专题05 直角三角形（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材湘教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理直角三角形的核心考点、复习目标及考情规律，分四个知识点模块呈现性质定理、勾股定理及逆定理、HL全等判定和角平分线性质，每个模块均标注易错点，形成清晰的知识脉络。 讲义亮点在于按题型分类的解题技巧指导，如勾股定理折叠问题的“三步法”标注相等量、设未知数列方程、验证解的合理性，结合梯子问题、最短路径等实际应用培养模型意识和几何直观。分层设计基础通关练、重难突破练，满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

专题05 直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直角三角形的性质 能运用勾股定理和30°角性质进行计算证明 选择题高频考点，常与全等三角形结合考查（占期末分值20%） 勾股定理及其逆定理 能熟练运用勾股定理解决实际问题 解答题必考内容，易错点在忽略分类讨论（占期末失分30%） 直角三角形全等判定(HL) 能规范书写HL判定证明过程 中档证明题核心考点，常作为综合题第一步（命题趋势：结合尺规作图考查） 角平分线性质 会利用角平分线定理进行几何计算与证明 中档题高频考点，命题趋势注重与全等三角形的结合（占分值18%） 知识点01 直角三角形的性质定理 1.直角三角形的两个锐角互余。 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30° 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 易错点：1. 混淆斜边中线定理与角平分线定理 2. 忽略30°角所对直角边等于斜边一半的前提条件 3. 错误应用"直角边等于斜边一半"的逆命题 知识点02 勾股定理及其逆定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 2.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 3.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 易错点： 1. 忽视勾股定理仅适用于直角三角形 3. 使用逆定理时未验证三角形是否为直角 4. 实际问题中漏解（如梯子滑动问题需考虑两种情况） 4. 计算时混淆平方与开方运算顺序 知识点03 直角三角形全等的判定 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)易错点：1. HL定理中错误认定直角边（必须是一直角边一斜边） 2. 混淆HL与SSA的区别（SSA在非直角情况下不成立） 3. 证明过程缺少"Rt△"的直角标注 知识点04 角平分线的性质 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 易错点：1. 混淆"角平分线上的点"与"点到角两边距离"的因果关系 2.证明时未完整写出"垂直距离"的构造过程 3. 与线段垂直平分线性质混用 4. 忽略外角平分线的特殊情况 题型一 直角三角形的性质定理的应用 解｜题｜技｜巧 1.斜边中线定理：遇中点必连斜边中线（长度等于斜边一半） 2.30°角性质：看到30°立即作高，转化为特殊直角三角形 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，则的长为（ ） A．7 B．8 C．10 D．12 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图①中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得顶点O与点N重合，与相交于点E，求的度数； (2)将图①中三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图③，且恰好平分，与相交于点E，求的度数； (3)将图①中三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与边平行；在第______秒时，直线恰好与直线垂直． 题型二 勾股定理与折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠本质：全等变换→对应边相等+对应角相等 解题步骤： 标出所有已知和隐含相等量 设未知边为x，建立勾股方程 验证解的合理性（如线段长度非负） 经典模型：长方形折叠→必产生"勾股三角形" 【典例1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【典例2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，是长方形的对角线，四边形是正方形，且位于长方形内，连接，将沿折叠得到，将沿折叠得到，点恰好落在上，若，则长方形的面积为 ． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期末）折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)． (1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹) (2)若，求折痕的长． 题型三 勾股定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 梯子问题：明确"墙面-地面-梯子"的直角三角形关系 最短路径： 圆柱侧面展开→长方形对角线 立方体表面→两种展开方式比较 测量问题：构造相似直角三角形用比例求解 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 【典例2】（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？ 【变式1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【变式3】（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 题型四 勾股定理逆定理的实际应用 答｜题｜模｜板 验证步骤： 计算三边平方关系 确认最大边对应角 排除钝角/锐角三角形可能 实际场景： 验证三角支架是否直角 检查农田对角线是否垂直 【典例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 【变式2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【变式3】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 题型五 全等的性质和HL综合 答｜题｜模｜板 HL判定要点： 必须标注"Rt△" 必须明确说明直角边和斜边 辅助线需用虚线并说明作法 综合解题流程： 找直角→证全等→用性质→得结论 【典例1】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，，，垂足分别为C，D，与相交于点O，．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，P，F分别是边，边上的点，作于点D，于点E，连接，若，． (1)求证：； (2)若，的面积为6，求的面积． 【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）在证明等腰三角形性质定理时，甲、乙、丙三位同学方法如下图所示： 等腰三角形的性质定理的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．已知：如图， 在中，，求证： 甲同学的方法： 过点作的平分线交于点， 乙同学的方法： 过点作于点， 丙同学的方法： 取的中点，连接， 请选择一种方法补全证明过程． 【变式3】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型六 角平分线的性质和判定 答｜题｜模｜板 性质应用： 见角平分线立即作双垂直 线段比转化：AD/DC=AB/BC 判定技巧： 先证距离相等 再证点在角平分线上 综合题突破口： 角平分线+平行线→等腰三角形 【典例1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点F，G，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式1】（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，是的与的平分线的交点，于点，的延长线交于，的延长线交于，下列结论正确的是：①；②若，则；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，平分，交于D，过点D作交于．若，，则的长为 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．1，2，5 C．，， D．30，40，50 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 ． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（    ）． A．1 B． C． D． 3．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长至点D，使，连接． (1)求证：； (2)若E为线段上的一点，且，，P为线段上的一动点，连接，． ①求的最小值； ②求的最小值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 2．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 5．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直角三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直角三角形的性质 能运用勾股定理和30°角性质进行计算证明 选择题高频考点，常与全等三角形结合考查（占期末分值20%） 勾股定理及其逆定理 能熟练运用勾股定理解决实际问题 解答题必考内容，易错点在忽略分类讨论（占期末失分30%） 直角三角形全等判定(HL) 能规范书写HL判定证明过程 中档证明题核心考点，常作为综合题第一步（命题趋势：结合尺规作图考查） 角平分线性质 会利用角平分线定理进行几何计算与证明 中档题高频考点，命题趋势注重与全等三角形的结合（占分值18%） 知识点01 直角三角形的性质定理 1.直角三角形的两个锐角互余。 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30° 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 易错点：1. 混淆斜边中线定理与角平分线定理 2. 忽略30°角所对直角边等于斜边一半的前提条件 3. 错误应用"直角边等于斜边一半"的逆命题 知识点02 勾股定理及其逆定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 2.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 3.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 易错点： 1. 忽视勾股定理仅适用于直角三角形 3. 使用逆定理时未验证三角形是否为直角 4. 实际问题中漏解（如梯子滑动问题需考虑两种情况） 4. 计算时混淆平方与开方运算顺序 知识点03 直角三角形全等的判定 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)易错点：1. HL定理中错误认定直角边（必须是一直角边一斜边） 2. 混淆HL与SSA的区别（SSA在非直角情况下不成立） 3. 证明过程缺少"Rt△"的直角标注 知识点04 角平分线的性质 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 易错点：1. 混淆"角平分线上的点"与"点到角两边距离"的因果关系 2.证明时未完整写出"垂直距离"的构造过程 3. 与线段垂直平分线性质混用 4. 忽略外角平分线的特殊情况 题型一 直角三角形的性质定理的应用 解｜题｜技｜巧 1.斜边中线定理：遇中点必连斜边中线（长度等于斜边一半） 2.30°角性质：看到30°立即作高，转化为特殊直角三角形 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，则的长为（ ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：中， ，，， ． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过点作于，交于，则此时，的值最小，利用等边三角形的性质求出角的度数，利用含角的直角三角形的性质求出边的长度，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，过点作于，交于， 则此时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图①中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得顶点O与点N重合，与相交于点E，求的度数； (2)将图①中三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图③，且恰好平分，与相交于点E，求的度数； (3)将图①中三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与边平行；在第______秒时，直线恰好与直线垂直． 【答案】(1) (2) (3)5或17；11或23 【分析】（1）根据平移性质和三角形的内角和定理可得，代入数据计算即可得解； （2）根据角平分线的定义求出，利用内错角相等两直线平行求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可； （3）①分在上方时，，设与相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列式求出，即可得解；在的下方时，，设直线与相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得°，然后利用三角形的内角和定理求出，再求出旋转角即可；②分在的右边时，设与相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再求出旋转角即可，在的左边时，设与相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角，计算即可得解． 【详解】（1）解：在中，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 平分， ， ， ， ； （3）解：如图1，在上方时，设与相交于， ， ， 在中，， ， ， 旋转角为， 秒； 在的下方时，设直线与相交于， ， ， 在中，， 旋转角为， 秒； 综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行； 如图2，在的右边时，设与相交于， ， ， ， 旋转角为， 秒， 在的左边时，设与相交于， ， ， ， 旋转角为， 秒， 综上所述，第11或23秒时，直线恰好与直线垂直． 故答案为：5或17；11或23． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平移性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键． 题型二 勾股定理与折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠本质：全等变换→对应边相等+对应角相等 解题步骤： 标出所有已知和隐含相等量 设未知边为x，建立勾股方程 验证解的合理性（如线段长度非负） 经典模型：长方形折叠→必产生"勾股三角形" 【典例1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 【典例2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，是长方形的对角线，四边形是正方形，且位于长方形内，连接，将沿折叠得到，将沿折叠得到，点恰好落在上，若，则长方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质可知，设正方形的边长，则，在中，根据勾股定理，可求出x的值，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：将沿折叠得到，将沿折叠得到， ， 点恰好落在上， ． 设正方形的边长，则． 在中，， ， 整理得． ， 长方形的面积为． 故答案为：4． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期末）折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)． (1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹) (2)若，求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图—基本作图、折叠的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可知，用直尺和圆规作出的平分线即可； （2）根据勾股定理求出，由折叠的性质可得、．设，则，再运用勾股定理列方程求得，即．最后再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：在中，， ∴， ∵是由沿翻折得到的， ∴， ∴． 设，则 在中，， ∴，即，解得：，即． 在中，． 题型三 勾股定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 梯子问题：明确"墙面-地面-梯子"的直角三角形关系 最短路径： 圆柱侧面展开→长方形对角线 立方体表面→两种展开方式比较 测量问题：构造相似直角三角形用比例求解 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 【典例2】（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，绳子长度比木棍高度多3尺，当绳子拉直时，木棍高度、水平距离8尺和绳子长度构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：设绳子长度为尺，则木棍高度为尺， 依题意，当绳子拉直底端着地时，有， 解得， 答：绳长为尺 【变式1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 【变式3】（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形面积公式求出到的距离，最后比较与台风影响半径的大小，判断农场是否受影响． 【详解】解：农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 题型四 勾股定理逆定理的实际应用 答｜题｜模｜板 验证步骤： 计算三边平方关系 确认最大边对应角 排除钝角/锐角三角形可能 实际场景： 验证三角支架是否直角 检查农田对角线是否垂直 【典例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 【答案】(1)是，理由见解析 (2)新路比原路少百米 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据点到直线垂线段最短即可求解； （2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近路； （2）解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， ， 百米， 新路比原路少百米． 【变式2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 【变式3】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 【答案】是从村庄到河边最近的路，见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和垂线段，由已知条件可知，进而得到，根据点到直线的距离垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：是从村庄到河边最近的路． 证明：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边最近的路． 题型五 全等的性质和HL综合 答｜题｜模｜板 HL判定要点： 必须标注"Rt△" 必须明确说明直角边和斜边 辅助线需用虚线并说明作法 综合解题流程： 找直角→证全等→用性质→得结论 【典例1】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，，，垂足分别为C，D，与相交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，利用证明，得到，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，P，F分别是边，边上的点，作于点D，于点E，连接，若，． (1)求证：； (2)若，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】（1）利用证明和全等，利用三角形全等的性质，即可得证； （2）利用等腰三角形三线合一，结合三角形全等，先证明为的中线，那么，接着证明，推出，那么为中线，那么，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴为等腰三角形， 由（1）知， ∴， 即为的平分线， ∴为的中线， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为中线， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）在证明等腰三角形性质定理时，甲、乙、丙三位同学方法如下图所示： 等腰三角形的性质定理的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．已知：如图， 在中，，求证： 甲同学的方法： 过点作的平分线交于点， 乙同学的方法： 过点作于点， 丙同学的方法： 取的中点，连接， 请选择一种方法补全证明过程． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，甲同学：过点作的平分线交于点，利用判定定理“”证明即可求证；乙同学：过点作于点，利用判定定理“”证明即可求证；丙同学：取的中点，连接，利用判定定理“”证明即可求证；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】选甲同学的方法： 证明：过点作的平分线交于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴； 选乙同学的方法： 证明：过点作于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴； 选丙同学的方法： 证明：取的中点，连接， 则， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型六 角平分线的性质和判定 答｜题｜模｜板 性质应用： 见角平分线立即作双垂直 线段比转化：AD/DC=AB/BC 判定技巧： 先证距离相等 再证点在角平分线上 综合题突破口： 角平分线+平行线→等腰三角形 【典例1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点F，G，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，角平分线的判定． （1）根据判定即可得证． （2）分别过点A作于点M，于点N，证明，可得，再根据角平分线的判定即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ． （2）证明：如图，分别过点A作于点M，于点N， ， ，， ， ， ，， 平分． 【变式1】（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，是的与的平分线的交点，于点，的延长线交于，的延长线交于，下列结论正确的是：①；②若，则；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查角平分线性质定理，三角形外角和定理，全等三角形判定及性质等．根据余角的性质得出，根据，即可判定①成立；根据角平分线性质定理，得出点到三角形三边距离相等，从而得出，即可判定②成立；过点作与点，与点，证明，得出，同理，得出，即可判定③成立；根据，，得出和不一定全等，从而得出不一定等于，即可判定④错误． 【详解】解：∵是的与的平分线的交点， ∴是三内角平分线的交点， ∴， ∵，， ∴， ∵于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即①成立； ∵是三内角平分线的交点， ∴点到三角形三边距离相等， ∵， ∴，即②成立； 如图，过点作与点，与点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴同理， ∴， ∴，即③成立； 由③证得：， ∵， ∴和不一定全等， ∴不一定等于， ∴，即④错误， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】6 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，平分，交于D，过点D作交于．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线性质求出，证明，得，然后利用等腰直角三角形的性质即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：平分，，， ，， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据“在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：如图，，，， ∴， 即底边上的高是， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．1，2，5 C．，， D．30，40，50 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是指三个正整数，满足勾股定理，据此解答即可． 【详解】解：A、，非正整数，故不是勾股数； B、，故不是勾股数； C、，非正整数，故不是勾股数； D、，，即，故是勾股数． 故选：D． 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 【答案】（或者） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据直角三角形全等的判定定理“”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故若要用“”证明，则需要添加的一个条件是（或者）， 故答案为：（或者）． 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．如图，过点D作于点E，利用角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而利用三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形内角和定理， 对于（1），根据“边角边”即可证明； 对于（2），由，可得，进而求得答案； 对于（3），作，，根据，可得，进而得，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在中， ， ∴； （2）解：设交于点O， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：过点C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题及勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．将圆柱侧面展开图如图所示，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处，那么它爬行的最短路程即为的长，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， 圆柱高为，底面圆的周长为， ， 由图形可知，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处，那么它爬行的最短路程为的长， 在中， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出． 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则， 故选D． 3．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ． 【答案】84 【分析】先算出，再结合，，得出，，故平分，再结合角平分线的性质得出，运用三角形面积之间的关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 如图，过E作于N，延长，过E作于H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ， 故答案为：84． 【点睛】本题考查了邻补角互补，三角形内角和性质，角平分线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长至点D，使，连接． (1)求证：； (2)若E为线段上的一点，且，，P为线段上的一动点，连接，． ①求的最小值； ②求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定和性质得出，，，再由等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，即可证明； （2）①过点P作于点D，过点E作交于点，交于点根据含30度角的直角三角形的性质得出，确定当点P与点重合时，的值最小，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； ②过点D作交于点P，交于点 由题意知点B与点D关于对称，得出，结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：，B，C，D三点共线， ， ，， ∴， ，， ， 是等边三角形， ； （2）解：①如图1，过点P作于点D，过点E作交于点，交于点 ， ， 当点P与点重合时，的值最小． ，，， 由（1）得， ， 在中，， ， ， ， 故的最小值是 ②如图2，过点D作交于点P，交于点 由题意知点B与点D关于对称， ， 同①得，， ， 故的最小值是 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 2．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 5．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $