专题06 等腰三角形与直角三角形、轴对称（期末复习专项训练，14大题型）八年级数学上学期新教材北京版

专题06 等腰三角形与直角三角形、轴对称 题型1 等腰三角形（易错点） 题型8 直角三角形 题型2 等边对等角（常考点） 题型9 HL判定三角形全等 题型3 三线合一 题型10 尺规作图 题型4 等边三角形的性质 题型11 逆命题、逆定理 题型5 含30°角的直角三角形 题型12 轴对称图形 题型6 等腰三角形的判定（难点） 题型13 画轴对称图形（易错点） 题型7 等边三角形的判定（难点） 题型14 轴对称的应用（难点） 题型一 等腰三角形（共3小题） 1．设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 2．等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（    ） A．4与4 B．6与6 C．4与8 D．6与6或4与8 3．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 等边对等角（共3小题） 4．已知：如图，在中，，，垂直平分，交于点，连接，求的度数． 5．如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是 ． 6．如图，在 中， ，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线 交 于点 D，连接．若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 题型三 三线合一（共3小题） 7．如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 8．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：； (2)当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形． ②猜想的大小，并证明． 题型四 等边三角形的性质（共3小题） 10．如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，与相交于点． (1)试说明； (2)求的度数． 11．如图，在等边中，，分别在，上移动，且，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D．不能确定 12．在中，，以为边在同侧作等边，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，在上截取，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 题型五 含30°角的直角三角形（共3小题） 13．如图，在等边中，，相交于点F． (1)求的度数； (2)过点B作，垂足为G．若，，则的长为 14．如图，等边中，，与交于，，垂足为，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．如图，是等边三角形，分别是边 上的点，且，且交于点，且 ，垂足为 ． (1)求证：； (2)若 ，求 的长度． 题型六 等腰三角形的判定（共3小题） 16．如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①； ②为等腰三角形； ③的周长等于的周长； ④．其中正确的是           17．如图，在中，平分，点E是上一点，，且．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 18．如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 题型七 等边三角形的判定（共3小题） 19．如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 20．如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点、．    (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 21．在中，，，点关于直线的对称点为点，连接，以为边，作等边，且点与点在直线的同侧，作射线，交直线于点，连接． (1)如图，若， ①当时，则________，________； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明； (2)如图，若，直接用等式表示线段，与之间的数量关系． 题型八 直角三角形（共3小题） 22．如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 23．已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．    (1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； (2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 24．已知：如图，在中，，设，，如果． (1)求证：是等边三角形； (2)的中线，交于点O，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 题型九 HL判定三角形全等（共3小题） 25．如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 26．如图中，，，D是边上一点，连接，垂足为点C，且，交线段于点F． (1)在图1中画出符合题意的图形，并证明； (2)当时，求证：平分． 27．在 中 ，平分交 于 ，的两边分别与, 相交于，两点，且. （1）如图，若， ，， ，.   ①写出 °，的长是 . ②求四边形的周长. （2）如图，过作于，作于，先补全图乙再证明. 题型十 尺规作图（共3小题） 28．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 29．下面是“作的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D； （2）分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线． 上述方法通过判定，得到，其中判定的依据是（    ） A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 30．如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是（    ） ①；②是等边三角形；③；④． A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 题型十一 逆命题、逆定理（共3小题） 31．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 32．命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，它的逆命题是 ． 33．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 ． 题型十二 轴对称图形（共3小题） 34．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 35．篆体是古代汉字书体，下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 36．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型十三 画轴对称图形（共3小题） 37．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上． (1)若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为，则满足条件的点C有 个． (2)选取其中一个C点作，作出关于直线L对称的图形． 38．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 39．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，求的度数（用含的式子表示）； (3)判断，，之间的数量关系，并证明． 题型十四 轴对称的应用（共3小题） 40．如图1，将正方形纸片的，分别沿，折叠，使点A，C分别落在，处，且点与点重合． 如图2，将该纸片展平后，将，分别沿，再折叠，使点A，C分别落在上的点处和上的点处． 如图3，纸片展平后，将和分别记为和，则和的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 41．如图，点，分别在长方形纸片的边，上，将纸片沿对折，点，分别落在点，，交于点．若，则 （用含的式子表示）． 42．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等腰三角形与直角三角形、轴对称 题型1 等腰三角形（易错点） 题型8 直角三角形 题型2 等边对等角（常考点） 题型9 HL判定三角形全等 题型3 三线合一 题型10 尺规作图 题型4 等边三角形的性质 题型11 逆命题、逆定理 题型5 含30°角的直角三角形 题型12 轴对称图形 题型6 等腰三角形的判定（难点） 题型13 画轴对称图形（易错点） 题型7 等边三角形的判定（难点） 题型14 轴对称的应用（难点） 题型一 等腰三角形（共3小题） 1．设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 2．等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（    ） A．4与4 B．6与6 C．4与8 D．6与6或4与8 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分情况讨论边长为4的是腰或底边，并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）进行验证． 【详解】解：由题意，当边长为4的边为腰时，三角形的底边为， 但，不能构成三角形，不符合题意； 当边长为4的边为底边时，则等腰三角形的腰长为； 故另两边的长是6与6； 故选：B． 3．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 题型二 等边对等角（共3小题） 4．已知：如图，在中，，，垂直平分，交于点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质和内角和定理，由等腰三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，即得，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，，再设，根据三角形的外角性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形的内角和定理可得，求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 6．如图，在 中， ，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线 交 于点 D，连接．若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角．由作图可知：平分，由线段垂直平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型三 三线合一（共3小题） 7．如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，先根据等腰三角形三线合一的性质可得，则，再由等边对等角得，最后通过三角形的外角性质即可求解，然后再运用角的和差即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 8．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 9．在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：； (2)当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形． ②猜想的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)选择图2：①补全图形见解析，②猜想．证明见解析 【分析】（1）根据题意得，由旋转的性质得是等边三角形，即可证明； （2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想．过点作于点，连接，则有、和，根据题意有，由（1）可知是等边三角形，即可证得，即可证明猜想． 【详解】（1）证明，，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形． ， ， 则； （2）选择图2： ①补全图形如图所示： ②猜想． 如图，过点作于点，连接， 则， ，， ，， ， 为线段中点， ， ． 由（1）可知是等边三角形， ，， ， 在利中， ， ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等． 题型四 等边三角形的性质（共3小题） 10．如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，与相交于点． (1)试说明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，结合，然后利用“”即可证明； （2）由全等的性质可得，进而利用外角的性质得到，然后等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在和中， ； （2）解：， ， ． 11．如图，在等边中，，分别在，上移动，且，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，因为，可得． 【详解】解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 12．在中，，以为边在同侧作等边，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，在上截取，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，证明得出，即可得解； （2）由等边三角形的性质可得，，再证明，从而可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型五 含30°角的直角三角形（共3小题） 13．如图，在等边中，，相交于点F． (1)求的度数； (2)过点B作，垂足为G．若，，则的长为 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由外角的性质可求解； （2）由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∴， 故答案为：7． 14．如图，等边中，，与交于，，垂足为，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质，，得到，可得，，根据三角形的外角，则，根据，求出，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得到，最后根据，即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 15．如图，是等边三角形，分别是边 上的点，且，且交于点，且 ，垂足为 ． (1)求证：； (2)若 ，求 的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由是等边三角形，得，，，证明，即可得到； （）利用由（），，则，又，即，得到，根据在直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，可求出 的长即可求出的长，从而求解； 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，三角形外角得性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六 等腰三角形的判定（共3小题） 16．如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①； ②为等腰三角形； ③的周长等于的周长； ④．其中正确的是           【答案】①②④ 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的三边关系等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键． ①根据角平分线的定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出； ②同理可得②的结论；③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出， 进而得，便可得出：的周长不等于的周长； ④利用两次三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，进行等量代换，可求的和之间的关系式． 【详解】解：①∵是的角平分线， ∴， 又， ， ，故①正确； ②同理， ， 为等腰三角形，故②正确； ③假设为等边三角形，则，如图，连接， ∵， ， 的周长， ∵F是的平分线的交点， ∴第三条平分线必过其点，即平分， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 即的周长的周长，故③错误； ④在中，（1）， 在中，， 即（2）， 得，故④正确； 故答案为：①②④ 17．如图，在中，平分，点E是上一点，，且．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1). (2)证明见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论. 【详解】（1）解：，平分， 是的一个外角， . （2）证明：如图，过点E作于点F，   平分，， ， 在和中， . ， ，， ， . 18．如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 【答案】见解析 【分析】延长、交于点F，利用即可证出，从而得出，结合可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，利用三线合一即可证出结论． 此题主要考查了全等三角形，线段垂直平分线，等腰三角形，熟练掌握全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三线合一，是解题关键． 【详解】如图，延长、交于点F． ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 题型七 等边三角形的判定（共3小题） 19．如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①补全图形见解析，；②见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）①按要求补全图形即可；先证明是等边三角形得到，进而，再根据等角对等边得到，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论； ②如图2，在上截取，连接，证明是等边三角形得到，，则，再证明得到，进而利用可得答案； （2）分当点A在点E右边时和当点A在点E左边时两种情况，利用等边三角形的性质和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①解：补全图形如图1所示， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：如图2，在上截取，连接， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴； 当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴． 20．如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点、．    (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）按要求画图即可； （2）由轴对称可得，再由等腰三角形和等边三角形的性质即可得到结论； （3）在上截取，如图所示，连接，先证明为等边三角形，再证明，则，由此可解决问题． 【详解】（1）解：补全图形如图所示：    （2）解：点、关于对称， 为中垂线， ，， ， 又为等边三角形， ， ， ，， ； （3）解：， 证明：在上截取，如图所示，连接，   ，，， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段是解答本题的关键． 21．在中，，，点关于直线的对称点为点，连接，以为边，作等边，且点与点在直线的同侧，作射线，交直线于点，连接． (1)如图，若， ①当时，则________，________； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明； (2)如图，若，直接用等式表示线段，与之间的数量关系． 【答案】(1)①，；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①由点关于直线的对称点为点，得，，由是等边三角形，得，，进而，，从而即可得解；②在上截取，使，连接．先证，进而得是等边三角形，，，从而证明，再利用直角三角形的性质即可得解； （2）先证，进而得是等边三角形，，，从而证明，再利用直角三角形的性质即可得解； 【详解】（1）解：①∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，； ②．理由如下： 在上截取，使，连接． ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，°， ∴． ∵，， ∴，° ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 在的延长线上截取，使，连接． ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，°， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴°， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． 题型八 直角三角形（共3小题） 22．如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键； （1）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）过点D作，交的延长线于点，由等边三角形的性质得，，再利用所对直角边是斜边的一半得出，最后由三角形面积公式即可求解； 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ，， ， ， 的面积， 的面积为； 23．已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．    (1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； (2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②90度 (2)，见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键． （1）①根据题意，即可画出图形；②根据，可得答案； （2）连接，利用可证明，得，再得出，从而解决问题． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求；    ②∵是等边三角形， （2），证明如下： 如图，连接，    由②可知，是等边三角形， ∵是等边三角形， 在中，， 24．已知：如图，在中，，设，，如果． (1)求证：是等边三角形； (2)的中线，交于点O，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，非负数的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）先把配方得出，然后根据等边三角形的判定即可得证； （2）利用等腰三角形三线合一的性质可得，，然后利用直角三角形中角的性质可得，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形； （2）解： 理由：∵等边的中线，交于点O， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 HL判定三角形全等（共3小题） 25．如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，过点A作于H，利用“”可证明，得到，再利用“”可证明，得到，利用线段的和差关系即可求出的长，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于H， ， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 26．如图中，，，D是边上一点，连接，垂足为点C，且，交线段于点F． (1)在图1中画出符合题意的图形，并证明； (2)当时，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意画出图形，证明，即可得出； （2）根据得出，根据，得出，根据平行线的判定和性质，证明，得出，从而证明，得出，证明，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握直角三角形全等判定方法，证明． 27．在 中 ，平分交 于 ，的两边分别与, 相交于，两点，且. （1）如图，若， ，， ，.   ①写出 °，的长是 . ②求四边形的周长. （2）如图，过作于，作于，先补全图乙再证明. 【答案】（1）①90°，18，②30；（2）作图见解析，证明见解析 【分析】（1）①由直角三角形两锐角互余可得，结合直角三角形30度角的性质可得AB长，由平行的性质及角平分线的性质可得，易得的度数；②在①的基础上，结合等角对等边的性质可得， 设，根据直角三角形30度角的性质可得，则， 可得AM、MD、DN、AN的长，易得四边形的周长； （3）利用HL定理可证 ≌，，结合全等三角形对应边相等的性质易证. 【详解】解：①解：∵, ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴ 又∵平分 ∴ ∴, 所以90°，的长是18.          ②解：∵, ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴ 又∵平分 ∴ ∴ ∴ 在中，设，则 ∴中, ∴ ∴ ∴ ∴， 所以四边形的周长= （2）补全图如图所示 证明：由作图知，， 由已知，平分， ∴ ≌ 又 . 【点睛】本题是三角形的综合题，涉及了直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，熟练运用角平分线的性质定理，直角三角形全等的HL判定定理是解题的关键. 题型十 尺规作图（共3小题） 28．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作法易得，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 即． 故选：D． 29．下面是“作的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D； （2）分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线． 上述方法通过判定，得到，其中判定的依据是（    ） A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据作图得到，结合，利用证明即可． 【详解】解：由作图可知：， 又∵， ∴    ， ∴； 故选：D． 30．如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是（    ） ①；②是等边三角形；③；④． A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理解答①；先说明平分，可得，再根据“角边角”证明，得出，解答②；根据含直角三角形的性质解答③；先说明，在根据解答④即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∴． 则①正确； ∵的角平分线交于点O，， ∴平分， ∴． ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 则②正确； ∵， ∴． 在中，． 则③正确； 由上述可知， ∵平分， ∴， ∴． 则④不正确． 所以正确的有①②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 题型十一 逆命题、逆定理（共3小题） 31．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】B 【分析】先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题； B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题； D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题． 故选：B． 【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 32．命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，它的逆命题是 ． 【答案】见解析. 【分析】把命题用如果，那么的形式重新改写，交换题设和结论就得到逆命题. 【详解】∵到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 即如果一个点到线段两个端点距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上； ∴它的逆命题是“如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点距离相等”， 故答案为：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等. 【点睛】本题考查了命题和逆命题的关系，解答时，熟记命题的基本结构是解题的关键. 33．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 题型十二 轴对称图形（共3小题） 34．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称的定义逐项进行判断即可，熟练掌握轴对称的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 35．篆体是古代汉字书体，下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 36．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 题型十三 画轴对称图形（共3小题） 37．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上． (1)若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为，则满足条件的点C有 个． (2)选取其中一个C点作，作出关于直线L对称的图形． 【答案】(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据以A、B、C为顶点的三角形面积为，可得三角形的底边长为，高为，或者底边长为，高为，由此在网格中画出图形即可得解； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，满足条件的点如图所示，共有7个， ； （2）解：画出轴对称图形如图所示， ． 38．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 39．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，求的度数（用含的式子表示）； (3)判断，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析． 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，求出，即可得出结论； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论； 【详解】（1）解：补全图形如图1所示： （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）； 证明：如图2，在上取一点F，使， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 题型十四 轴对称的应用（共3小题） 40．如图1，将正方形纸片的，分别沿，折叠，使点A，C分别落在，处，且点与点重合． 如图2，将该纸片展平后，将，分别沿，再折叠，使点A，C分别落在上的点处和上的点处． 如图3，纸片展平后，将和分别记为和，则和的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质；根据折叠的性质得，，，，进而得由此得，据此即可得出α与β之间的关系． 【详解】解：根据折叠的性质，结合图1可知：，， 根据折叠的性质，结合图2可知：，， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ． 故选：B． 41．如图，点，分别在长方形纸片的边，上，将纸片沿对折，点，分别落在点，，交于点．若，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠的性质和平行线的性质，掌握折叠的性质，折叠后折叠部分的角与折叠前的角度相等，平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补． 利用图形翻折的性质得到翻折重叠的角相等和平行线的知识即可解答． 【详解】解：由折叠，得 ， ∵， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 42．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可，画出对应的图形是解此题的关键． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形可以画出个， ， 故选：D． 2 / 5zxxk.com 1 / 5zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $