4.6.1线段垂直平分线的性质和判定 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的定义、性质定理与判定定理，通过“购物中心到三个小区距离相等”的实际问题导入，结合对称折叠操作，搭建从定义到性质（点在线上则距离相等）再到判定（距离相等则点在线上）的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合几何模型（如周长等量代换）、易错点总结（垂直平分线是直线等）和口诀记忆，通过实际问题培养数学眼光，性质与判定的互逆推理强化数学思维，几何语言模板规范数学表达。学生能简化证明步骤、掌握模型应用，教师可直接使用系统资料提升教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.6.1线段垂直平分线的性质和判定 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.6.1 线段垂直平分线的性质和判定同步讲义与练习 本节核心考点：掌握线段垂直平分线的定义、性质定理与判定定理，熟练运用定理证明线段相等、判定垂直平分线，理解垂直平分线上的点到线段两端距离相等的核心结论，掌握几何经典“垂直平分线模型”，是几何证明、最值题型的基础必考知识点。 一、核心知识点精讲 1. 线段垂直平分线的定义 定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 双重条件（缺一不可）： 关键说明：线段的垂直平分线是直线，不是射线、不是线段，一条线段有且只有一条垂直平分线。 2. 线段垂直平分线的性质定理（必考） 性质定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言（满分模板）： ∵ 直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上 ∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 核心作用：快速证线段相等，无需证明全等，简化几何步骤！ 适用场景：题干出现垂直平分线，直接秒得两条线段相等。 3. 线段垂直平分线的判定定理（逆定理） 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言（满分模板）： ∵ PA = PB ∴ 点P在AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） 核心作用：由线段相等，证点在垂直平分线上。 4. 性质与判定 互逆关系（必背） 性质：点在垂直平分线上 → 距离相等（线→边等） 判定：距离相等 → 点在垂直平分线上（边等→线） 5. 重要推论：两点定中垂线 若两点P、Q均满足PA=PB、QA=QB，则直线PQ是线段AB的垂直平分线。 原理：两点确定一条直线，两个满足条件的点连线，即为垂直平分线。 6. 高频几何模型：垂直平分线周长模型 已知：直线l垂直平分AB，点P在l上，△PCB周长=PC+CB+PB ∵ PA=PB，∴ △PCB周长=PC+CB+PA=AC+BC 核心结论：利用垂直平分线性质等量代换，转化三角形周长，是期末填空、选择压轴高频题型。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 线段垂直平分线是一条（） A. 线段 B. 射线 C. 直线 D. 曲线 2. 若点P在线段AB的垂直平分线上，则一定成立的是（） A. PA=PB B. PA⊥PB C. OA=OB D. PO⊥AB 3. 已知PA=PB，则可以判定（） A. AB平分PA B. 点P在AB的垂直平分线上 C. P在AB中点上 D. PA⊥AB 4. 下列条件不能判定直线是线段垂直平分线的是（） A. 垂直且平分线段 B. 线上任意点到线段两端距离相等 C. 只垂直不平分 D. 两点都满足到端点距离相等 5. 线段AB的垂直平分线有几条（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 6. 利用垂直平分线性质可以直接证明（） A. 角相等 B. 线段相等 C. 两线平行 D. 三角形全等 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的________相等。 8. 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的________上。 9. 线段的垂直平分线必须满足________且________线段。 10. 线段的垂直平分线是________（直线/线段/射线）。 11. 证明点在垂直平分线上的依据是________定理。 12. 垂直平分线题型常通过________转化周长、线段长度。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础性质证明： 已知：直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上，求证：PA=PB。 14.（18分）判定定理应用： 已知：在△ABC中，AB=AC，求证：点A在BC的垂直平分线上。 15.（18分）周长经典模型计算： 已知：DE是AB的垂直平分线，AC=10cm，BC=6cm，求△BCE的周长。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.C（垂直平分线定义为直线）； 2.A（垂直平分线核心性质：点在线上，距两端相等）； 3.B（距离相等，判定点在垂直平分线上）； 4.C（必须同时满足垂直+平分，缺一不可）； 5.A（一条线段有且仅有一条垂直平分线）； 6.B（性质直接证线段相等，简化全等步骤）。 二、填空题 7. 距离 8. 垂直平分线 9. 垂直；平分 10. 直线 11. 垂直平分线判定 12. 线段等量代换 三、解答题 13. 证明： ∵ 直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上（已知） ∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。 14. 证明： ∵ AB=AC（已知） ∴ 点A在BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）。 15. 解： ∵ DE是AB的垂直平分线（已知） ∴ AE=BE（垂直平分线性质） △BCE周长 = BE + EC + BC 等量代换得：周长 = AE + EC + BC = AC + BC 代入数值：周长 = 10 + 6 = 16(cm) 答：△BCE的周长为16cm。 本节易错必记（高频扣分点） 1. 致命易错：垂直平分线是直线，做题填空、判断极易选错； 2. 性质与判定依据不能写混：点在线上→用性质；距等→用判定； 3. 判定垂直平分线必须同时满足垂直、平分，只垂直不平分不是中垂线； 4. 周长模型核心是等线段替换，是考试最常考的应用题型； 5. 单个点距离相等只能证点在中垂线上，不能直接证直线是中垂线，需要两个点。 本节核心背诵口诀 中垂线上任意点，线段两端距离等； 距离相等定点线，判定定理要认准； 垂直平分两条件，直线属性记在心； 周长替换秒解题，不用全等更省心。 几何定理极简总结 性质：点在线上 ➜ 距两端相等 判定：距两端相等 ➜ 点在线上 应用：证边相等、转化周长、定点位置 学习目标 1.理解线段垂直平分线的概念； 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理； 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明 或计算. 学习目标 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 观察：已知点 P 与点 P′ 关于直线 l 对称，如果将线段 PP′ 沿直线 l 折叠，那么点 P 与点 P′ 重合，PD = P′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 PP′，又垂直于线段 PP′. l D 2 1 (P′) 线段垂直平分线的性质 1 P P′ 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.(或中垂线) 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 知识要点 l P P′ 直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线. 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 探究发现 P A B D l 于是∠ADP =∠BDP = 90°. 在△PAD 和△PBD 中， 设 D 是线段 AB 的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点 D 在直线 l 上，并且 PD⊥AB， 所以△PAD≌△PBD (边角边). 因此 PA＝PB. AD＝BD， ∠ADP＝∠BDP， PD＝PD， 当点 P 在线段 AB 上时， 结论还成立吗? 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 知识要点 例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C A B C D E 典例精析 解析：∵ DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD. 又∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋DC ＝ 35 cm， ∴ BC＋AD＋DC＝ 35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的转化，从而求出未知线段的长． A B C D E 说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么? 线段垂直平分线的判定 2 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 这个逆命题是真命题吗? 下面来证明上述逆命题是真命题， 如图，当点 M 不在线段 AB 上时，连接 MA， MB，由于 MA = MB，则△MAB 是等腰三角形. 取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD 是△MAB 的底边 AB 上的中线，也是 AB 上的高线. M A B D 因此，直线 MD 是线段 AB 的垂直平分线，从而点 M 在线段 AB 的垂直平分线上. 当点 M 在线段 AB 上时，则 M 就是 AB 的中点，因而点 M 在 AB 的垂直平分线上. 推理论证 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： 因为 PA = PB， 所以点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识要点 例2 如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC. 求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA = OB(线段垂直平分线的性质定理). 同理 OB = OC. 于是OA = OC. 所以点 O 在 AC 的垂直平分线上 (线段垂直平分线的性质定理的逆定理). 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定导入里购物中心的位置，使它到三个小区的距离相等吗？ 1. 如图，等腰三角形中， ， .线段的垂直平分线交于 ，交 于，连接，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 15 2．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若AE＝6，EF＝8，FC＝10，则△ABC的面积是________． 72 考试考法 16 返回 考试考法 3．如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD. (1)若∠B＝40°，求∠ACD的度数； 【解】连接BD并延长，交AC于H，如图． 因为DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，所以DA＝DB，DC＝DB，所以∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC，所以∠ADH＝∠DAB＋∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB＋∠DBC＝2∠DBC，所以∠ADC＝2∠ABC＝80°. 考试考法 18 考试考法 返回 (2)判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【解】∠ABC＋∠ACD＝90°，理由如下： 因为∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，所以2∠ACD＋2∠ABC＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝90°. 考试考法 20 4．游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的(　　) A．三边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 A 返回 考试考法 21 5. 风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞” 等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000 多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图， 已知，， ， ，制作这个风筝需要的布料至少为 _______ . 2 700 返回 考试考法 22 线段的垂直平分线的性质和判定 性质 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 【点拨】如图，连接BE.因为AB的垂直平分线交AC于点E，所以AE＝BE＝6，所以∠ABE＝∠A＝45°，所以∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝180°－45°－45°＝90°，所以BE⊥AC， 所以S△ABC＝AC·BE＝(AE＋EF＋FC)·BE＝×(6＋8＋10)×6＝72. 因为DA＝DB，DC＝DB，所以DA＝DC，所以∠ACD＝∠CAD＝(180°－80°)＝50°. $