12.3三角形中的主要线段（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

12.3三角形中的主要线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 二、三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍；三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。 三、三角形的高线（简称三角形的高） 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 性质：三角形的三条高线所在的直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心；锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条直角边互为高线，斜边上的高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。 型 习 练 题 根据三角形中线求长度 1．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 2．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．下列结论正确的是（   ） A．直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D．直角三角形的三条高的交点在斜边上 4．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 5．如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 重心的概念 6．把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 7．如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 8．如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点 10．如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 利用网格求三角形面积 11．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 12．如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 二、填空题 13．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，则的面积是 ． 14．如图，在网格中，每一个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么三角形的面积是 ． 15．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 画三角形的高 16．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 17．如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 18．画出图中三角形的三条高． 19．如图，点P是的边上的一点． (1)若每个小正方形的边长是1，则点O到的距离是＿＿＿＿． (2)过点P画的垂线，交于点C，画出三角形的边上的高． 20．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在方格的格点上． (1)画出的高； (2)画线段，满足D在边上，且线段平分的面积． 与三角形的高有关的计算问题 21．如图，在中，为的中线，于点E，的周长比的周长少2．若，的面积为20，求的长． 22．如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． (1)____________； (2)____________； (3)若，，则______，则______． 23．如图，是的两条高，且交于点O． (1)求和大小关系； (2)若，求和的度数． 24．如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 25．如图，为的中线，为的高，的面积为15，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3三角形中的主要线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 二、三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍；三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。 三、三角形的高线（简称三角形的高） 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 性质：三角形的三条高线所在的直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心；锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条直角边互为高线，斜边上的高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。 型 习 练 题 根据三角形中线求长度 1．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 故选：B． 2．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 根据现有条件无法证明，故C错误． 故选：C． 3．下列结论正确的是（   ） A．直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D．直角三角形的三条高的交点在斜边上 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线、角平分线、高，根据定义和性质判断各选项即可，掌握相关概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、任何三角形的角平分线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、任何三角形的中线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； 、直角三角形的三条高交于直角顶点，不在斜边上，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 4．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线和中线，根据角平分线和中线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，是角平分线，点E是的中点， ∴，，，是的中线， 故错误的是选项C； 故选C． 5．如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【详解】解：A、在中，的对边是，正确，不符合题意； B、是的中线，正确，不符合题意； C、∵D，E分别是的边，的中点， ∴，正确，不符合题意； D、是的中线，选项错误，符合题意； 故选：D． 重心的概念 6．把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念．三角形的重心是三角形的三条中线的交点． 【详解】解：∵质地均匀的三角形木板的重心是其几何中心，即三条中线的交点； ∴悬挂在重心时，木板才能保持水平； ∵选项C为三条中线的交点； ∴挂钩应设在C处． 故选：C． 7．如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，三角形中线的性质，三角形的重心是该三角形三条中线的交点，再根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵点O是的重心， ∴都是的中线， ∴与的面积相等， 根据现有条件无法证明是的高，是的角平分线，是的中线， 故选：D． 8．如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点O是的重心， ∴是的中线， ∴； 故选B． 9．如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：A． 10．如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识，理解重心的概念，三角形中线平分面积是关键． 三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B ． 利用网格求三角形面积 11．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 12．如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键．根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：满足条件的点C的个数为6个，如图所示： ， ， 故选：B． 二、填空题 13．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了借助网格求三角形的面积，把放在的矩形中，用矩形的面积减去三个小直角三角形的面积即为的面积． 【详解】解：如下图所示，把放在的矩形中， 则. 故答案为： ． 14．如图，在网格中，每一个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么三角形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了在网格中求三角形的面积，利用割补法求解即可． 【详解】解：三角形的面积是：， 故答案为：8 15．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求阴影部分面积，由，然后代入即可求解，掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 由 ， 故答案为：． 画三角形的高 16．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【分析】本题考查画三角形的高线，中线，与三角形的高有关的计算： （1）根据高线的定义，作高即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， ∵为中线， ∴． 17．如图，在中，是边上的高，已知． (1)请画出边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形高的画法及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用“同一三角形面积相等”的等积法，通过已知底和高求出面积，再反求未知高的长度． （1）根据三角形高的定义，过点C作边的垂线，垂足为E，线段即为边上的高； （2）先以为底、为高计算的面积，再以为底、为高，结合面积相等列方程求解的长度． 【详解】（1）解：如图，线段即为边上的高． （2）解：∵ 是边上的高， ∴ 的面积，代入，，得． 又∵ 是边上的高,， ∴ 面积也可表示为， 即， 解得． 答：的长为． 18．画出图中三角形的三条高． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键，自三角形的顶点向对边 作垂线，顶点与垂足之间的线段即为三角形的高． 【详解】解：如图线段即为的三条高． 19．如图，点P是的边上的一点． (1)若每个小正方形的边长是1，则点O到的距离是＿＿＿＿． (2)过点P画的垂线，交于点C，画出三角形的边上的高． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】题目主要考查利用网格画垂线和高线，结合图形求解是解题关键． （1）根据网格即可得出结果； （2）利用网格画垂线和高线即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴点O到的距离是5， 故答案为：5； （2）如图所示即为所求． 20．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在方格的格点上． (1)画出的高； (2)画线段，满足D在边上，且线段平分的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了三角形高和中线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）选取格点E，连接，交的延长线于E，根据网格的特点可知，此时为的高； （2）选取格点D，连接，此时，根据三角形面积公式即可得线段平分的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： 与三角形的高有关的计算问题 21．如图，在中，为的中线，于点E，的周长比的周长少2．若，的面积为20，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了三角形的中线．根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长少2”，推出，据此即可求解． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长少2， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为20， ∴，即， ∴． 22．如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． (1)____________； (2)____________； (3)若，，则______，则______． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查三角形中线定义、角平分线定义及三角形面积公式，熟记三角形相关定义及面积公式是解决问题的关键． （1）由三角形的中线的定义直接求解即可得到答案； （2）由三角形的角平分线的定义直接求解即可得到答案； （3）由三角形中线的定义得到，再结合三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，是中线， ， 故答案为：，； （2）解：在中，是角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：在中，是中线，， ， 在中，是高，，， ，， 故答案为：，． 23．如图，是的两条高，且交于点O． (1)求和大小关系； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)的度数是，的度数是 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、三角形的高的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）由，是的两条高，推导出，由，，得，所以和大小关系是； （2）由，，，求得，． 【详解】（1）解：，是的两条高， 于点D，于点E， ， ，， ， 和大小关系是 （2）解：，，， ，， 的度数是，的度数是． 24．如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可求解； （2）根据中线的定义得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵为的角平分线，， ∴； （2）解：∵为的中线，， ∴， 设点A到边的距离为， ∵， ∴， 解得， ∴点A到边的距离为6． 25．如图，为的中线，为的高，的面积为15，，求的长． 【答案】10 【分析】由为的中线得的面积是的面积的2倍，求出的面积，然后利用的高结合三角形的面积公式即可求出的长； 本题考查三角形的面积公式，三角形的中线的性质，三角形的高的含义，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵为的中线， ∴． ∵的高， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $