专题05 全等三角形（期末复习专项训练，8大题型）八年级数学上学期新教材北京版

专题05 全等三角形 题型1 全等三角形的性质 题型5 旋转模型（难点） 题型2 ASA或AAS证明全等（常考点） 题型6 全等三角形综合问题（难点） 题型3 SAS证明全等 题型7 角平分线 题型4 倍长中线模型（难点） 题型8 垂直平分线 题型一 全等三角形的性质（共3小题） 1．已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，，和，和是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．如图，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型二 ASA或AAS证明全等（共3小题） 4．如图，在中，，高，交于点．若，，则 ． 5．如图，已知，，与相交于E，F是的中点，求证：． 6．如图，，平分，点为中点，求证：．    题型三 SAS证明全等（共3小题） 7．如图，是上一点，，，． 求证：平分． 8．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连接、交于点． (1)求证：； (2)求证：． 9．如图，和都是等腰直角三角形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型四 倍长中线模型（共3小题） 10．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 11．在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 12．如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 题型五 旋转模型（共3小题） 13．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 14．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 15．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 题型六 全等三角形综合问题（共5小题） 16．如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． (1)求的度数； (2)求证：． 17．如图1，中，，，点D在上，连接，在的上方作，且，连接．作点A关于的对称点F，连接，交于点M．    (1)补全图形，连接并写出 （用含的式子表示）； (2)当时，如图2． ①求证：； ②直接写出与的数量关系： ． 18．如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 19．已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 20．在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F． （1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______． （2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：． （3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______． 题型七 角平分线（共3小题） 21．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（    ）    A．4 B．8 C．3 D．6 22．如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，那么长度的最小值是 ． 23．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF． （1）依题意补全图形． （2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短； ②求证：点D到AF，EF的距离相等． 题型八 垂直平分线（共3小题） 24．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（    ） A．14 B．18 C．20 D．26 25．如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为 ． 26．如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形 题型1 全等三角形的性质 题型5 旋转模型（难点） 题型2 ASA或AAS证明全等（常考点） 题型6 全等三角形综合问题（难点） 题型3 SAS证明全等 题型7 角平分线 题型4 倍长中线模型（难点） 题型8 垂直平分线 题型一 全等三角形的性质（共3小题） 1．已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 2．如图，，和，和是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握以上知识，数形结合分析方法是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，由即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ， ． 3．如图，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键． 题型二 ASA或AAS证明全等（共3小题） 4．如图，在中，，高，交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质；先由已知得到，即可证明，即可求得继而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知，，与相交于E，F是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先利用证明， 再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ． 6．如图，，平分，点为中点，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长，交于点，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：延长，交于点，   ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 题型三 SAS证明全等（共3小题） 7．如图，是上一点，，，． 求证：平分． 【答案】见解析 【分析】，先证明，再证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是的平分线． 8．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连接、交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键． （1）由题意可得，，由，可得到，从而可证； （2）由（1）可得，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴． 9．如图，和都是等腰直角三角形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 先证明，进而得到角的关系，再由的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案． 【详解】解：∵等腰直角 ∴，， ∴， ∴， ∵等腰直角 ∴，， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 题型四 倍长中线模型（共3小题） 10．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可； （2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可． 【详解】（1）如图所示： （2）如图， 判断： 证明如下： 延长至点，使得，连接 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵AD平分∠BAC ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键． 11．在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可；②延长至F，使得，连接，根据等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点P在直线右下方时，当点P在直线左下方时，方法同②相似，求证即可． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）当点P在直线右下方时，如图所示： 延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在直线左下方时，如图所示： 同理得：，，， ∴， 综上可得：或． 12．如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②，见解析 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【详解】（1）， 证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ； （2）①当时， 则， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： 延长到，使，连接，， 为的中点， ， 四边形为平行四边形， 且， ，， 又， ， ， 又，， △， ， 又为正三角形， ， ． 题型五 旋转模型（共3小题） 13．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【分析】问题发现：根据题目条件证，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴， 又∵, ∴（SAS）， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，依然成立． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 15．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． 【详解】（1）∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． （2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． （3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 题型六 全等三角形综合问题（共5小题） 16．如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （2）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图1，中，，，点D在上，连接，在的上方作，且，连接．作点A关于的对称点F，连接，交于点M．    (1)补全图形，连接并写出 （用含的式子表示）； (2)当时，如图2． ①求证：； ②直接写出与的数量关系： ． 【答案】(1)补全图形见解析， (2)①见解析；② 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质和三角形相似的判定性质是解题的关键； （1）根据三角形内角和定理可得到，再利用对称的性质得到，即可得到答案； （2）①连接，，根据、都是等边三角形，易证得，进而得到，再根据点A关于的对称点是点F，可得到； ②取，证，进而证，再证，即可得结论． 【详解】（1）解：如图，   中，，， 点A关于的对称点F， ∴； 故答案为：． （2）解：连接，，   ，，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，，， ． 即， ， ， ， ， ， 点A关于的对称点是点F， ， ∴， ， ． ②如图    取， 由①可得，，， ， ，，， ，， ； 在和中， ， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 18．如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)画图见解析， (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ； ②， 证明：如图，作交的延长线于， ， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： ， 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？ 19．已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求解； （2）过点A作于H，过点C作交的延长线于T，通过得到AF=CD，再通过即可求解； （3）过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，利用全等三角形的性质证明，即可解决． 【详解】（1）解：∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点A作于H，过点C作交的延长线于T， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得， 连接． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 20．在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F． （1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______． （2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：． （3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）利用边相等和角相等，直接证明，即可得到结论． （2）利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立． （3）要证明，先利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立． 【详解】（1）解： ，， ， 在和中， ， ． （2）解：当点D在线段AC的延长线上时，如下图所示： ，， ， 在和中， ， ，， ． （3）解：，如下图所示： ，， ， 在和中， ， ，， ． 【点睛】本题主要是考查了三角形全等的判定和性质，熟练利用条件证明三角形全等，然后利用边相等以及边与边之间关系，即可证明结论成立，这是解决该题的关键． 题型七 角平分线（共3小题） 21．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（    ）    A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】C 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，    ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD， ∴S△ABD=AB•DE=×18•DE=27， 解得：DE=3， ∴CD=3． 故选：C． 【点睛】该题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用问题，解题的关键是作辅助线． 22．如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，那么长度的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ． 【详解】解：如图， 由垂线段最短定理可知： 当CE⊥OB时，CE 的长度最小， ∵点C在 ∠AOB 的平分线上，CD⊥OA， ∴CE=CD=2， 故答案为：2 ． 【点睛】本题是基础题目，解题的关键是熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理． 23．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF． （1）依题意补全图形． （2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短； ②求证：点D到AF，EF的距离相等． 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析． 【分析】（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可． （2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的． ②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论． 【详解】（1）补全图形，如图1所示 （2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点 ∵等边△ACD，AE⊥CD ∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短 故B,D之间直线最短，点P即为所求． ②证明：连接DE，DF．如图3所示 ∵△ABC，△ADC是等边三角形 ∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60° ∵AE⊥CD ∴∠CAE＝∠CAD＝30° ∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30° ∴∠CAE＝∠CEA ∴CA＝CE ∴CD垂直平分AE ∴DA＝DE ∴∠DAE＝∠DEA ∵EF⊥AF，∠EAF＝45° ∴∠FEA＝45° ∴∠FEA＝∠EAF ∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED ∴△FAD≌△FED（SAS） ∴∠AFD＝∠EFD ∴点D到AF，EF的距离相等． 【点睛】本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升． 题型八 垂直平分线（共3小题） 24．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（    ） A．14 B．18 C．20 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据三角形周长计算公式得到的值，再由线段垂直平分线的性质得到以及的长，进而求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的周长为22， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：A． 25．如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 26．如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，连接，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短，则，最小，此时点P与点E重合， 所以的最小值即为的长，为4． 即的最小值为4． 故选：B． 2 / 4zxxk.com 1 / 4zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $