专题04 三角形（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题04 三角形 题型1 三角形的分类及三边关系 题型7 全等三角形辅助线问题（难点） 题型2 三角形的高、中线、角平分线 题型8 结合尺规作图的全等问题 题型3 三角形的内角和定理和外角性质的应用 题型9 等腰三角形的性质与判定（重点） 题型4命题的定义 题型10 等边三角形的性质与判定 题型5 全等三角形的性质及应用 题型11 线段垂直平分线的性质 题型6 选择合适的方法判定三角形全等（常考点） 题型12 线段垂直平分线的判定 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的分类及三边关系（共3小题） 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为 三角形．（按角分） 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 题型二 三角形的高、中线、角平分线（共4小题） 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，为中线，，分别是，的高，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，是的中线，，则的周长比的周长大 （用含a，b的代数式表示）． 6．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是 ． 7．（24-25七年级下·广东佛山·期末）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 题型三 三角形的内角和定理和外角性质的应用（共5小题） 8．（25-26八年级上·全国·期末）若等腰三角形的一个角是，则等腰三角形的底角是（     ） A． B．或 C． D．或 9．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期末）小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 11．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 12．（23-24七年级下·广西北海·期末）已知：如图，．求的度数． 题型四 命题的定义（共4小题） 13．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（  ） A．同位角相等 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．对顶角相等 D．不循环小数是无理数 14．（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 15．（24-25七年级下·吉林白山·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 16．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 题型五 全等三角形的性质及应用（共3小题） 17．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为 ． 题型六 选择合适的方法判定三角形全等（共4小题） 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． (1)求证：； (2)请求出的长． 21．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 22．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 23．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知中，，，一直线m过的顶点C．过点A作，过点B作，垂足分别为E，F． (1)试说明：； (2)请直接写出之间的数量关系__________． 题型七 全等三角形辅助线问题（共4小题） 24．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； (2)如图，点为的中点，，，求； (3)如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 25．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【问题情境】 倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接． 是的中线， 在和中， 在中，， ∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】 （1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】 （2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，． （i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 26．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 27．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景： （1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______； 探究延伸： （2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由； 探究延伸： （3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： （4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离． 题型八 结合尺规作图的全等问题（共2小题） 28．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（22-23八年级上·福建泉州·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 题型九 等腰三角形的性质与判定（共3小题） 30．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点则下列说法正确的个数为（    ） ①； ②； ③若点是的中点，则； ④． A．个 B．个 C．个 D．个 31．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图1，已知在中，，，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，点在内部，满足，， ①求证：； ②如图3，连接，在上截取，若，，求的长． 32．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，中，的平分线交于O点，过O点作交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图2，如果，其他条件不变，图中有________个等腰三角形； 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论： ．你认为哪个正确？请说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有________个等腰三角形． 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：，．你认为哪个正确？请说明理由． 题型十 等边三角形的性质与判定（共4小题） 33．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 34．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 35．（25-26八年级上·全国·期末）如图，等边三角形中，D为中点，，当点F在线段上，点E在的延长线上． (1)求证：； (2)，与之间的数量关系是 ． 36．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图1，为等边三角形，点D在边的延长线上，连接，以为边作，过点C作平分，交于点E，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)如图2，若点D在边上，试判断的形状，并说明理由． 题型十一 线段垂直平分线的性质（共4小题） 37．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点D，连接．则的度数为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为，则等于（   ） A．8 B． C．6 D．4 39．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，已知，直线垂直平分交于点D，交于点E，连接，若的周长为14，则的周长为 ． 40．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，垂直平分，交B于点E，交于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，求的长． 题型十二 线段垂直平分线的判定（共3小题） 41．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 42．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小明用下列方法作射线：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③画射线．射线即为所求． (1)如图1，写出一组相等角或线段：___________； (2)如图2，连接，试说明射线与线段的位置关系； (3)如图3，的平分线与相交于点，请说明点在的平分线上． 43．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由． $专题04 三角形 题型1 三角形的分类及三边关系 题型7 全等三角形辅助线问题（难点） 题型2 三角形的高、中线、角平分线 题型8 结合尺规作图的全等问题 题型3 三角形的内角和定理和外角性质的应用 题型9 等腰三角形的性质与判定（重点） 题型4命题的定义 题型10 等边三角形的性质与判定 题型5 全等三角形的性质及应用 题型11 线段垂直平分线的性质 题型6 选择合适的方法判定三角形全等（常考点） 题型12 线段垂直平分线的判定 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的分类及三边关系（共3小题） 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据，则，据此即可作答． 【详解】解：， ∴， A、B、C、D四个选项只有D选项符合上述范围， 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为 三角形．（按角分） 【答案】直角 【分析】根据三角形的内角和是，求得三个内角的度数即可判断． 此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得 三角形的三个内角分别是，，． 故该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 题型二 三角形的高、中线、角平分线（共4小题） 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，为中线，，分别是，的高，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线的性质、与三角形的高有关的计算，由题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，为中线， ， ∵和分别为和的高， ， 即， ， 故选：A． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，是的中线，，则的周长比的周长大 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式，涉及中线性质，三角形周长等知识，先由中线定义得到，再由三角形周长定义，表示出的周长与的周长差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】 是的中线， ， ，，， ， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积是3， ∴ ， 故答案为：6． 7．（24-25七年级下·广东佛山·期末）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），见解析； （3），见解析． 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2）之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 题型三 三角形的内角和定理和外角性质的应用（共5小题） 8．（25-26八年级上·全国·期末）若等腰三角形的一个角是，则等腰三角形的底角是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理．解题的关键在于分情况求解．由题意知，分的角是顶角和底角两种情况求解，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的定义进行计算求解即可． 【详解】解：由题意知，分的角是顶角和底角两种情况求解： ①当的角是顶角， 则等腰三角形的底角为； ②当的角是底角，则等腰三角形的底角为， 综上，等腰三角形的底角为或． 故选：B． 9．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：根据三角形外角性质得，， ， ， 故选D． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期末）小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 11．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中结论解决问题． （1）利用三角形内角和证明即可； （2）利用先求出，根据平分求出，再根据求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·广西北海·期末）已知：如图，．求的度数． 【答案】110度 【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，正确得出的度数是解题关键． 直接利用三角形外角的性质得出的度数进而得出答案． 【详解】解：， ， ∵， ． 题型四 命题的定义（共4小题） 13．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（  ） A．同位角相等 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．对顶角相等 D．不循环小数是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了真命题和假命题，逐一分析各选项：A需两直线平行时同位角才相等；B中三角形外角可能小于相邻内角；C对顶角相等恒成立；D中不循环小数包括有限小数（有理数），不全是无理数． 【详解】A、∵同位角相等需两直线平行，否则不一定成立， ∴ A选项是假命题； B、∵ 三角形外角等于不相邻两内角之和，但可能小于相邻内角（如钝角三角形中）， ∴ B选项是假命题； C、∵对顶角总是相等， ∴ C选项是真命题； D、∵无限不循环小数是无理数． 选项D的表述不严谨，若将有限小数（如）也理解为“不循环”，则该命题为假命题． ∴ D选项是假命题． 故选：C． 14．（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【详解】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 15．（24-25七年级下·吉林白山·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写．原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 16．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题主要考查了命题之间的关系，解决问题的关键是掌握原命题与逆命题的关系； 原命题的逆命题是“如果两个角互余，那么这两个角的和等于90°”，根据互余角的定义，该逆命题成立． 【详解】解：命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是：“如果两个角互余，那么这两个角的和等于”，逆命题是真命题． 故答案为：真． 题型五 全等三角形的性质及应用（共3小题） 17．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．先根据三角形内角和定理，求出，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 由全等三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：如图：∵图中的两个三角形是全等三角形， ∴第一个三角形中，边长a、c的夹角为， ∴在第二个三角形中，边长a、c的夹角也是，即． 故选：D． 19．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握．根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴根据全等三角形的性质，，， ∴ 则的长为10， 故答案为：10． 题型六 选择合适的方法判定三角形全等（共4小题） 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． (1)求证：； (2)请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由，，根据同角的余角相等即可求解； （2）证明，由全等三角形的性质得，最后由线段和差即可求解 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：在和中： ， ， ， ， ． 21．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）根据，可得． （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 先由于D，于E，得到，再利用AAS证即可． 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴． 23．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知中，，，一直线m过的顶点C．过点A作，过点B作，垂足分别为E，F． (1)试说明：； (2)请直接写出之间的数量关系__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，，，可得，，结合，可证； （2）根据全等三角形对应边相等，可得，，进而可得． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ，， ， 故答案为：， 题型七 全等三角形辅助线问题（共4小题） 24．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； (2)如图，点为的中点，，，求； (3)如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线法的应用； （1）利用三角形的三角形的三边关系可得的取值范围，进而得出的取值范围； （2）通过倍长中线构造两三角形全等，将转换成，即可求得； （3）通过倍长中线构造两三角形全等，再通过论证与全等即可得到． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）如图，延长交的延长线于， ∵， ∴ ，因为点是的中点， ∴， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线 ， ∴； （3） 证明 ：延长至点，使， 连接 ∵ 是的中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 25．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【问题情境】 倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接． 是的中线， 在和中， 在中，， ∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】 （1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】 （2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，． （i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 【答案】（1），10，；（2）（i）证明见解析，（ii） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． （1）结合，代入数据，即可求解； （2）（i）根据等角的余角相等，即可得证； （ii）延长至点，使，连接，．证明，即可推出三点共线，根据三角形的面积公式，求得，设点到的距离为，根据等面积法，即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， 在和中， 在中，， ∴ 的取值范围是． 故答案为： ，10，． （2）（i） ， 平分． （ii）如图，延长至点，使，连接，． 是的中点， 在和中， 即三点共线， 设点到的距离为， 则， ，即点到的距离为． 26．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 27．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景： （1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______； 探究延伸： （2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由； 探究延伸： （3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： （4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离． 【答案】（1）； （2）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （3）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （4） 米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． （1）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （2）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （3）延长到，使，连接，根据 ，，得到， 先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （4）连接，延长交的延长线于， 将题干信息转换到几何图形上，可判断得到其符合第（3）问中的条件，由第（3）问中的结论可得：，根据距离速度时间求得、的长，代入计算即可得到两舰艇之间的距离的长． 【详解】解：（1）如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （4） 如图，连接，延长交的延长线于， 同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处， ，， 指挥中心观测两同学视线之间的夹角为， ， ． 两同学到指挥中心的距离相等，同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进， ，， ， 符合第（3）问中的条件， 由第（3）问中的结论可得：， 根据题意得，（米）， （米）， （米）． 答：此时两同学之间的距离为米． 题型八 结合尺规作图的全等问题（共2小题） 28．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 29．（22-23八年级上·福建泉州·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 题型九 等腰三角形的性质与判定（共3小题） 30．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点则下列说法正确的个数为（    ） ①； ②； ③若点是的中点，则； ④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理得，再由角平分线的定义得，，然后由三角形内角和定理即可得出结论；只有当是的中线时，，进而进行判断即可； 延长至，使，连接，证明≌，得，再由等腰三角形的判定进行判断即可；作的平分线交于点，证明≌，，得，，进而判断即可． 【详解】解：在中，， ， 平分，平分， ，， ，故正确，符合题意； 当是的中线时，， 而平分，故错误，不符合题意； 如图，延长至，使，连接， ∵点是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， 为角平分线， ， ， ， ， ，故正确，符合题意； 如图，作的平分线交于点， 由得， ，， ， ，，， ≌，， ，， ，故正确，符合题意； 综上所述，正确的有，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图1，已知在中，，，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，点在内部，满足，， ①求证：； ②如图3，连接，在上截取，若，，求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）设，则，利用等边对等角和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）①证明得到，根据三角形内角和定理得到，再证明，即可证明结论； ②连接，根据题意得出是等腰直角三角形，进而证明，根据①的结论得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴，， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 由①可得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 32．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，中，的平分线交于O点，过O点作交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图2，如果，其他条件不变，图中有________个等腰三角形； 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论： ．你认为哪个正确？请说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有________个等腰三角形． 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：，．你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1）；（2）5；[综合运用]正确，理由见解析；（3）2；[拓广探索] 正确，理由见解析． 【分析】（1）利用三角形的内角和是，得出的度数； （2）根据，、的平分线交于点，可得，，，， 再加上题目中给出的，共5个等腰三角形，根据等腰三角形的性质，即可得出与、间有怎样的关系． （3）根据角平分线性质和平行线性质推出，，得出，即可得出与、之间的关系． 【详解】解：（1），； （2）， ， ， ，， ， ， ，， 和的平分线交于点， ，， ，， ， ， ，， △，△，△，△，△是等腰三角形，共5个， ； 故答案为：5； [综合运用]， 理由如下：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， △和△是等腰三角形， ， ； （3）平分，平分，， ，， ， ，， ，， ，， △和△是等腰三角形，共2个， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解本题的关键． 题型十 等边三角形的性质与判定（共4小题） 33．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． ①连接，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上正确的结论有：①③④， 故选：A． 34．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过作的平行线交于点，所以，又是等边三角形，得，，，然后证明，故有，因为，是等边三角形，所以，，设，则，，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作的平行线交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 35．（25-26八年级上·全国·期末）如图，等边三角形中，D为中点，，当点F在线段上，点E在的延长线上． (1)求证：； (2)，与之间的数量关系是 ． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）过点作交于，结合题意以及等边三角形的性质，证明为等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）首先证明，设，得，进一步可知，即可获得答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 为的中点， ， 过点作交于，如下图， ，， 为等边三角形， ， ∴，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ； （2）解：∵， ， ， ， 设， ， ， ，即， 故答案为：． 36．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图1，为等边三角形，点D在边的延长线上，连接，以为边作，过点C作平分，交于点E，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)如图2，若点D在边上，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）首先证得，然后利用全等三角形的对应边相等，即可求得为等边三角形； （2）根据题意证明可得，进而根据即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又， ∴为等边三角形； （2）是等边三角形，理由如下： 是等边三角形 是的外角平分线 又 是等边三角形． 题型十一 线段垂直平分线的性质（共4小题） 37．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点D，连接．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查作图﹣基本作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键；根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ， 由作图可知为的中垂线，   ∴， ∴， ∴， 故选：A． 38．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为，则等于（   ） A．8 B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，再根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵的周长为， ∴， 故选：A． 39．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，已知，直线垂直平分交于点D，交于点E，连接，若的周长为14，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质知，的周长，进而求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长 ， ∴的周长． 故答案为：22 40．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，垂直平分，交B于点E，交于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段的垂直平分线的性质，推导出，，得到，即可解答； （2）先推导出，继而求出，即，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十二 线段垂直平分线的判定（共3小题） 41．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 42．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小明用下列方法作射线：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③画射线．射线即为所求． (1)如图1，写出一组相等角或线段：___________； (2)如图2，连接，试说明射线与线段的位置关系； (3)如图3，的平分线与相交于点，请说明点在的平分线上． 【答案】(1)或 (2) (3)见解析 【分析】（1）由作图方法可得，，即可解答； （2）由（1）知，，易得是等腰三角形，由等腰三角形三线合一即可证明结论； （3）连接，利用可证明，可得，进而得到，由，易证，进而得到，由角的和差求出，进而得到，即可说明点在的平分线上． 【详解】（1）解：由作图方法可得，， 故答案为：或； （2）解：由（1）知， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴点在的平分线上． 【点睛】本题考查角平分线的作法，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 43．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】线段垂直平分，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等，得出对应角相等，进而判断线段之间的位置关系． 【详解】解：线段垂直平分． 证明：，， ， 又， ， ， 点，在线段的垂直平分线上， 线段垂直平分． $