专题13 三角形和直角三角形相关动点问题分类训练（8种类型48道）（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期湘教版2024

专题13 三角形和直角三角形相关动点问题分类训练 （8种类型48道） 考点01 动点定值问题 考点02 动点存在性面积相关 考点03 动点存在性全等相关 考点04 动点存在性三角形相关 考点05 最值问题 考点06 探究角的数量关系 考点07 探究线段的数量关系 考点08 求运动时间 考点01 动点定值问题 1．如图，射线于点，点、分别在、上，为线段的中点，且于点． (1)若，的面积为． ①直接写出的值； ②求的周长． (2)若，点在射线上移动，问：在此过程中，的值是否会为定值？若会，请求出这个定值；若不会，请求出它的取值范围． 2．【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 3．如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 4．在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点，连接和，当时，与长度之和为定值．为验证此规律的正确性，小睿的思路是通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空： (1)在上方作，射线交于点尺规作图，保留作图痕迹 (2)证明：为等边三角形， ，①______， 在和中， ， ， ③______， ，即BD与BE长度之和为定值． 5．如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． (1)_____．（用含α的式子表示）； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 6．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．在图①中，；在图②中， ，．图③是该同学所做的一个实验：他将的直角边放在的斜边上（即点D、E在上），并将沿方向移动．在移动过程中（移动开始时点D与点A重合），在沿方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答． (1)能否将移动至某位置，使F、C的连线与平行？如果能，求出的度数； (2)在移动的过程中，与的度数之和是否为定值？若为定值，请求出，请说明理由． 考点02 动点存在性面积相关 7．综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动． (1)操作与猜想：在中，，点在上，以为边，在外侧作．如图1，此时与之间的数量关系为____________；与之间的位置关系为____________． (2)迁移与深究：在（1）的条件下，连接和的面积是否相等？说明理由． (3)拓展与应用：如图2，已知，点在上，，，在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 8．等边中，点D为边上一动点，连接，作点A关于直线的对称点E，连接， (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，若，，求的长度； (3)如图3，若，点D在边上运动的过程中，存在点E使，求此时的面积． 9．综合与实践 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． 【作图探讨】（1）如图1，以为圆心，为半径画弧，为圆心，为半径画弧；两弧交于点，连接，；则． 选择填空：得出的依据是______（填序号）． ① ② ③ ④ 【测量发现】如图2，在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明结论，尝试延长线段至点，使，连接，从而得以证明．请完成证明过程． 【迁移应用】（3）如图3，，，，，点在上，，在射线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点． (1)直接写出点和的坐标： ， ； (2)如图2，点是轴正半轴上的一点．且，，，分别平分，，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点（不与点重合），使得三角形的面积和三角形的面积相等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足：，过C作轴于B． (1)求的面积． (2)如图2，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数． (3)在y轴上存在点P，使得和的面积相等？若存在，请直接写出P点坐标． 12．如图，已知等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=，点A、B分别在x轴和y轴上，点C的坐标为（6，2）. （1）如图1，求A点坐标； （2）如图2，延长CA至点D，使得AD=AC，连接BD，线段BD交x轴于点E，问：在x轴上是否存在点M，使得△BDM的面积等于△ABO的面积，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由. 考点03 动点存在性全等相关 13．如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． 14．如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． (1)当时，若是等腰三角形，求的值； (2)求为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，在中，，，，．点M在的延长线上，，作射线，点 D 从点B 出发，沿射线的方向以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点M出发，沿射线的方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知 D、Q两点同时出发，运动时间为t秒． (1)_______； (2)连接，当时，是等腰三角形，求a 的值； (3)当点D 在线段上运动时，过点D作于点E，当点D在的平分线上时，求的长； (4)连接，是否存在a，使得与全等，若存在，请直接写出a 的值；若不存在，请说明理由． 16．已知，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． (1)如图1，若，，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系和数量关系，请分别说明理由； (2)如图2，若，设点Q的运动速度为，是否存在实数v，使得与全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 17．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)________cm．（用t的代数式表示） (2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 18．是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为． (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 考点04 动点存在性三角形相关 19．两个直角三角形如图1摆放，，，，．是直线上的点． (1)求线段的长． (2)是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到（如图2），连接，则的最小值为______（直接写出答案）． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为，以线段 为边，在第四象限内作等边三角形，C为x轴正半轴上一动点()，连接，以线段 为边在第四象限内作等边三角形，直线交y轴于点 E． (1)求证； (2)在点 C的运动过程中，的度数是否会变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)任选其中一个图形证明是等边三角形． (2)若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 22．如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 23．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 24．如图，在等边中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边方向匀速运动，点停止运动时，点也停止运动．分别连接，，设运动时间为秒． (1)当平分时，求的值． (2)当时，求的值． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 考点05 最值问题 25．阅读材料： 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是______； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．则的最小值是______． 26．综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点A，B，C，，，则的长度的最小值为_____，最大值为_____ (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角，，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 27．【问题发现】（1）如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边l饮马，再去河岸同侧的军营B开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置点C （1）请在图1中找出将军饮马的最佳位置点C 【问题探究】（2）如图2，在正方形中，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在长方形中，，，P是边上一点，且，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角三角形，为斜边．连接，边上存在一个点M，且，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且使得，． (1)直接判断的形状：是_____三角形； (2)求点的坐标； (3)在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足．请直接写出的最小值． 29．如图，在中，的垂直平分线交边于点P，交边于点Q，连接平分，交边于点D． (1)若，求的度数； (2)若，在直线上是否存在点M，使以点为顶点的的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 30．在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．      (1)如图1，若旋转角．求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值． 考点06 探究角的数量关系 31．已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 32．如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 33．如图，和有一条公共边，平分，平分． (1)如图1，若点是与的交点，且，， ①直接写结果：的度数是______； ②求的度数； (2)如图2，点，分别是射线和上的动点，点在与外，当时，请探究与，之间的数量关系． 34．如图，锐角中，，，分别是的角平分线和高． (1)若，，求的度数； (2)猜想并证明，，之间的数量关系． 35．（1）如图①，在中，平分，平分，若，则 ；如图②，平分，平分，则与的数量关系是 ； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 36．如图，在中，，，且，平分，平分，与交于点O，是边上的高． (1)若，，求的度数． (2)用含α，β的式子表示． (3)若，试探究α与β之间的数量关系． 考点07 探究线段的数量关系 37．如图，是等腰直角三角形，，是直线上一动点，连接，以为腰作等腰直角． 【初步尝试】（1）如图①，点在线段上，当时，若，则___________； 【探究发现】（2）如图②，若点在线段的延长线上，试判断，和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，当点在线段上时，连接，若，求的值． 38．已知：在中，，，点是直线上一动点，连接，以边作等边三角形，连接，过点作，交直线于点． (1)如图①，若点在的延长线上，则的度数为________，与的数量关系是________． (2)如图②，若点在的延长线上，试探究线段，，之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (3)如图③，若，且，点在的延长线上，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论． 39．在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 40．已知：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段上，且，，则： ①线段______． ②猜想：，，三者之间的数量关系，并证明． (2)如图②，若点P在的延长线上，问：在（1）中所猜想的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程；若不成立，请说明理由． 41．已知，点B为边上一个定点，点P为线段上一个动点(不与点A，B重合)，点P关于直线的对称点为点Q，连接，，点A关于直线的对称点为点C，连接，． (1)如图1，若点P为线段的中点． ①直接写出的度数； ②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，若线段与交于点D． ①设，求的大小(用含α的式子表示)； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 42．在中，，，点是边上的动点（不与点，点重合），连接，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，若点恰好落在边上，判断与的位置关系，并证明； (2)如图2，在（1）条件下，延长至点，使，连接，请用关于的代数式表示； (3)如图3，若，探究、、的数量关系，并证明． 考点08 求运动时间 43．如图，在长方形中，，，．点在的延长线上，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的长为_____； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)作点关于点的对称点，连结、，当线段将的面积分为两部分时，求的值； (4)在点运动的同时，有一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．过作交于，则由平行线的性质可知．当时，直接写出的值． 44．如图1，在长方形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交长方形的边于点．连接．设点的运动时间为秒．（） (1)当点和点重合时，求线段的长； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 45．如图，等边中，，动点由点出发，沿方向以每秒个单位长度向点运动（与点、不重合），点以相同的速度由点沿射线方向运动(点不与点重合)，连接交于点，过点作，垂足为点．设点运动的时间为秒． (1)当时，______； (2)当时，求的值； (3)当时，求的长． 46．如图，在中，，，于点，点在直线上，且在点的左边，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，解答下列问题． (1)直接写出线段______，______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当点到、、中的两条线段所在的直线的距离相等时，直接写出的值． 47．如图，已知在中，，，，有一动点从点出发，沿折线段运动，到点运动停止，速度为每秒3个单位，运动时间为t． (1)尺规作图：请在上找一点，使得； (2)若平分，求运动时间； (3)当___________时，为轴对称图形． 48．在中，，，，过点作于点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到终点；同时，动点从点出发，以相同的速度沿边运动到终点．连接，过点作交边或的延长线于点，连接、．图①、图②分别表示点在边、上运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为________． (2)如图①，当时，求的值． (3)如图②，求证：． (4)如图②，当点是边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 三角形和直角三角形相关动点问题分类训练 （8种类型48道） 考点01 动点定值问题 考点02 动点存在性面积相关 考点03 动点存在性全等相关 考点04 动点存在性三角形相关 考点05 最值问题 考点06 探究角的数量关系 考点07 探究线段的数量关系 考点08 求运动时间 考点01 动点定值问题 1．如图，射线于点，点、分别在、上，为线段的中点，且于点． (1)若，的面积为． ①直接写出的值； ②求的周长． (2)若，点在射线上移动，问：在此过程中，的值是否会为定值？若会，请求出这个定值；若不会，请求出它的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)的值是定值 【分析】本题考查了勾股定理、平方差公式因式分解，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，并能利用完全平方公式进行变形． （1）①利用勾股定理可得出的值； ②利用完全平方公式的知识，结合①可得出，继而得出的周长； （2）连接，利用勾股定理可得出，求出的值即可作出判断． 【详解】（1）解：（1）①． ②如图，， 是直角三角形， 的面积为， ，即， ， ， ， ， 即的周长为． （2）连接， 在中，① 在中，② ①②得：， ， ， 在中，， （定值）， 故在点移动过程中，的值是定值，其值是． 2．【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米，理由见详解 【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒ （1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明； （2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒ 【详解】解：（1）∵点为直角边的中点， ∴， ∵在中，为斜边， ∴， ， 在中，， ∴， 即， ∴， 即； （2）观景小道的长度是为定值，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴观景小道的长度是为定值，定值为650米． 3．如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长是定值，定值为 【分析】（）过点作交于点，可证，得到，再证明是等边三角形，得到，即可求证； （）过点作交于点，由得到，由是等边三角形得到，又由是等边三角形，得到，即得到，即可求解． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：的长是定值，定值为，理由如下： 如图，过点作交于点，则，， 由（）知，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（）知，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的长是定值，定值为 4．在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点，连接和，当时，与长度之和为定值．为验证此规律的正确性，小睿的思路是通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空： (1)在上方作，射线交于点尺规作图，保留作图痕迹 (2)证明：为等边三角形， ，①______， 在和中， ， ， ③______， ，即BD与BE长度之和为定值． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、尺规作图—作与已知角相等的角，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）由等边三角形的性质可得、，再利用证明得到，最后根据线段的和差关系即可证明结论． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）证明：为等边三角形， ，①， 在和中， ， ， ③， ，即BD与BE长度之和为定值． 故答案为：，，． 5．如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． (1)_____．（用含α的式子表示）； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 (3)是； 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据三角形外角的性质得出； （2）先证明垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出即可； （3）作于点H，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：作于点H，如图所示： 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 6．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．在图①中，；在图②中， ，．图③是该同学所做的一个实验：他将的直角边放在的斜边上（即点D、E在上），并将沿方向移动．在移动过程中（移动开始时点D与点A重合），在沿方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答． (1)能否将移动至某位置，使F、C的连线与平行？如果能，求出的度数； (2)在移动的过程中，与的度数之和是否为定值？若为定值，请求出，请说明理由． 【答案】(1)能， (2)为定值， 【分析】此题主要考查了三角形的外角以及平行线的判定和三角形内角和定理等知识，熟练利用相关定理是解题的关键． （1）要使，则需，进而得出的度数； （2）利用外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：能使， 当时，， 在中， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：与度数之和为定值． 理由：在中， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即与度数之和为定值． 考点02 动点存在性面积相关 7．综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动． (1)操作与猜想：在中，，点在上，以为边，在外侧作．如图1，此时与之间的数量关系为____________；与之间的位置关系为____________． (2)迁移与深究：在（1）的条件下，连接和的面积是否相等？说明理由． (3)拓展与应用：如图2，已知，点在上，，，在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 【答案】(1)相等，互相垂直 (2)和的面积相等，理由见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用全等三角形的性质得出相等的角和边，然后利用直角及角的和差，即可确定线段的数量关系和位置关系； （2）过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点，根据条件证明，得到，然后可得三角形的面积相等； （3）分两种情况进行讨论，①作于点，根据条件证明，则，利用等腰直角三角形的性质求出相关线段的长度，再利用含角的直角三角形的性质求得，最后利用线段的和差即可求解；②在①的情况下，延长交于点，过点作，垂足为点，在上找一点，过点作，垂足为点，使，证明，得出，然后利用等腰直角三角形的性质和线段的和差进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与之间的位置关系为互相垂直， 故答案为：相等，互相垂直； （2）解：和的面积相等，理由如下： 如图所示，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点， ∴ 由（1）得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴和的面积相等； （3）解：①如图2，点在射线上，， ，， ， ， 在和中， ， 由（2）得，作于点，则，， ， ， ， 令，则，由勾股定理得， ∴， 解得， ， ， 的长是； ②如图，在①的情况下，延长交于点，过点作，垂足为点，在上找一点，过点作，垂足为点，使， ∴此时，， ∵， ∴， ∴， 由①得，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 综上，的长是或； 8．等边中，点D为边上一动点，连接，作点A关于直线的对称点E，连接， (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，若，，求的长度； (3)如图3，若，点D在边上运动的过程中，存在点E使，求此时的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，证明，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）可导角求出，则可证明，进而得到，则，证明，推出，设，则，，进而得到，解方程即可得到答案； （3）当点E在上方时，设交于H，可证明平分，得到，求出，；进而得到，根据可得答案；当点E在下方时，过点A作于G，设交于F，可求出；由折叠的性质可得，， 可证明；根据，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图3-1所示，当点E在上方时，设交于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点E在下方时，过点A作于G，设交于F， ∵是等边三角形， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ； 综上所述，的面积为或． 9．综合与实践 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． 【作图探讨】（1）如图1，以为圆心，为半径画弧，为圆心，为半径画弧；两弧交于点，连接，；则． 选择填空：得出的依据是______（填序号）． ① ② ③ ④ 【测量发现】如图2，在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明结论，尝试延长线段至点，使，连接，从而得以证明．请完成证明过程． 【迁移应用】（3）如图3，，，，，点在上，，在射线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①； （2）证明见解析； （3）的长为3或5． 【分析】（1）根据“边边边”即可作出判断； （2）延长线段至点，使，连接，则，，由（1）的结论结合角的和差可得，进而证明，可得，即可得出结论； （3）过点作交于点，于点，连接并延长交于点，按照（1）（2）的思路先证明和，然后再通过面积关系进行求解即可，最后要注意当点在点的右侧时，仍然成立，故答案会有2个． 【详解】（1）由作图可得：， 又∵， ∴（）， 故答案为：①； （2）证明：延长线段至点，使，连接，则， 则是的中线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 在和中，， ∴． ∴， ∴． （3）过点作交于点，于点，连接并延长交于点， ∵，，，， ∴，，，， ∴，，， ∴，，，， ∴，是的中线， ∴， 在与中，，，， ∴， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴此时，， 同理，当点在点的右侧，如图点时，且时，， 此时，仍然成立，此时， ∴在射线上是否存在点，使得，此时的长为3或5． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中线性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、明确求解的方法是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点． (1)直接写出点和的坐标： ， ； (2)如图2，点是轴正半轴上的一点．且，，，分别平分，，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点（不与点重合），使得三角形的面积和三角形的面积相等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键灵活运用这些知识． （1）根据绝对值和偶次方的非负性得出关于，的二元一次方程组，解方程求出，即可得到点和的坐标； （2）过点作，根据角平分线的定义可得，，利用平行线的性质求出，，据此计算即可求解； （3）分为①点在轴上，②点在轴上，两种情况，根据三角形的面积和三角形的面积相等列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：存在，点坐标为或或， ∵，，， ∴， ∴， ①点在轴上时， 由题意得， 解得， ，， ∴点的坐标为或与点重合，舍去； ②如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 当点在轴上时， 由题意得， 解得， ，， ∴点的坐标为或； 综上，点坐标为或或． 11．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足：，过C作轴于B． (1)求的面积． (2)如图2，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数． (3)在y轴上存在点P，使得和的面积相等？若存在，请直接写出P点坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)存在，或 【分析】本题考查的是绝对值非负性、角平分线的性质，平行线的性质，坐标与图形，解题的关键是熟练运用相关知识． （1）根据算术平方根和偶次方的非负性，求出，的值即可解决问题； （2）过点作，根据平行线的性质和角平分线的性质可得，又根据，可得，再根据即可求得的度数； （3）根据和的面积相等，且有相同的底边，可知只有它们有相同的高即可，根据的高即可知道在y轴上的点P的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， 轴于B， ， ； （2）解：过点作， ， ， ，分别平分，， ，， ， 又， ， ， ， ， ； （3）解：存在， 对于和，它们有相同的底边，要使它们面积相等，则它们有相同的高即可， 的高为，，， 又点P在y轴上， 的高，，或． 12．如图，已知等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=，点A、B分别在x轴和y轴上，点C的坐标为（6，2）. （1）如图1，求A点坐标； （2）如图2，延长CA至点D，使得AD=AC，连接BD，线段BD交x轴于点E，问：在x轴上是否存在点M，使得△BDM的面积等于△ABO的面积，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）A（2,0）；（2）（0 ，0）（- ，0）. 【分析】（1）过C作CH⊥x轴于H，则CH=2,根据题意可证△ADB≌△CAH，所以OA=CH，又因点A在x轴上，所以点A的坐标为（2,0）. （2）根据题意先求出点D的坐标为（2，-2），再根据△BDM的面积=△BEM的面积+△DEM的面积=△ABO的面积，列出方程解出M点的坐标. 【详解】（1）过C作CH⊥x轴于H， 则△ADB≌△CAH， 又C（6,2）， 所以，OA＝2，即A（2,0） （2）如图2所示，设点M的坐标为（x，0）， ∵AD=AC, ∴点A是CD的中点， ∵C（6,2），A（2，0） ∴D（-2，-2）. 设直线BD的解析式为y=kx+b,则 解得： ∴直线BD的解析式为， 令y=0，解得x=. ∴E的坐标为（，0） ∵△BDM的面积=△BEM的面积+△DEM的面积=△ABO的面积 ∴ 解得：或x=0. ∴点M的坐标（0 ，0）或（- ，0）.. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平面直角坐标系中坐标轴的坐标特点、中点坐标公式、一次函数解析式及与坐标轴交点坐标的求法，数轴上两点之间的距离公式，三角形的面积公式等知识，综合性较强，能综合运用知识解题是解题的关键. 考点03 动点存在性全等相关 13．如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①全等，理由见解析；②运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； (2)存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 【分析】本题主要考查点的运动，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据点的运动速度与点的运动速度相等，，又，由等边三角形的性质可得，由此可证和全等，； ②分类讨论：当时，是直角三角形；当时，是直角三角形；由含角的直角三角形的性质列式求解； （2）点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒，分类讨论：当时，（厘米），，当时，（厘米），，据此列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①和全等，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度相等，即6厘米/秒， ∴当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ②当时，是直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等，即厘米/秒， ∴， ∴， ∴， 解得，； 当时，是直角三角形， 同理，，则， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； （2）解：存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 当时，（厘米），， ∴， 解得，（厘米/秒），即点的运动速度为厘米/秒，不符合题意，舍去； 当时，（厘米），， ∴，， 解得，，（厘米/秒）； 综上所述，点的运动速度与点的运动速度不相等，和全等时，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 14．如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． (1)当时，若是等腰三角形，求的值； (2)求为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或或时，为等腰三角形 (3)或1或6或 【分析】（1）先求出，再结合是等腰三角形，，得出，进而得出，求解即可； （2）分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可； （3）分两种情况：当时，，；当时，，；分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ∴； （2）解：当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， 当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，为等腰三角形， ∵， ∴，即， 解得：； 综上所述，或或时，为等腰三角形； （3）解：∵与全等， ∴当时，，， ∵， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 当时，，， 当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 综上所述，当与全等时，或1或6或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、全三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．如图，在中，，，，．点M在的延长线上，，作射线，点 D 从点B 出发，沿射线的方向以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点M出发，沿射线的方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知 D、Q两点同时出发，运动时间为t秒． (1)_______； (2)连接，当时，是等腰三角形，求a 的值； (3)当点D 在线段上运动时，过点D作于点E，当点D在的平分线上时，求的长； (4)连接，是否存在a，使得与全等，若存在，请直接写出a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)2 (3)2 (4)或1或6或 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：4； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴，即， 解得，； （3）解：如图， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，且，，． ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中，； （4）解：①， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴或； ②， ∴，， ∴或16， ∴或， ∴或， 综上所述：当与全等时，或1或6或． 16．已知，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． (1)如图1，若，，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系和数量关系，请分别说明理由； (2)如图2，若，设点Q的运动速度为，是否存在实数v，使得与全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，理由见解析；，理由见解析 (2)存在，，或， 【详解】（1）解：当时，与全等，线段和线段的位置关系是：，数量关系是：， 理由如下： ，， ， 点P在线段上以的速度由点A向点B运动， ， ，， ， ， 又且点Q的运动速度与点P的运动速度相同， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ； （2）解：依题意得：，， ，， ， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，则， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 即当，时，与全等； ②当，时，则， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 即当，时，与全等， 综上所述：v，t的值分别为，或，． 17．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)________cm．（用t的代数式表示） (2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)/秒或/秒 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）①如图1，，则，， ， ，即，解得：， ，即，解得：（cm/秒）． ②如图2，当，则，． ，， ，即，解得：， ，即，解得：； 综上所述：当/秒或/秒时，与全等． 18．是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为． (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在点使得与全等，理由如下： 连接，    ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点04 动点存在性三角形相关 19．两个直角三角形如图1摆放，，，，．是直线上的点． (1)求线段的长． (2)是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到（如图2），连接，则的最小值为______（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)存在，的长为或 (3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：存在，的长为或， 由题意分两种情况讨论， ∵，，， ∴， 当时，如图， 则， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上，当是以为腰的等腰三角形，的长为或； （3）解：如图，取中点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴即， ∴， ∴，则， ∴点Q在的垂直平分线上，且在上方运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）， 故答案为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为，以线段 为边，在第四象限内作等边三角形，C为x轴正半轴上一动点()，连接，以线段 为边在第四象限内作等边三角形，直线交y轴于点 E． (1)求证； (2)在点 C的运动过程中，的度数是否会变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数不会发生变化， (3)或 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：点C的运动过程中，的度数不会发生变化， 理由如下： 是等边三角形， ， ， ， ， 点C的运动过程中，的度数不会发生变化，； （3）解：存在点或，使为等腰三角形，理由如下， ∵点A的坐标为， ， 在中， ∵， ∴， ， 当时，可知或； 当时，可知； 当时，根据三线合一可知，即； 综上所述，或． 21．是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)任选其中一个图形证明是等边三角形． (2)若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或14 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的判定可得结论； （2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：存在， ①当时， 根据解析（1）可知：是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，此时只能， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②当时，根据旋转可知：， ∴， ∴此时可能是直角三角形； ③时，点D与点B重合， ∴此时D、B、E不能构成三角形； ④ 当时，由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴中只能是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述：当或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 22．如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积存在最大值，； (3)能，的值为4或16 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ； （2）解：的面积存在最大值， 由（1）得， ， 又， ， 若最大，则需要最小， 当时，CD的长最小，最小， ； （3）解：当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，如图， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ． 综上，当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为4或． 23．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键． 用含t的代数式表示出． （1）由于，当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． 【详解】（1）解：在中， ，， ． ， ． 当时，为等边三角形． 即，解得． ∴当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时，， 即 ； ②当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 24．如图，在等边中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边方向匀速运动，点停止运动时，点也停止运动．分别连接，，设运动时间为秒． (1)当平分时，求的值． (2)当时，求的值． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)x的值为或3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、一元一次方程的应用和含直角三角形的性质，理解题意是解决本题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，由题意得，进而即可求解； （2）证明是等边三角形，由题意得，，进而即可求解； （3）分两种情况：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图①，是等边三角形， ， 平分， ， 由题意得，， ， 解得， 即的值为； （2）解：如图②，是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 解得， 即的值为2； （3）解：由题意得，在中，， ∴直角只能是或，分两种情况： 当时：， ∴， ∵，， ∴， 解得， 当时：， ∴， ∵，， ∴， 解得， 综上所述，x的值为或3． 考点05 最值问题 25．阅读材料： 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是______； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．则的最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2)①6，② 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）①由题意知，是等边的对称轴，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； ②由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据计算求解即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：①∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：6； ②∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 26．综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点A，B，C，，，则的长度的最小值为_____，最大值为_____ (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角，，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据、的长度即可求出长度的取值范围，即可得解； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明)得到 ，再利用等腰三角形的三线合一得到，然后利用勾股定理分别求解即可； （3）过作，且，连接，， 则，要使最大，只需最大即可；证明)，得到，由，当、、共线时取等号得到的最大值，进而可求解． 【详解】（1）解：∵， (当点在线段上和在的延长线上时取等号)， ∵，， ∴， 即， ∴ 的长度的最小值为，最大值为， 故答案为：，； （2）解：如图， 设与相交于， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在中， ； （3）解：线段的长度存在最大值；理由如下：如图，在上方，过作，且，连接，， ， 即， 要使的长最大，只需的长最大即可， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时取等号， ∴的长的最大值为， ∵，， 则的长的最大值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解答本题的关键． 27．【问题发现】（1）如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边l饮马，再去河岸同侧的军营B开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置点C （1）请在图1中找出将军饮马的最佳位置点C 【问题探究】（2）如图2，在正方形中，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在长方形中，，，P是边上一点，且，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角三角形，为斜边．连接，边上存在一个点M，且，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）12；（3） 【详解】解：（1）作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置； （2）如图所示，连接，， ∵在正方形中，， ∴，，A、C关于对称， ∴； ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵周长， ∴当E、F、C三点共线时，的周长最小，最小值为； （3）如图，过点F作于G，延长交于K，过点P作于H，延长交于O，过点M作于N，交于， 在长方形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，，， ∴，； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当P、F、N三点共线时，最小，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， 又∵的周长为， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的化简，全等三角形的性质与判定等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且使得，． (1)直接判断的形状：是_____三角形； (2)求点的坐标； (3)在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足．请直接写出的最小值． 【答案】(1)直角 (2) (3)存在，点P坐标为或，理由见解析 (4) 【分析】（1）先求出，然后利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设点B的坐标为，利用等面积法有，解出，再根据，且点在第一象限内，由此求解出，即可求解； （3）当，分别过点B，P作轴于E，轴于F，根据（2）可知，，再利用证明，可得，，即可求得点P的坐标；当，分别过点B，P作轴于E，的延长线于F，交y轴于D，同理即可求得点P坐标； （4）过点O作以为腰，的等腰直角三角形，利用证明，可得，则当三点共线时，最小，即有最小值为的长，由此求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ，， ， 是以B为直角顶角的直角三角形 故答案为：直角； （2）设点B的坐标为， ， 即， ， 而， 即， 又点在第一象限内， ， 则点B的坐标为； （3）存在，点P坐标为或，理由如下： 如图，当，分别过点B，P作轴于E，轴于F， ， 由（2）可知：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 在第二象限， ； 如图，当，分别过点B，P作轴于E，的延长线于F，交y轴于D， 同理可得：，， 同理可证得：， ，， ，， 在第二象限， ， 综上，存在点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，点P的坐标为或； （4）如图，过点O作以为腰，的等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， 要使最小，则最小， 当三点共线时，最小，即有最小值为的长， 由（3）知，， ， 即有最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 29．如图，在中，的垂直平分线交边于点P，交边于点Q，连接平分，交边于点D． (1)若，求的度数； (2)若，在直线上是否存在点M，使以点为顶点的的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，周长的最小值为 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）在上任取一点M，连接，由题意易得，然后可得的周长为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， ． ． 垂直平分， ． ． 平分， ， ． （2）解：存在． 如图，在上任取一点M，连接． 垂直平分，点M在上， ． 的周长为． 当点M与点P重合时，的周长最小． ， 周长的最小值为． 30．在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．      (1)如图1，若旋转角．求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值：;最大值： 【分析】（1）通过旋转角得出及，利用等腰三角形性质结合已知求． （2）由得内错角相等确定旋转角，结合条件证为等边三角形，建系求点坐标及直线方程，通过交点坐标求三角形面积． （3）利用中点得，分别求点到直线的最小垂距（结合到直线距离与共线关系）和到的最大距离（利用三点共线时线段和）． 【详解】（1）解：∵将绕绕顶点顺时针旋转，旋转角为且， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2） ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴在中，三个内角都为， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 又∵为的直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 过点作的高， ， ∴． （3）∵为中点， ∴， 最小值： 点到直线的垂距。由旋转性质，到的距离为， 当、与垂足共线时，垂距为：． 最大值： 到的最远距离。当在正下方且、、共线时， 距离为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质和等腰三角形的性质。掌握旋转前后对应边相等、对应角相等以及等腰三角形两底角相等是解题的关键． 本题主要考查旋转的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、直线方程求解及三角形面积计算。掌握旋转前后点坐标的计算方法、直线方程联立求交点，以及准确利用几何性质转化角度和边长关系是解题的关键． 本题主要考查点到直线的距离公式、旋转的性质及线段最值问题。掌握利用直角三角形面积法求高，以及三点共线时线段和差的最值判定方法是解题的关键． 考点06 探究角的数量关系 31．已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为，难度适中． （1）先证明，，进而得出，由三角形外角的性质得，然后求出即可； （2）①只要证明即可； ②由三角形外角的性质得，由角平分线的定义得，，然后整理可得． 【详解】（1）证明：∵分别平分， ∴， ∴ ． 在中， ． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①结论：． 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ②∵是的外角， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴． 32．如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 33．如图，和有一条公共边，平分，平分． (1)如图1，若点是与的交点，且，， ①直接写结果：的度数是______； ②求的度数； (2)如图2，点，分别是射线和上的动点，点在与外，当时，请探究与，之间的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理． （1）①利用三角形的外角性质求得，据此计算即可求解； ②同①利用三角形的外角性质求得，再利用三角形内角和定理求得，据此列式计算即可求解； （2）设，，，，利用角平分线的定义求得，，再根据三角形内角和定理列式计算即可得到． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， 故答案为：； ②∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，，，， ∵平分，平分， ∴，，， ∵，即， ∴，即， ∵，， ∴ ． 即． 34．如图，锐角中，，，分别是的角平分线和高． (1)若，，求的度数； (2)猜想并证明，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，求出，即可得解； （2）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由三角形内角和定理可得， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即． 35．（1）如图①，在中，平分，平分，若，则 ；如图②，平分，平分，则与的数量关系是 ； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义， 对于（1），先根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义可得，然后根据可得答案；根据角平分线的定义得，再根据三角形外角的性质得，然后代入整理可得答案； 对于（2），先根据三角形外角的性质得，再根据角平分线的定义得，然后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：（1）∵， ∴. ∵平分，平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴. ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）∵是的外角， ∴，同理， ∴. ∵， ∴. ∵平分，平分， ∴, ∴. ∵ ∴, ∴. 36．如图，在中，，，且，平分，平分，与交于点O，是边上的高． (1)若，，求的度数． (2)用含α，β的式子表示． (3)若，试探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形及角平分线的定义． （1）根据已知条件由三角形内角和定理求得和，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求出结果； （2）根据已知条件由三角形内角和定理求得和，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求出结果，结果用含α，β的式子表示； （3）利用三角形内角和定理求出和的度数，由已知得到二者含α，β的式子，经过整理后得到α与β之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：由（2）知，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴． 考点07 探究线段的数量关系 37．如图，是等腰直角三角形，，是直线上一动点，连接，以为腰作等腰直角． 【初步尝试】（1）如图①，点在线段上，当时，若，则___________； 【探究发现】（2）如图②，若点在线段的延长线上，试判断，和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，当点在线段上时，连接，若，求的值． 【答案】（1）1；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1），，， ， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ， 故答案为：1． （2），理由如下： 如解图①，连接， 由旋转得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即； （3）如解图②，过点作，交于点． ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴，即． 38．已知：在中，，，点是直线上一动点，连接，以边作等边三角形，连接，过点作，交直线于点． (1)如图①，若点在的延长线上，则的度数为________，与的数量关系是________． (2)如图②，若点在的延长线上，试探究线段，，之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (3)如图③，若，且，点在的延长线上，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据已知条件证明，得到，可推出，即可得到，即可得解； （2）根据已知条件证明，得到，求出，根据角所对直角边是斜边的一半得出，再根据即可得证； （3）根据已知条件证明，得到，得到，根据角所对直角边是斜边的一半得到，即可得证； 【详解】（1），， 是等边三角形， 又是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案是：；． （2），理由如下： ，， 是等边三角形， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，， ， ； （3），理由如下： ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，， ， ． 39．在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或， 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据点D为的中点得，证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出段与的数量关系； （2）同（1）证明和全等得，再根据即可得出线段之间的数量关系； （3）分类进行讨论即，当点D在线段延长线上时和当点D在的延长线上时，依据“”判定和全等得，再根据线段的和差，即可得出结论． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是：，理由如下： 在中，，，点D为的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 同（1）证明：， ， ， ， ； （3）解：当点D在线段或者的延长线上运动时，线段之间的数量关系是：或，理由如下： ①当点D在线段延长线上时，如图所示： ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点D在的延长线上时，设和交于点H，如图所示： ， ， ， ， ，， 是和的外角， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 40．已知：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段上，且，，则： ①线段______． ②猜想：，，三者之间的数量关系，并证明． (2)如图②，若点P在的延长线上，问：在（1）中所猜想的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）①由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解； ②连接，证明，可得，再由勾股定理可得结论； （2）过点C作，垂足为D，根据等腰三角形的性质得，由勾股定理分别表示出和，进而得，再由勾股定理得，，进而可得结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：； ②，证明如下： 如图①，连接， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， 由①知为直角三角形， ， 又， ； （2）解：（1）中所猜想的结论仍然成立，证明如下： 如图②：过点C作，垂足为D． 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可知：， ， 为等腰直角三角形， ， ． 41．已知，点B为边上一个定点，点P为线段上一个动点(不与点A，B重合)，点P关于直线的对称点为点Q，连接，，点A关于直线的对称点为点C，连接，． (1)如图1，若点P为线段的中点． ①直接写出的度数； ②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，若线段与交于点D． ①设，求的大小(用含α的式子表示)； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①90度；②见解析， (2)①；②，见解析 【分析】（1）①根据轴对称先证明是等边三角形，再证明，可得结论． ②图形如图所示：结论：．证明，可得结论． （2）①如图2中，连接．推出，由，推出，推出，推出，可得结论． ②如图中，结论：．连接，在上取一点，使得．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：①∵P，Q关于对称， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ②图形如图所示：结论：． 理由：∵A，C关于对称，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接，． ∵A，C关于对称， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②如图，结论：． 理由：连接，在上取一点T，使得． ∵， 根据折叠可得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵A，C关于对称， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 42．在中，，，点是边上的动点（不与点，点重合），连接，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，若点恰好落在边上，判断与的位置关系，并证明； (2)如图2，在（1）条件下，延长至点，使，连接，请用关于的代数式表示； (3)如图3，若，探究、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由题易得，，则，即可得解； （2）易得垂直平分，则，即可得解； （3）在下方构造等边△，连接，易证，可得，，进而可得，利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：， 证明：线段绕着点逆时针旋转， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ， 垂直平分， ， ， ； （3）解：． 证明：如图，在下方构造等边△，连接， 则，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 在中，， ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点08 求运动时间 43．如图，在长方形中，，，．点在的延长线上，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的长为_____； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)作点关于点的对称点，连结、，当线段将的面积分为两部分时，求的值； (4)在点运动的同时，有一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．过作交于，则由平行线的性质可知．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、对称的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． （1）先得到，再根据即可； （2）由题知，分和两种情况求解； （3）由线段将分成两部分和，两三角形有相同的高，得到，再分和两种情况求解； （4）作的平分线交于，过作，由角平分线得性质可得，，在中利用勾股定理求得，再可证，得到，接着求，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 则； 故答案为：； （2）当是以为腰的等腰三角形时， ①当时，即， 解得； ②当时， 又， 为中点， ，即， 解得； 所以当是以为腰的等腰三角形时，或； （3）由（1）知，则， 线段将分成两部分和，两三角形有相同的高， ， 又线段将的面积分为两部分， ①， 即，解得； ②， 即， 解得； 所以线段将的面积分为两部分时，或； （4）作的平分线交于，过作， 则， ∵， ， ， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得， ， 又，即， ，， ， ， ∵，， ， 即或， 解得或， 所以当时，或． 44．如图1，在长方形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交长方形的边于点．连接．设点的运动时间为秒．（） (1)当点和点重合时，求线段的长； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)当点恰好落在边上时，的值为、、 【分析】（1）连接，求出，，由勾股定理可得； （2）过点作于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）分三种情况：①当点在上；②当点在上；③当点在上，分别利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图1， 四边形是矩形， ， ， 四边形ABEQ是矩形， 当点和点重合时，，， 在中，， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图2，过点作于点， ． ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是矩形， ， 又， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：①当点在上时，如图3， 由题意得，，， 在中，， ， ，，， 在中，，， 解得：； ②当点在上时，且重合时，如图4， 由题意得，，， 在中，， ， 解得； ③当点在上时，且重合时，如图5， 当点在上时，此时在上． 过点作，此时， ，， 由轴对称得，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当点恰好落在边上时，的值为、、．（直接写出答案即可） 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 45．如图，等边中，，动点由点出发，沿方向以每秒个单位长度向点运动（与点、不重合），点以相同的速度由点沿射线方向运动(点不与点重合)，连接交于点，过点作，垂足为点．设点运动的时间为秒． (1)当时，______； (2)当时，求的值； (3)当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】根据运动速度和运动时间可知，根据等边三角形的性质可知，利用直角三角形的性质可知； 根据等边三角形的性质可知，当时，，可得方程，解方程即可求出的值； 过点作，交于点，则，根据等边三角形的性质可证是等边三角形，从而可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形的性质可知，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：如下图所示， ， ， 等边的边长为 ，， ， ， ， ，， ， 解得：； （3）证明：如下图所示，过点作，交于点，则，， 是等边三角形， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 由得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形中的动点问题、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 46．如图，在中，，，于点，点在直线上，且在点的左边，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，解答下列问题． (1)直接写出线段______，______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当点到、、中的两条线段所在的直线的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)4；3 (2)当时，；当时， (3)或10 (4)或6或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点P的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点P在点D左侧，时，点P在点D右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分三种情况讨论：当点P到直线和的距离相等时，当点P到直线和的距离相等时，当点P到直线和的距离相等时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：∵，， ∴平分， ∴当点P与点D重合时，点P到直线和的距离相等， ∴此时； 当点P到直线和的距离相等时，过点P作于点H，如图所示： 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理：， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当点P到直线和的距离相等时，如上图所示，过点作于点E，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理：， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上分析可知：当点到、、中的两条线段所在的直线的距离相等时，直接写出的值或6或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 47．如图，已知在中，，，，有一动点从点出发，沿折线段运动，到点运动停止，速度为每秒3个单位，运动时间为t． (1)尺规作图：请在上找一点，使得； (2)若平分，求运动时间； (3)当___________时，为轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了尺规作图、勾股定理、角平分线的性质定理和等腰三角形的定义等知识点，掌握相关几何结论是解题的关键． （1）当动点P运动到的中点时，有，再尺规作图即可； （2）作，可得，则；证得，推出，根据即可求解； （3）分类讨论为等腰三角形的情况，画出对应图形即可求解； 【详解】（1）解： 当动点P运动到的中点时，有，如图： （2）解：作，如图所示： 根据题意， ∵平分， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：时，如图所示： 则，解得； 时，作，如图所示： 则， ∴， ∴， 则，解得； 时，如图所示： 则， 则，解得； 时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， 则，解得； 综上，或或或． 48．在中，，，，过点作于点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到终点；同时，动点从点出发，以相同的速度沿边运动到终点．连接，过点作交边或的延长线于点，连接、．图①、图②分别表示点在边、上运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为________． (2)如图①，当时，求的值． (3)如图②，求证：． (4)如图②，当点是边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)3 (2)； (3)见解析 (4)四边形的面积为6或． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， 解得； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （4）解：∵，点P是边的三等分点， ∴或， 当时，由（3）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积 ； 当时，由（3）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积 ， 综上，当点P是边的三等分点时，四边形的面积为6或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $