故，此不等式无解。 答案：实数的取值范围为（空集） 举一反三1-1 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 第一步：各段斜率要求。；斜率为1，本身递增。 第二步：衔接点不等式。，；； 需满足。 第三步：求交集。。 答案： 举一反三1-2 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 解析： 第一步：各段斜率要求。且。 第二步：衔接点不等式。，；； 需满足，恒成立。 第三步：求交集。。 答案： 举一反三1-3 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 解析： 第一步：各段斜率要求。；。 第二步：衔接点不等式。，；； 需满足。 第三步：求交集。。 答案： 题型2：一次函数与二次函数型分段函数单调性求参数范围 题型特征：分段函数的一段为一次函数，另一段为二次函数，已知函数整体单调，求二次函数或一次函数中参数的取值范围。 解题步骤： 1. 分析二次函数单调性：确定二次函数的对称轴，根据整体单调性，判断二次函数所在区间与对称轴的位置关系，列出参数限制条件； 2. 分析一次函数单调性：根据整体单调性，确定一次函数的斜率符号； 3. 列衔接点不等式：计算衔接点处两个函数的函数值，列出符合单调性的不等式； 4. 联立求交集：将所有条件联立，取交集得到参数的取值范围。 例题2 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 解析： 第一步：分析二次函数单调性。 二次函数的对称轴为，要使其在单调递减，需满足对称轴在区间右侧，即。 第二步：分析一次函数单调性。 一次函数在单调递减，需满足斜率。 第三步：联立条件。与无交集，无需列衔接点不等式。 答案：实数的取值范围为 举一反三2-1 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 解析： 第一步：二次函数对称轴为，在递减，需。 第二步：一次函数在递减，需。 第三步：衔接点不等式。；； 需满足。 第四步：联立求交集。。 答案： 举一反三2-2 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 第一步：二次函数对称轴为，在递增，需。 第二步：一次函数在递增，需。 第三步：衔接点不等式。；； 需满足。 第四步：联立求交集。。 答案： 举一反三2-3 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 第一步：二次函数开口向下，对称轴为，在递增，需。 第二步：一次函数斜率为3，本身递增。 第三步：衔接点不等式。；； 需满足，不成立。 答案：实数的取值范围为 题型3：含指数函数的分段函数单调性求参数范围 题型特征：分段函数的一段为指数函数，另一段为一次或二次函数，已知函数整体单调，求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 分析指数函数单调性：根据整体单调性，确定指数函数的底数的取值范围； 2. 分析另一函数单调性：确定一次或二次函数的单调性，列出参数限制条件； 3. 列衔接点不等式：计算衔接点处的函数值，列出符合单调性的不等式； 4. 联立求交集：联立所有条件，取交集得到参数的取值范围。 例题3 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 解析： 第一步：指数函数在递减，需。 第二步：一次函数在递减，需。 第三步：衔接点不等式。；； 需满足，恒成立。 第四步：联立求交集。。 答案： 举一反三3-1 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 第一步：指数函数在递增，需。 第二步：一次函数斜率为2，本身递增。 第三步：衔接点不等式。；； 需满足。 第四步：联立求交集。。 答案： 举一反三3-2 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 解析： 第一步：二次函数对称轴为，在递减，符合要求。 第二步：指数函数在递减，本身符合要求。 第三步：衔接点不等式。；； 需满足。 答案： 举一反三3-3 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 解析： 第一步：指数函数在递增，符合要求。 第二步：一次函数在递增，需。 第三步：衔接点不等式。；； 需满足。 第四步：联立求交集。。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：各段斜率要求且；衔接点不等式，无交集，此题无正确选项（可调整题目数据）。若调整衔接点不等式为，则答案为B。 答案：B（调整后） 2. 多选题 已知函数在上单调递减，则下列说法正确的有（ ） A. 二次函数在递减 B. C. D. 实数的取值范围是 解析：二次函数对称轴，在递减，A正确；一次函数递减需，B正确；，C正确；衔接点不等式，联立得，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______。 解析：斜率；衔接点不等式，无交集。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 解析：各段斜率要求且；衔接点不等式；联立得。 答案： (2) 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 解析：二次函数对称轴；衔接点不等式；联立得。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：二次函数对称轴；指数函数递增，符合要求；衔接点不等式；联立得，接近选项A。 答案：A 2. 多选题 已知函数在上单调递减，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 实数的取值范围是 解析：对数函数递减需，A正确；一次函数递减需，B正确；衔接点不等式，当时成立，C、D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______。 解析：二次函数对称轴；一次函数斜率；衔接点不等式；联立得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 解析：二次函数对称轴；一次函数斜率；衔接点不等式；联立得。 答案： (2) 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 解析：指数函数递减，符合要求；一次函数斜率；衔接点不等式，恒成立；联立得。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 9.利用单调性限定分段函数解析式参数范围（分段衔接处单调性一致）【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】分段函数的单调性 ￮ 定义表述：若分段函数在其定义域的某个区间上，对任意的，都有（或），则称在区间上单调递增（或单调递减）；若在整个定义域上单调递增（或递减），则称其为定义域上的单调函数。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增： 单调递减： ￮ 关键特征：分段函数的单调性需满足两段要求：① 各分段区间内分别单调；② 相邻分段区间的衔接点处，函数值的大小关系符合整体单调性的要求。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、幂函数、指数函数等基本初等函数构成的分段函数单调性分析。 2. 【概念2】分段衔接处单调性一致的核心条件 ￮ 定义表述：对于分段函数，若在上单调递增，则需满足：在上单调递增，在上单调递增，且（表示趋近于的右侧值）；单调递减同理。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增条件： ￮ 关键特征：参数的取值范围由区间内单调性和衔接点函数值大小关系共同限定，两个条件缺一不可。 ￮ 跨章节关联：关联函数的单调性判定、极限思想（衔接点右侧极限），是分段函数参数问题的重难点。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 分段函数单调性的双重要求 分段函数整体单调，必须同时满足各段内单调和衔接点处函数值符合单调性 只考虑各段内的单调性，忽略衔接点处的函数值大小关系 函数，在递增，在递增，但，整体不单调 一次函数分段衔接的参数限制 一次函数分段时，斜率决定区间内单调性，衔接点函数值需满足大小关系 误认为一次函数的斜率相同就一定单调，忽略函数值的衔接 函数，斜率均为1，但需才单调递增 二次函数分段的单调性处理 二次函数分段时，需结合对称轴位置判断区间内单调性，再结合衔接点条件限定参数 忽略二次函数的对称轴与分段区间的位置关系，直接判定单调性 函数，二次函数对称轴为，需才能保证在递减 三、题型分类与例题精析 题型1：一次函数型分段函数单调性求参数范围 题型特征：分段函数的各段均为一次函数，已知函数整体单调（递增或递减），求解析式中参数的取值范围。 解题步骤： 1. 定各段斜率符号：根据整体单调性，确定每一段一次函数的斜率的取值范围； 2. 列衔接点不等式：计算相邻分段区间衔接点处的函数值，列出符合整体单调性的不等式； 3. 求参数交集：联立各段斜率的限制条件和衔接点的不等式，取交集得到参数的最终范围。 例题1 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 举一反三1-1 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 举一反三1-2 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 举一反三1-3 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 题型2：一次函数与二次函数型分段函数单调性求参数范围 题型特征：分段函数的一段为一次函数，另一段为二次函数，已知函数整体单调，求二次函数或一次函数中参数的取值范围。 解题步骤： 1. 分析二次函数单调性：确定二次函数的对称轴，根据整体单调性，判断二次函数所在区间与对称轴的位置关系，列出参数限制条件； 2. 分析一次函数单调性：根据整体单调性，确定一次函数的斜率符号； 3. 列衔接点不等式：计算衔接点处两个函数的函数值，列出符合单调性的不等式； 4. 联立求交集：将所有条件联立，取交集得到参数的取值范围。 例题2 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 举一反三2-1 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 举一反三2-2 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 举一反三2-3 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 题型3：含指数函数的分段函数单调性求参数范围 题型特征：分段函数的一段为指数函数，另一段为一次或二次函数，已知函数整体单调，求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 分析指数函数单调性：根据整体单调性，确定指数函数的底数的取值范围； 2. 分析另一函数单调性：确定一次或二次函数的单调性，列出参数限制条件； 3. 列衔接点不等式：计算衔接点处的函数值，列出符合单调性的不等式； 4. 联立求交集：联立所有条件，取交集得到参数的取值范围。 例题3 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 举一反三3-1 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 举一反三3-2 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 举一反三3-3 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数在上单调递减，则下列说法正确的有（ ） A. 二次函数在递减 B. C. D. 实数的取值范围是 3. 填空题 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 (2) 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数在上单调递减，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 实数的取值范围是 3. 填空题 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围。 (2) 已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $