专题04 三角形（期末复习专项训练，9大题型）八年级数学上学期新教材北京版

专题04 三角形 题型1 三角形 题型6 角平分线 题型2 三角形三边关系（常考点） 题型7 三角形的中线 题型3 三边关系的应用（易错点） 题型8 三角形的角平分线 题型4 内角和定理 题型9 三角形的高线 题型5 外角和定理 题型一 三角形（共3小题） 1．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 2．在中，，D，E是边上的两点，且，有下列四个推断：①若是的高，则可能是的中线；②若是的中线，则不可能是的高；③若是的角平分线，则可能是的中线；④若是的高，则不可能是的角平分线．上述推断中，所有正确结论的序号是 ． 3．如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 题型二 三角形三边关系（共3小题） 4．已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为 ． 5．如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么a取值范围（    ） A． B． C． D． 6．一个三角形两边长分别为4和6，第三边长可能为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 题型三 三边关系的应用（共3小题） 7．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 8．如图，线段和线段是三角形的两条边，点D在线段上，点E在线段上，将三角形沿所在直线裁去一个角得到四边形，则四边形的周长 （填“大于”，“等于”或“小于”）三角形的周长，理由是 ． 9．已知的三边长分别为a，b，c，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型四 内角和定理（共3小题） 10．中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 12．如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则 ．    题型五 外角和定理（共3小题） 13．如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则等于 ． 14．与直线a，b的位置关系如图所示．若，，，则 ． 15．如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 °． 题型六 角平分线（共3小题） 16．如图，在 △ABC中，AD，AE 分别是 △ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是 A． B． C． D． 17．如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点．则 ． 18．如图，的角平分线相交于点，，且于点，以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 （只填序号）．    题型七 三角形的中线（共3小题） 19．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 20．如图所示，有一条线段是（）的中线，该线段是（    ）. A．线段GH B．线段AD C．线段AE D．线段AF 21．如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 题型八 三角形的角平分线（共3小题） 22．如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P (1)当∠A=60°时，求∠BPC的度数；（提示：三角形内角和180°）； (2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系． 23．如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（    ） A．10° B．20° C．30° D．50° 24．如图，在中，，是的角平分线交于点，于点，下列四个结论中正确的有（    ）      ①   ②   ③   ④ A．个 B．个 C．个 D．个 题型九 三角形的高线（共3小题） 25．如图，中边上的高画法正确的是（   ） A． B． C． D． 26．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 27．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 ． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 题型1 三角形 题型6 角平分线 题型2 三角形三边关系（常考点） 题型7 三角形的中线 题型3 三边关系的应用（易错点） 题型8 三角形的角平分线 题型4 内角和定理 题型9 三角形的高线 题型5 外角和定理 题型一 三角形（共3小题） 1．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数． 【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍， 图2有共用部分，可以减少小木棍根数， 仿照图2得到图3，要7根小木棍， 同法搭建的图4，要9根小木棍， 如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍， 如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形， ∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根． 故选：D 【点睛】此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答． 2．在中，，D，E是边上的两点，且，有下列四个推断：①若是的高，则可能是的中线；②若是的中线，则不可能是的高；③若是的角平分线，则可能是的中线；④若是的高，则不可能是的角平分线．上述推断中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形的高线，中线，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴①若是的高，则可能是的中线正确， ②是的中线，则不可能是的高正确， ③若是的角平分线，则可能是的中线正确， ④若是的高，则可能是的角平分线． 故答案为①②③ 3．如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形稳定性解答即可． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 题型二 三角形三边关系（共3小题） 4．已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，若第三边的长为， ∴， ∴， ∵是整数， ∴最大为， 故答案为：． 5．如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么a取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可得解． 【详解】解：由三角形三边关系可得：， 故a取值范围， 故选：D． 6．一个三角形两边长分别为4和6，第三边长可能为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 【答案】B 【分析】设第三边为，再根据三角形的三边关系求出的取值范围，选出合适的的值即可． 【详解】解：设第三边为， ∵三角形的两边长分别为4和6， ∴，即 ∴4符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 题型三 三边关系的应用（共3小题） 7．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 8．如图，线段和线段是三角形的两条边，点D在线段上，点E在线段上，将三角形沿所在直线裁去一个角得到四边形，则四边形的周长 （填“大于”，“等于”或“小于”）三角形的周长，理由是 ． 【答案】 小于 三角形两边之和大于第三边 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．直接根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵线段是的三条边， ∴根据三角形的两边之和大于第三边，得， ∴四边形的周长小于的周长． 故答案为：小于，三角形两边之和大于第三边． 9．已知的三边长分别为a，b，c，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：A、∵， ∴， 即， 故A能形成三角形 B 、∵， ∴， 故B能形成三角形 C、∵ 不确定，故不能确定与的关系． 故，，不一定能组成三角形．符合题意， D、∵ ∴，， ∵ 故D能形成三角形． 故选C． 题型四 内角和定理（共3小题） 10．中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质（对边平行）与三角形内角和定理，解题的关键是利用平行四边形“对边平行，内错角相等”的性质，结合三角形内角和为求出的度数，再通过内错角相等建立与的关系，最终确定其度数． 根据平行四边形性质得；再在中，利用三角形内角和求出的度数；最后由得内错角，确定的度数并匹配选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形对边平行）． 在中，∵，且三角形内角和为， ∴． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴． 故选：A． 11．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 12．如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则 ．    【答案】45 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据网格特点得，利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据网格特点，， ∵， ∴， 故答案为：45． 题型五 外角和定理（共3小题） 13．如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则等于 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算、三角形外角的性质．根据题意可得，再由三角形外角的性质，即可求解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意得：∴， ∴， ∴． 故答案为： 14．与直线a，b的位置关系如图所示．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，先根据两直线平行，同位角相等得到，再由对顶角相等得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 °． 【答案】75 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，进而求出，最后根据即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ， ， ， ， 故答案为：75． 题型六 角平分线（共3小题） 16．如图，在 △ABC中，AD，AE 分别是 △ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质得出∠EAC=90°-∠C，由角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC=90°， ∴∠EAC=90°-∠C， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAB=∠BAC． ∵∠BAC=180°-∠B-∠C， ∴∠DAB=（180°-∠B-∠C）， ∴∠DAE=∠DAB-∠BAC =（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B） =（∠B-∠C）． 即 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 17．如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先由三角形的内角和算出，再根据外角平分线即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 18．如图，的角平分线相交于点，，且于点，以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 （只填序号）．    【答案】③④ 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质、垂线的定义，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即可判断①；无法证明平分，即可判断②；求出，，即可判断③；计算出，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①， ， 是的角平分线， ，故①错误，不符合题意； ②无法证明平分，故②错误，不符合题意； ③， ， 平分， ， ， ，且， ，即， ，故③正确，符合题意； ④的角平分线相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，说法正确的是③④， 故答案为：③④． 题型七 三角形的中线（共3小题） 19．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记． 根据，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即为， 故选：C． 20．如图所示，有一条线段是（）的中线，该线段是（    ）. A．线段GH B．线段AD C．线段AE D．线段AF 【答案】B 【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得． 【详解】根据三角形中线的定义知：线段AD是△ABC的中线． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 21．如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、与中线有关的三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形外角的定义及性质计算即可得出答案； （2）连接，则，求出，结合，，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：是的一个外角，则， 又， ； （2）解：如图：连接，则， 又为的中线， ， 同理， ， ，， ， 解得， 故的长为． 题型八 三角形的角平分线（共3小题） 22．如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P (1)当∠A=60°时，求∠BPC的度数；（提示：三角形内角和180°）； (2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系． 【答案】(1)120° (2)∠BPC= 【分析】（1）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，∠PCB=，根据∠A=60°，得出=120°，求∠PBC+∠PCB==60°即可； （2）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，得出∠PCB=，根据∠A=α°，得出=180°-α°，可求∠PBC+∠PCB=即可． 【详解】（1）解：如图，∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠PBC=．(角平分线定义) ∵CP是∠ACB的平分线， ∴∠PCB=， ∴∠PBC+∠PCB= ， ∵∠A=60°， ∴=120°， ∴∠PBC+∠PCB==60°， ∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°． （2）如图，∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠PBC=．(角平分线定义) ∵CP是∠ACB的平分线， ∴∠PCB=， ∴∠PBC+∠PCB=， ∵∠A=α°， ∴=180°-α°， ∴∠PBC+∠PCB=， ∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°． ∴∠BPC=． 【点睛】本题考查角平分线定义，三角形内角和，掌握角平分线定义，三角形内角和是解题关键． 23．如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（    ） A．10° B．20° C．30° D．50° 【答案】B 【分析】由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解. 【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD， ∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠DBC＝∠ABD＝20°， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键． 24．如图，在中，，是的角平分线交于点，于点，下列四个结论中正确的有（    ）      ①   ②   ③   ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质，即可得到DE=DC；根据全等三角形的判定与性质，即可得到BE=BC，△BDE≌△BDC． 【详解】解：∵∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DC，故①正确； 又∵∠C=∠BEC=90°，BD=BD， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），故④正确； ∴BE=BC，故②正确； ∵Rt△ADE中，AD＞DE=CD， ∴AD=DC不成立，故③错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 题型九 三角形的高线（共3小题） 25．如图，中边上的高画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的定义和画法，明确三角形高的定义是关键； 根据三角形的高的定义进行判断即可. 【详解】解：中边上的高为： 故选：B. 26．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，即， ∴ ∵是中线，即点是的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得． 27．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 ． 【答案】AD 【分析】根据三角形的高的概念解答即可． 【详解】解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD， 故答案为AD 【点睛】此题考查三角形的高，关键是根据三角形的高的概念解答． 14 / 19zxxk.com 13 / 19zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $