专题07 勾股定理、事件（期末复习专项训练，12大题型）八年级数学上学期新教材北京版

专题07 勾股定理、事件 题型1 勾股定理 题型7 求旗杆长度 题型2 勾股定理面积问题（常考点） 题型8 筷子问题 题型3 勾股定理与网格点（易错点） 题型9 勾股定理逆定理 题型4 勾股定理与折叠问题 题型10 逆定理与网格点 题型5 赵爽弦图 题型11 事件 题型6 勾股定理与实际应用（难点） 题型12 随机事件发生的可能性 题型一 勾股定理（共3小题） 1．如图，在中，，平分，若，，求的长． 2．如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为 ． 3．如图，中，，平分交于点，，，则点到的距离为 ． 题型二 勾股定理面积问题（共3小题） 4．如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 5．直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（     ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 6．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ． 题型三 勾股定理与网格点（共3小题） 7．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 ． 8．在的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点与格点给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接，，，若与的某条边相等，则称P为的关联点．    图1                       图2 (1)如图1，在格点，，中，是关联点的是______； (2)如图2，若点为的关联点，当点P是内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置； (3)如图2，E是的边上一点（不与点A，C重合），过点E作的垂线，与的边（或）交于点F．若线段上存在的两个关联点，求线段的取值范围． 9．【阅读学习】 如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，，，，可知，所以点就是的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点（小正方形的顶点）上，，，三个点中，___________是的勾股点； (2)如图3，为等边三角形，过点作的垂线，点D在该垂线上，连接，以为边在其右侧作等边，连接，． ①求证：； ②判断点是否为的勾股点，并说明理由； ③若，，直接写出等边的边长：_____________． 题型四 勾股定理与折叠问题（共3小题） 10．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 11．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 12．如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 题型五 赵爽弦图（共3小题） 13．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 14．“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是 ． 15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型六 勾股定理实际应用（共3小题） 16．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路.某学习实践小组通过测量可知，的长约为6米，的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米． 17．《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺；牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？即：如图，在中，，，，求的长． 18．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 题型七 求旗杆长度（共3小题） 19．数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 20．如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部，若设学校旗杆的高度是，则可列方程为 ． 21．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图： ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 题型八 筷子问题（共3小题） 22．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 23．如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 24．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 题型九 勾股定理逆定理（共3小题） 25．下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的一组条件是（   ） A． B． C． D． 26．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．1，1， B．1，1，2 C．1，2，2 D．2，2，4 27．如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是 ． 题型十 逆定理与网格点（共3小题） 28．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 29．如图所示的网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，为格点三角形． (1)__________； (2)在图2和图3中分别画出一个以点，为顶点，与全等，且位置互不相同的格点三角形． 30．如图，在的网格中，线段的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上． (1)在图中作线段（线段的端点都在格点上），使得，垂足为； (2)在（）的条件下，猜想线段、之间的数量关系，并说明理由（根据需要可以自己标注字母）． 题型十一 事件（共3小题） 31．下列事件中，随机事件是（   ） A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6 B．任意画一个三角形，其内角和为 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾 32．一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（   ） A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 33．下列事件：①通常加热到时，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机APP购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于，其中是随机事件的是 ．（只填写序号即可） 题型十二 随机事件发生的可能性（共3小题） 34．有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟． 刚把两人洗完， 就听到两个小家伙在床上 笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为 ． 35．在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 36．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则的值是（    ） A．250 B．10 C．5 D．1 2 / 12zxxk.com 1 / 12zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 勾股定理、事件 题型1 勾股定理 题型7 求旗杆长度 题型2 勾股定理面积问题（常考点） 题型8 筷子问题 题型3 勾股定理与网格点（易错点） 题型9 勾股定理逆定理 题型4 勾股定理与折叠问题 题型10 逆定理与网格点 题型5 赵爽弦图 题型11 事件 题型6 勾股定理与实际应用（难点） 题型12 随机事件发生的可能性 题型一 勾股定理（共3小题） 1．如图，在中，，平分，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识是解答本题的关键． 作于点E，根据角平分线的性质可得，然后利用勾股定理求得，再证明，可得，然后设，则，再根据勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：作于点E，如图： ∵，平分，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 即， 解得， ∴． 2．如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系及完全平方公式的应用，正确得出的值最大时，直线在外部，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定和性质得出，得出当直线在内部时，，当直线在外部时，，可得的值最大时，直线在外部，根据勾股定理，利用完全平方公式得出，结合三角形三边关系即可的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当直线在内部时，， 当直线在外部时，， ∴的值最大时，直线在外部， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为： 3．如图，中，，平分交于点，，，则点到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，如图，过D点作交于点，根据勾股定理得出，再由角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得出结果． 【详解】解：如图，过D点作交于点， ∵， ， ∵，， ∴， ∵平分交于点， ， 故答案为：3． 题型二 勾股定理面积问题（共3小题） 4．如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，圆面积公式等．根据题意设，分别表示出两个阴影面积和，再表示出的面积，后比较大小即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（     ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，掌握勾股定理是解题的关键，分别表示出对应图形的，再结合进行逐一判断即可． 【详解】解：图①中，由等边三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图①符合题意； 图②中，由半圆的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图②符合题意； 图③中，由等腰直角三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图③符合题意； 图④中，由正方形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图④符合题意； 故选：D 6．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算，由勾股定理得出正方形的面积关系是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：1． 题型三 勾股定理与网格点（共3小题） 7．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 8．在的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点与格点给出如下定义：点P为网格中一点（与点B，C不共线），连接，，，若与的某条边相等，则称P为的关联点．    图1                       图2 (1)如图1，在格点，，中，是关联点的是______； (2)如图2，若点为的关联点，当点P是内部（不含边界）的格点时，请标出所有满足条件的点P的位置； (3)如图2，E是的边上一点（不与点A，C重合），过点E作的垂线，与的边（或）交于点F．若线段上存在的两个关联点，求线段的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，分类讨论等知识和方法，灵活运用相关知识及方法是解答本题的关键． （1）根据关联点的定义，首先可判断， 两点是的关联点； （2）根据线段垂直平分线的性质可知，的关联点在三边的垂直平分线上，根据，关联点可以在以点A为圆心，长为半径的圆上，根据，关联点也可以在以点C为圆心，长为半径的圆上，在内处于3条垂直平分线和2个圆弧上，又是格点的点即为所求作的关联点； （3）作的中垂线，交的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，分当点K与点E重合时，当点F与点M重合时，当点F与点B重合时，当时，当时，讨论即可． 【详解】（1）与中的相等， 点为的关联点， 与中的边均不相等， 点不是的关联点， 与中的相等， 点为的关联点， 故答案为：，． （2）如图，点，，即为满足条件的点P的位置；    （3）如图，作的中垂线，交的交点为L，K，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点M，    当点F与点M重合时，此时，与交于点H， ， ∴点M，点H是的关联点，此时上有2个的关联点， ， ， ， ； 当时，此时上有1个的关联点，为与的交点，不符合题意； 当点F与点B重合时，此时，与交于点Q， ， ∴点Q，点是的关联点，此时上有2个的关联点， ； 当时，此时上有2个的关联点，为与的交点，和圆弧与的交点，符合题意； 综上所述，结合图形可知，或，线段上存在的两个关联点， 的取值范围是：． 9．【阅读学习】 如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，，，，可知，所以点就是的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点（小正方形的顶点）上，，，三个点中，___________是的勾股点； (2)如图3，为等边三角形，过点作的垂线，点D在该垂线上，连接，以为边在其右侧作等边，连接，． ①求证：； ②判断点是否为的勾股点，并说明理由； ③若，，直接写出等边的边长：_____________． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②是的勾股点，理由见解析；③或． 【分析】（1）利用勾股定理求出，，，即可判断是否为的勾股点， ，同理； （2）①根据等边三角形性质，利用SAS证明； ②由得，再利用勾股定理得，等量代换即可证明结论； ③于，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ 故不是的勾股点； ∵，，， ∴ 故不是的勾股点； ∵，，， ∴ 故不是的勾股点； 故答案为：． （2）①证明：∵和是等边三角形 ∴，， ∴， ∴（SAS）． ②是的勾股点，理由如下 ∵ ∴ 又∵ ∴ 由，得： ∴是的勾股点． ③∵，，且为的勾股点 ∴ ①当在下方时，作于 ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ②当在上方时，作于 同理：，， ∴ 故等边的边长为：或 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解，以及利用勾股定理求各线段的长． 题型四 勾股定理与折叠问题（共3小题） 10．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 11．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断；设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 是由折叠得到， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即的长为， ． 故答案为：． 12．如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质可得，可得，设，表示出，进而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿向上翻折得到，使点在射线上， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得： 即的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型五 赵爽弦图（共3小题） 13．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（    ）． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴， ∴，即④错误； 综上，正确的有①②③． 故选B． 14．“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练运用勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据可知大正方形的面积为，然后求得，最后求其算术平方根即可． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， 根据勾股定理可知：大正方形的面积为②， 由①②可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】∵勾，弦， ∴ ∴小正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系． 题型六 勾股定理实际应用（共3小题） 16．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路.某学习实践小组通过测量可知，的长约为6米，的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米． 【答案】4 【分析】根据题意利用勾股定理得出，再由线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，的长约为6米，的长约为8米， ∴米， ∴米， ∴多行4米， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，理解题意是解题关键． 17．《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺；牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？即：如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】设绳子，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设绳子，则． 由勾股定理，得． 解得：． 答：绳子AC的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解答本题的关键． 18．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【答案】此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米， 由题意列方程为：， 解方程得， 答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米． 题型七 求旗杆长度（共3小题） 19．数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理，解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得直角三角形斜边长为，直角边长分别为，， 根据勾股定理，得， 故答案为：． 20．如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部，若设学校旗杆的高度是，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设学校旗杆的高度是，根据勾股定理得到：， 故答案为：． 21．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图： ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，利用勾股定理解答即可求解； （）由题意可知米， 米，，利用勾股定理求出，即得的长，进而即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的解题的关键． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得，， 解得， 答：旗杆的高度为米； （2）解：由题意可知，米， 米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米， ∴米， 答：此时绳结到地面的高度为米． 题型八 筷子问题（共3小题） 22．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：A． 23．如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出吸管露在杯子外面的长度的最短距离，再求出吸管露在杯子外面的长度的最长距离，进而可得出结论． 【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，吸管露在杯子外面的长度最短， 此时， 故吸管露在杯子外面的长度的最短距离； 当吸管垂直杯子底面时，吸管露在杯子外面的长度为， 即吸管在杯子外端的长度范围是， 选项D不符合题意， 故选：D 24．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 题型九 勾股定理逆定理（共3小题） 25．下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的一组条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：A、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，符合题意； B、∵任何三角形都有， ∴不一定是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴是等边三角形， ∴不是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 26．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（    ） A．1，1， B．1，1，2 C．1，2，2 D．2，2，4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，若三角形为直角三角形，则需满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．逐一验证各选项即可． 【详解】选项A：最长边为，验证勾股定理：等式成立，符合条件． 选项B：最长边为2，验证：等式不成立，排除． 选项C：最长边为2，验证：等式不成立，排除． 选项D：最长边为4，验证：等式不成立，排除． 综上，只有选项A满足勾股定理， 故选A． 27．如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，过点F作于M，可证明，则由勾股定理的逆定理可得，由等边三角形的性质可得，则可证明，得到，求出，得到；同理可证明，得到，再证明，得到四边形是平行四边形，则． 【详解】解；如图所示，过点F作于M， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：6． 题型十 逆定理与网格点（共3小题） 28．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，二次根式的运算，利用勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，面积公式求出的面积，过点作，等积法求出的长，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理，得：，，，故选项C正确； ∴， ∴为直角三角形，，故选项B正确； ∴，故选项D错误； 过点A作于点D， 则， ∴， 即点A到直线的距离是2，故选项A正确； 故选：D． 29．如图所示的网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，为格点三角形． (1)__________； (2)在图2和图3中分别画出一个以点，为顶点，与全等，且位置互不相同的格点三角形． 【答案】(1)90 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，全等三角形的判定， （1）由勾股定理分别求出，，，再利用勾股定逆定理，得出是直角三角形，即可得到的度数； （2）根据三条边分别对应相等的两个三角形全等画图即可． 【详解】（1）解：由勾股定理，，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：； （2）解：如图，和即为所求作． 30．如图，在的网格中，线段的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上． (1)在图中作线段（线段的端点都在格点上），使得，垂足为； (2)在（）的条件下，猜想线段、之间的数量关系，并说明理由（根据需要可以自己标注字母）． 【答案】(1)作图见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定和性质， （1）构造全等三角形解决问题即可； （2）利用“”证明，即可得到； 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． 理由：由图可得，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：． 理由： 在和中， ， ∴， ∴． 题型十一 事件（共3小题） 31．下列事件中，随机事件是（   ） A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6 B．任意画一个三角形，其内角和为 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6是不可能事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意； D、在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾是必然事件，不符合题意； 故选：C． 32．一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（   ） A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意； B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意； C、摸出的2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意； D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 33．下列事件：①通常加热到时，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机APP购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于，其中是随机事件的是 ．（只填写序号即可） 【答案】② 【分析】本题考查了事件的分类； 根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义进行判断即可． 【详解】解：①“通常加热到时，水沸腾”是必然事件； ②“人们外出旅游时，使用手机APP购买景点门票”是随机事件； ③“在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于”是不可能事件． 故答案为：②． 题型十二 随机事件发生的可能性（共3小题） 34．有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟． 刚把两人洗完， 就听到两个小家伙在床上 笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为 ． 【答案】 【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可． 【详解】解：此事件发生的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键． 35．在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 36．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则的值是（    ） A．250 B．10 C．5 D．1 【答案】B 【分析】根据概率的意义列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $