12.2三角形的性质（基础篇）练习2025-2026学年北京版 数学八年级上册

12.2三角形的性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三角形的定义与基本元素 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 三角形的外角性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 型 习 练 题 构成三角形的条件 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．1、2、5 B．2、3、5 C．3、6、8 D．5、11、5 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是（　　） A．2，4，7 B． C．5，5，10 D．4，5，6 3．某校八年级师生准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个三角形的班旗．下列给出的三个数据中，能实现三角形班旗制作的是（    ） A．3，4，8 B．3，4，7 C．5，6，10 D．5，6，11 4．给出下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．3，4，7 C．2，3，4 D．4，8，7 5．有两根长分别和的木棒，要钉成一个三角形，则第三根木棒长可以为（  ） A． B． C． D． 确定第三边的取值范围 6．如图，是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽AB可能是（   ） A．53cm B．45cm C．36cm D．27cm 7．一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则第三边长可能是（   ） A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm 8．如图，，小明以点为圆心，3为半径画弧，又以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆，可分别绕轴和转动．若要刚好围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（   ） A． B． C． D． 10．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能（　　） A． B． C． D． 三角形的分类 11．在下列条件中：①；②；③；④，其中能确定为直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．三角形中的三个内角之比为，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 13．若△ABC的三个内角满足关系式，则此三角形（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定有一个内角为45° D．一定有一个内角为60° 14．一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 15．在一个三角形中，最小的一个角大于，则的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 三角形内角和 16．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 17．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 18．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 19．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 三角形的外角的定义及性质 21．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点分别叠放在长方形的两条对边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，延长至点，的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 25．如图，在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 三角形折叠中的角度问题 26．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 29．如图，在中，点为内部的一个定点，，将沿折叠使点与点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 30．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2三角形的性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三角形的定义与基本元素 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 三角形的外角性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 型 习 练 题 构成三角形的条件 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．1、2、5 B．2、3、5 C．3、6、8 D．5、11、5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系，逐项判断即可． 【详解】解：A：，故不能组成三角形； B：，故不能组成三角形； C：，故能组成三角形； D：，故不能组成三角形． 故选：C． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是（　　） A．2，4，7 B． C．5，5，10 D．4，5，6 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握是解题的关键．若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】A、∵， ∴2，4，7的三根小木棒首尾相连，不能摆成三角形； B、∵， ∴的三根小木棒首尾相连，不能摆成三角形； C、∵， ∴5，5，10的三根小木棒首尾相连，不能摆成三角形； D、∵， ∴4，5，6的三根小木棒首尾相连，能摆成三角形． 故选：D． 3．某校八年级师生准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个三角形的班旗．下列给出的三个数据中，能实现三角形班旗制作的是（    ） A．3，4，8 B．3，4，7 C．5，6，10 D．5，6，11 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，解题的关键是掌握该性质定理的应用． 只需验证每个选项是否满足该条件即可． 【详解】解：对于选项A：， ∴不能组成三角形； 对于选项B：∵， ∴ 不能组成三角形； 对于选项C：∵， ∴ 能组成三角形； 对于选项D：∵， ∴ 不能组成三角形； 故选：C． 4．给出下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．3，4，7 C．2，3，4 D．4，8，7 【答案】B 【详解】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据构成三角形的条件逐一分析即可． 【分析】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 5．有两根长分别和的木棒，要钉成一个三角形，则第三根木棒长可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：设第三边长为， 由于三角形两边之和大于第三边， 则，即， 解得， 由于，即， 则的取值范围为， 选项A、不满足， 选项B、不满足， 选项C、满足， 选项D、不满足， 故选：C． 确定第三边的取值范围 6．如图，是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽AB可能是（   ） A．53cm B．45cm C．36cm D．27cm 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系， 根据，则，据此即可作答． 【详解】解：， ， A、B、C、D四个选项只有D选项符合上述范围， 故选：D． 7．一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则第三边长可能是（   ） A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系， 根据三角形三边关系，第三边长度应大于已知两边的差，且小于两边的和，解答即可． 【详解】解：设第三边长为，根据题意，得 ， 即， ∴第三边长可能是． 故选：C． 8．如图，，小明以点为圆心，3为半径画弧，又以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三边关系求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴，即：； ∴m的值可能是4； 故选D． 9．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，，，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆，可分别绕轴和转动．若要刚好围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系得到的取值范围即可求解． 【详解】解：根据题意，，，， 设在篱笆上接上新的篱笆的长度为， 若要围成一个三角形的空地，则， 解得， 故选项C符合题意， 故选：C． 10．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：， ， 折叠凳的宽可能， 故选：A． 三角形的分类 11．在下列条件中：①；②；③；④，其中能确定为直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题重点考查三角形内角和定理，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键． 通过三角形内角和为判断每个条件是否能推出一个角为，从而确定是否为直角三角形． 【详解】①，， ，即， 为直角三角形． 故①符合题意． ，， ． 不是直角三角形． 故②不符合题意． ， ，． ， ，． ，． 为直角三角形． 故③符合题意． ， ，． ， ，． ，． 不是直角三角形． 故④不符合题意． 综上，①和③能确定，共2个． 故选：B 12．三角形中的三个内角之比为，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的分类，根据三角形内角和为，利用角度比设未知数，求出各角度数，判断三角形的类型． 【详解】解：∵三个内角之比为， ∴设三个内角分别为． ∵三角形内角和为， ∴， ∴， ∴三个内角分别为， ∵有一个角为， ∴该三角形为直角三角形． 故选A． 13．若△ABC的三个内角满足关系式，则此三角形（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定有一个内角为45° D．一定有一个内角为60° 【答案】C 【分析】此题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，结合已知条件，可求出的度数，从而判断选项 【详解】∵ （三角形内角和定理）， 又∵ （已知）， ∴，即 ， ∴， ∴ 此三角形一定有一个内角为45°，故选项C正确， 选项A错误，因为和可能均为锐角（如和）或有一个钝角（如和），不一定是锐角三角形； 选项B错误，理由同A，不一定是钝角三角形； 选项D错误，因为，且和之和为，但可能不含（如和）， 故选：C 14．一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的分类．设三个角分别为、、，根据三角形内角和定理列出方程解出，再计算各角度数，判断三角形类型．理解和掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三个内角度数之比为， 设三个角分别为、、， 又∵三角形内角和为， ∴， ∴， ∴这个三角形的三个角分别为、、， ∵这个三角形的三个角中有一个角为， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：B． 15．在一个三角形中，最小的一个角大于，则的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解决本题的关键是通过反证法利用三角形内角和定理，得出矛盾后确定最大角范围，从而判断形状． 利用三角形内角和定理，结合最小角大于，通过反证法推导出最大角小于，从而判断三角形为锐角三角形． 【详解】解：∵ 最小角大于， ∴ 每个角都大于， 设三个角为，且，则， ∵， 若，则， 但， ∴，与矛盾， ∴， ∴所有角都小于， ∴是锐角三角形． 故选：A． 三角形内角和 16．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 17．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 18．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 19．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 20．如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的概念，先由，得，再运用，代数进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ 故选：D． 三角形的外角的定义及性质 21．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点分别叠放在长方形的两条对边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的性质，外角的性质，解题的关键是掌握相应的知识点，利用平行线的性质及外角的性质进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的对边平行即平行线的性质得：， 根据三角形外角的性质得：， ， 故选：D． 22．如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等知识点，掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角的和是解题的关键． 如图：先根据三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质求得的度数即可． 【详解】解：如图：∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 故选A． 23．如图，在中，，，延长至点，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：是的一个外角，，， ； 故选：B． 24．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 首先根据两直线平行，同位角相等求出，再利用外角的性质求出即可． 【详解】解：，， ， ，， ． 故选：A． 25．如图，在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 故选：B． 三角形折叠中的角度问题 26．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用折叠的性质求出，从而可利用三角形内角和定理求出，再利用折叠的性质求得． 【详解】解：∵，将沿翻折后，点A落在边上的点F处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 27．如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 28．如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 根据折叠和平角的定义，求出，根据外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 29．如图，在中，点为内部的一个定点，，将沿折叠使点与点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，再根据三角形内角和定理计算即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 30．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先根据折叠可知，再结合平角的定义可得，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：根据折叠可知， ∵，且， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $