专题03 三角形与全等三角形（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期北京版

专题03 三角形与全等三角形 3大高频考点概览 考点01 与三角形有关的角、线段 考点02 全等的判定 考点03 全等的性质SAS 考点04 全等的性质AAS、ASA 考点05 角平分线与线段垂直平分线 地 城 考点01 与三角形有关的角、线段 一、单选题 1．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，中，和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ①； ②点D到三边的距离相等； ③当时，； ④若，点D到的距离为n，则； 上述结论正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合平行线的性质以及角平分线的定义得，则，故；因为和的平分线交于点D，所以平分，则点D到三边的距离相等；当时，运用三角形内角和得，结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①是正确的； 连接，过点分别作，如图所示： ∵中，和的平分线交于点D， ∴平分， 则点D到三边的距离相等； 故②是正确的； 当时， 则， ∴， ∴， ∴； 故③是正确的； ∵点D到的距离为n， ∴， 则 故④是正确的； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，在中，边上的高线是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．据此解答即可． 【详解】解：A．线段是边上的高，故不符合题意； B．线段不是任何边上的高，故不符合题意； C．线段是边上的高，故不符合题意； D．线段是边上的高，符合题意； 故选D． 3．(24-25八上·北京燕山·期末)下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边． 注意，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴不能够成三角形，故选项不符合题意； B．∵， ∴不能够成三角形，故选项不符合题意； C．∵， ∴不能够成三角形，故选项不符合题意； D．∵， ∴能构成三角形，故选项符合题意； 故选：D． 4．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4或8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分两种情况求解后利用三角形的三边关系验证；解题的关键是分类讨论． 【详解】解：当时，，不能构成三角形，不合题意； 当时，，能构成等腰三角形； 故选：B． 5．(24-25八上·北京顺义区·期末)在下列长度的线段中，能与长度分别为4，10的线段首尾顺次相接组成一个三角形的是（） A．4 B．6 C．9 D．14 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，能组成三角形，故C符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 6．(24-25八上·北京房山区·期末)同学们用小木条拼三角形，有长度为，，和的木条若干根，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，设第三根小木条的长度为，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到x的取值范围，根据选项中所给长度选求解即可． 【详解】解：设第三根小木条的长度为， 根据题意，得，则， 根据选项中数据，选项A中的符合题意， 故选：A． 7．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键，根据三角形高的定义判断，即可得到答案． 【详解】解：∵中边上的高，是过点并垂直的线段， ∴为边上的高， 故选：C． 二、填空题 8．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明平分，据此根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， 故答案为：． 9．(24-25八上·北京石景山·期末)如图，在中，，点D在边的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10．(24-25八上·北京昌平区·期末)如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是 ． 【答案】或 【分析】题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论．此类题目考查基本知识的同时，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养． 根据等腰三角形的性质，分两种情况求出这个等腰三角形顶角的度数即可． 【详解】解：若的内角是该等腰三角形的顶角，则顶角度数为； 若的内角是该等腰三角形的一个底角，则根据等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定理，可知顶角的度数为：； 故答案为：或． 11．(24-25八上·北京燕山区·期末)如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则 ．    【答案】45 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据网格特点得，利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据网格特点，， ∵， ∴， 故答案为：45． 12．(24-25八上·北京怀柔区·期末)已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．分类讨论当等腰三角形的底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5时，结合三角形的三边关系即可求解； 【详解】解：当等腰三角形的底边长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的腰长； 当等腰三角形的腰长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的底边长为5， 故答案为： 三、解答题 13．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，在中，，，垂直平分，交于点，求的度数. 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，然后利用角的和差关系可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， 垂直平分， ， ， ． 地 城 考点02 全等的判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，，交于点O，且，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、和分别是和的对边，不能判定，故A符合题意； B、由判定，故B不符合题意； C、由判定，故C不符合题意； D、由判定，故D不符合题意． 故选：A． 二、填空题 2．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加的条件是 ；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是 ． 【答案】 或或；（答案不唯一） 或或（答案不唯一）． 【分析】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由根据平行线的性质得，由得，根据，，添加相应的条件即可； （2）先证明，再由平行线的性质得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解： ， ， 即， ， ， ∴添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 故答案为：或或； （2）方法一：添加的条件是时， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法二：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法三：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，，，请你添加一个适当的条件： ，使得． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由,得到,根据全等三角形的判定定理即可得到结论，熟练掌握全等三角形的判定定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , 不一定全等于； 故答案为：或或（答案不唯一）． 4．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，，，要使，可以添加的条件是 （添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，由题意得，推出，结合即可求解； 【详解】证明：∵， ， ， ， ∵， ∴当时，可通过证； 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题 5．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使．” (1)小明的说法_______(填“正确”或“错误”)； (2)从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 【答案】(1)错误 (2)①或②或③或⑤或⑥，图见解析，证明见解析 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法对小明同学写出的个条件逐一分析判断即可； （2）补全图形，从小明写出的条件中选择一个，然后利用全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：对于小明同学写出的个条件， 选择条件①时，可以利用证明， 选择条件②时，可以利用证明， 选择条件③时，可以利用证明， 选择条件④时，利用不能证明， 选择条件⑤时，可以利用证明， 选择条件⑥时，可以利用证明， 小明的说法错误， 故答案为：错误； （2）解：补全图形如下： 选择条件①时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件②时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件③时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件④时，利用不能证明； 选择条件⑤时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 选择条件⑥时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 故答案为：①或②或③或⑤或⑥． 6．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是 . 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：；三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：由题意得：，，， 由判定 故答案为： 二、解答题 7．(24-25八上·北京房山区·期末)下面是小玉同学设计的“作等腰三角形底边上的高”的尺规作图过程． 已知：中．． 求作：边上的高． 作法：如图． ①以点为圆心，适当长为半径作弦，与，分别交于点，； ②分别以，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于内一点； ③作射线，与交于点． 所以线段就是所求作的线段． 根据小玉设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）： (2)完成下面证明： 证明：连接，． 在与中． ∴． ∴． 又∵， ∴是的高（______）（填推理依据） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查角平分线的作法、等腰三角形的性质，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意，作图即可； （2）根据给出的证明过程，利用等腰三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，作图如下： （2）证明：连接，． 在与中． ∴． ∴． 又∵， ∴是的高（三线合一）． 8．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，点B，E，C，F在一条直线上，与相交于点O，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，由，得到，即可证明； 【详解】证明：， ， 在和中， ， ∴ 9．(24-25八上·北京昌平区·期末)如图，已知A，B，D，E在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握几种全等三角形的判定方法是解题的关键． 先由平行得到，再由即可证明． 【详解】证明：， ，即． ， ， 在和中， ． 10．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，点是线段上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质定理．熟练掌握全等三角形的判定定理并能结合题意灵活运用是解决本题的关键．首先由得到，然后即可证明． 【详解】证明：∵ ∴， 又∵， ∴． 地 城 考点03 全等的性质SAS 一、单选题 1．(24-25八上·北京燕山·期末)如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵和是对应角． ∴， 故选：C． 二、填空题 2．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有 ．（写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 综上，结论正确有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)已知：如图，是线段上的两点，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 先根据“两直线平行内错角相等”得，再根据“边角边”证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ． ， ． ∵在和中 ∴， ∴. 4．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．延长至点，使，连接，证明，得，，再由等腰三角形的性质得，进而证明，然后由等腰三角形的判定得，即可得出结论． 【详解】证明：如图，延长至点，使，连接，   是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 5．(24-25八上·北京房山区·期末)如图1是教材90页的“综合与实践”，小涵在解决该问题时想到这样的测量方法：在陆地上取一点，使得从点能够直接走到点和点，延长到，使，再延长到，使．量出的长．那么的长便是鱼塘的宽的长．请根据小涵的方法，在图2中画出图形，并说明理由（证明）． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先根据小涵的方法画出图形，再利用两边及其夹角对应相等的两三角形全等求解即可． 【详解】解：如图： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 即的长便是鱼塘的宽的长． 6．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，与是等边三角形． (1)求证：； (2)延长交于点，判断的大小并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明出全等是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，利用“”即可证明全等； （2）由全等的性质得到，进而得到，即可求出的大小． 【详解】（1）证明：与是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ∵，， ， ． 7．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．(24-25八上·北京顺义区·期末)数学课上，同学们兴致勃勃地讨论着利用不同的方法作一个等腰三角形． 小华说：如图1，任意作一个，过点B作的平分线，在射线上任取一点G（与点B不重合），过点G作的垂线分别交于点E，F，这样得到的为等腰三角形． (1)小华的作法__________（填“正确”或“不正确”）； (2)受小华的启发，小强也想到了作等腰三角形的方法：如图2，任意作一个，过点O作的平分线，在射线上任取一点K（与点O不重合），过点K作直线分别交于点M， N，使得，这样得到的为等腰三角形． 小强给出了如下证明过程，请你帮助他补全证明过程． 如图3，延长到点T，使得，连接． 在和中， ∴． ∴（___________________）（填推理依据）， ． ∵平分， ∴． ∴_______________． ∴（___________________）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 【答案】(1)正确 (2)，全等三角形的对应边相等，，等角对等边（如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，证明三角形为等腰三角形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和求出，即可得出结论； （2）延长到点T，使得，连接，证明，可得，，再由角平分线可得，从而得出，最后可得结论． 【详解】（1）解：在中，是的平分线，， ∴， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 所以小华的作法正确， 故答案为：正确； （2）证明：如图3，延长到点T，使得，连接． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）（填推理依据）， ． ∵平分， ∴． ∴． ∴（等角对等边）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 故答案为：，全等三角形的对应边相等，，等角对等边（如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等） 9．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，是等边三角形，D是内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，求证： 【答案】见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由旋转的性质可得，，由“”可证，可得 【详解】证明：将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 地 城 考点04 全等的性质AAS、ASA 一、单选题 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确，符合题意； ，，， ； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，在中，，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面四个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，由于点E，于点F，证明，则，可判断①正确；再证明，得，，由，可判断③正确，由，，推导出，可判断②错误；于是得到问题的答案． 【详解】解：于点E，于点F， ，， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，故③正确， ，， ，故②错误； 故选：B． 二、填空题 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理、平角定义求出， 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 取、中点、，连接，，利用可证得，然后根据全等三角形的性质即可判断结论①；根据是的中点，得到，进而可推出，据此即可判断结论②；根据，可求出四边形的面积，于是可判断结论③；根据，即可求得点到点距离的最小值，进而可判断结论④；综上，即可得出答案． 【详解】解：取、中点、，连接，， ，为的中位线， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ，，， ， ，故结论①正确； 四边形为正方形， ， 是的中点，， ， ，故结论②正确； ， ，故结论③错误； ，， 当点移动到，移动到点时，达到最小值， ， ，故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确证明全等是解题的关键．根据等腰三角形的性质证明出即可． 【详解】证明：， ， ， ． ，平分， ． 在和中， ， ． 6．(24-25八上·北京顺义区·期末)已知：如图，F，C是线段上两点，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，推导出，由，得，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：， 在和中， 地 城 考点05 角平分线与线段垂直平分线 一、单选题 1．(24-25八上·北京燕山·期末)如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则点G到线段的最短距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”根据，，即可得到答案； 【详解】解：由作图得平分， ∵，即， ∴点G到线段的最短距离等于的长， 即点G到的距离为1， 故选：A 二、填空题 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，在中，，平分，，，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于H，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于H， 是的平分线，，， ， 的面积． 故答案为：2． 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明平分，据此根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， 故答案为：． 4．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在中，垂直平分，垂足为D，交于点E，连接．如果，，那么的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，进而得到，根据三角形外角求出，然后再利用，得出即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， ， ∵， ， 故答案为：． 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，在中，．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 度．    【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．(24-25八上·北京昌平区·期末)如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 故答案为：6． 三、解答题 7．(24-25八上·北京门头沟区·期末)下面是小明设计的尺规作图过程： 已知：如图，． 求作：，使点D在上，且． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线，交于点D； ③连接． 所以为所求 据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明：     证明：连接． ∵， ∴点M，N均在线段的垂直平分线上． 即：直线是线段的垂直平分线． ∵点D在直线上， ∴_____（_______________________________________）（填推理的依据)． ∴（__________________________________）（填推理的依据)． ∵， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，等边对等角 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用线段的垂直平分线的性质以及等边对等角解决问题即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接． ∵， ∴点M，N均在线段的垂直平分线上． 即：直线是线段的垂直平分线． ∵点D在直线上， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）． ∴（等边对等角）． ∵， ∴． 故答案为：，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，等边对等角． 8．(24-25八上·北京石景山区·期末)已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点．    (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：是的垂直平分线， ①_____（②__________（填推理的依据）． ③_____（④__________）（填推理的依据）． 又， ． 【答案】(1)见解析 (2)；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角和三角形外角的性质： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再由等边对等角可得，最后根据三角形外角的性质即可证明结论． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求；    （2）证明：是的垂直平分线， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． （等边对对角）． 又， ． 故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角． 9．(24-25八上·北京房山区·期末)2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施： 如图1，在小区内道路旁设立“公共晾晒点”，安装“共享晾衣架”，使得道路附近的两栋住宅楼，到“公共晾晒点”的距离相等． (1)在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置； (2)确定点位置的依据为______． 【答案】(1)见解析 (2)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意作线段的垂直平分线与直线l的交点即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：点的位置如图所示： （2）确定点位置的依据为到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形与全等三角形 3大高频考点概览 考点01 与三角形有关的角、线段 考点02 全等的判定 考点03 全等的性质SAS 考点04 全等的性质AAS、ASA 考点05 角平分线与线段垂直平分线 地 城 考点01 与三角形有关的角、线段 一、单选题 1．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，中，和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ①； ②点D到三边的距离相等； ③当时，； ④若，点D到的距离为n，则； 上述结论正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，在中，边上的高线是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．(24-25八上·北京燕山·期末)下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4或8 5．(24-25八上·北京顺义区·期末)在下列长度的线段中，能与长度分别为4，10的线段首尾顺次相接组成一个三角形的是（） A．4 B．6 C．9 D．14 6．(24-25八上·北京房山区·期末)同学们用小木条拼三角形，有长度为，，和的木条若干根，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（   ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    9．(24-25八上·北京石景山·期末)如图，在中，，点D在边的延长线上，，则的度数为 ． 10．(24-25八上·北京昌平区·期末)如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是 ． 11．(24-25八上·北京燕山区·期末)如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则 ．    12．(24-25八上·北京怀柔区·期末)已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为 . 三、解答题 13．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，在中，，，垂直平分，交于点，求的度数. 地 城 考点02 全等的判定 一、单选题 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，，交于点O，且，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加的条件是 ；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是 ． 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，，，请你添加一个适当的条件： ，使得． 4．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，，，要使，可以添加的条件是 （添加一个即可） 三、解答题 5．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使．” (1)小明的说法_______(填“正确”或“错误”)； (2)从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 6．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是 . 二、解答题 7．(24-25八上·北京房山区·期末)下面是小玉同学设计的“作等腰三角形底边上的高”的尺规作图过程． 已知：中．． 求作：边上的高． 作法：如图． ①以点为圆心，适当长为半径作弦，与，分别交于点，； ②分别以，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于内一点； ③作射线，与交于点． 所以线段就是所求作的线段． 根据小玉设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）： (2)完成下面证明： 证明：连接，． 在与中． ∴． ∴． 又∵， ∴是的高（______）（填推理依据） 8．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，点B，E，C，F在一条直线上，与相交于点O，，，求证： 9．(24-25八上·北京昌平区·期末)如图，已知A，B，D，E在同一直线上，，求证：． 10．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，点是线段上一点，，，．求证：． 地 城 考点03 全等的性质SAS 一、单选题 1．(24-25八上·北京燕山·期末)如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京怀柔区·期末)如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有 ．（写序号） 三、解答题 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)已知：如图，是线段上的两点，，，．求证：． 4．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：．    5．(24-25八上·北京房山区·期末)如图1是教材90页的“综合与实践”，小涵在解决该问题时想到这样的测量方法：在陆地上取一点，使得从点能够直接走到点和点，延长到，使，再延长到，使．量出的长．那么的长便是鱼塘的宽的长．请根据小涵的方法，在图2中画出图形，并说明理由（证明）． 6．(24-25八上·北京房山区·期末)如图，与是等边三角形． (1)求证：； (2)延长交于点，判断的大小并证明． 7．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 8．(24-25八上·北京顺义区·期末)数学课上，同学们兴致勃勃地讨论着利用不同的方法作一个等腰三角形． 小华说：如图1，任意作一个，过点B作的平分线，在射线上任取一点G（与点B不重合），过点G作的垂线分别交于点E，F，这样得到的为等腰三角形． (1)小华的作法__________（填“正确”或“不正确”）； (2)受小华的启发，小强也想到了作等腰三角形的方法：如图2，任意作一个，过点O作的平分线，在射线上任取一点K（与点O不重合），过点K作直线分别交于点M， N，使得，这样得到的为等腰三角形． 小强给出了如下证明过程，请你帮助他补全证明过程． 如图3，延长到点T，使得，连接． 在和中， ∴． ∴（___________________）（填推理依据）， ． ∵平分， ∴． ∴_______________． ∴（___________________）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 9．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，是等边三角形，D是内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，求证： 地 城 考点04 全等的性质AAS、ASA 一、单选题 1．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，在中，，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面四个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 3．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 5．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    6．(24-25八上·北京顺义区·期末)已知：如图，F，C是线段上两点，，，． 求证：． 地 城 考点05 角平分线与线段垂直平分线 一、单选题 1．(24-25八上·北京燕山·期末)如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则点G到线段的最短距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 二、填空题 2．(24-25八上·北京延庆区·期末)如图，在中，，平分，，，则的面积是 ． 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    4．(24-25八上·北京门头沟区·期末)如图，在中，垂直平分，垂足为D，交于点E，连接．如果，，那么的度数是 ． 5．(24-25八上·北京平谷区·期末)如图，在中，．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 度．    6．(24-25八上·北京昌平区·期末)如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为 ． 三、解答题 7．(24-25八上·北京门头沟区·期末)下面是小明设计的尺规作图过程： 已知：如图，． 求作：，使点D在上，且． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线，交于点D； ③连接． 所以为所求 据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明：     证明：连接． ∵， ∴点M，N均在线段的垂直平分线上． 即：直线是线段的垂直平分线． ∵点D在直线上， ∴_____（_______________________________________）（填推理的依据)． ∴（__________________________________）（填推理的依据)． ∵， ∴． 8．(24-25八上·北京石景山区·期末)已知：如图，中，．求作：点，使得点在边上且．作法：①作线段的垂直平分线，交于点，交于点；②连接．点即为所求作的点．    (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：是的垂直平分线， ①_____（②__________（填推理的依据）． ③_____（④__________）（填推理的依据）． 又， ． 9．(24-25八上·北京房山区·期末)2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施： 如图1，在小区内道路旁设立“公共晾晒点”，安装“共享晾衣架”，使得道路附近的两栋住宅楼，到“公共晾晒点”的距离相等． (1)在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置； (2)确定点位置的依据为______． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $