专题04 三角形（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材湘教版

该初中数学三角形期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，分知识点构建“认识三角形-命题与证明-全等三角形-等腰三角形”知识脉络，每个知识点配套定义、性质解析及易错点示例，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“全等三角形判定综合应用”题型提供答题模板，引导学生通过多次全等推理培养逻辑思维，“等腰三角形分类讨论”题强化几何直观。基础通关练、重难突破练满足不同层次学生需求，易错点提示助力自主复习，为教师精准教学提供有效支持。

专题04 三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形基本性质 能辨析三角形的边角关系并证明其正确性 选择题高频考点，常考查三边不等关系及内角和定理（占期末分值15%） 命题与证明 能规范书写几何命题的证明过程 新增重点考点，近年期末卷出现率显著提升 全等三角形判定 熟练运用SSS/SAS/ASA等判定规范证明 解答题必考内容，易错点在对应边角确认（占期末失分25%） 等腰三角形性质 能运用等边对等角性质解决几何问题 压轴题常考方向，2024年多地出现"双等腰"组合新题型 线段的垂直平分线 会利用垂直平分线性质进行几何计算 中档题高频考点，常与等腰三角形结合命题 说明：相当于“知识工具箱”，梳理本章节基础知识，提炼本单元核心概念、公式、法则等，注意添加示例或易错点以理解透彻该知识点。 知识点01 认识三角形 1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边 2. 三角形的分类 3.三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线. 2.BD=DC=BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。 ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线. 2.∠1=∠2=∠BAC. 注意： ①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线. 2.AD⊥BC于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。 4 三角形的角与角之间的关系：图8 (1)三角形三个内角的和等于180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 5.三角形的内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 6.三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． ·易错点：1.三角形分类混淆：常将"按边分类"与"按角分类"标准混用 2.三边关系定理应用错误：忽视"两边之和大于第三边"的隐含条件 3.高线位置误解：钝角三角形的高可能在三角形外部 知识点02 命题与证明 1. 命题 (1)定义:对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题 (2)结构形式:命题都是由条件和结论两部分组成(3)表达形式:命题都可以写成“如果那么.::·:弓的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论 2.逆命题 将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题 3.真命题和假命题 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题 4.证明与图形有关命题的步骤(1)画出图形;(2)写出已知、求证;(3)写出证明过程 5.反证法的步骤 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立: (2)从假设出发，经过推理得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确从而肯定原命题的结论正确 易错点：1.逆命题构造错误：混淆"如果P那么Q"与"如果Q那么P" 2.反例构建不当：用特殊情况否定一般命题时出现逻辑漏洞 3.证明跳步：关键推导步骤缺失导致逻辑链断裂 知识点03 全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定定理: (1) 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等 (2) 边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (3) 角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 易错点：1.判定定理误用：混淆SSA与SAS判定条件 2.对应关系错误：证明时未严格匹配顶点对应关系 3.公共边/角遗漏：忽视图形中的隐含相等元素 知识点04 尺规作图 易错点：1.作图痕迹保留不足：未保留必要的辅助线或交点标记 2.基本操作不规范：如圆规两脚间距随意变动 3.作图顺序错误：未按题目要求的步骤逐步完成 知识点05 等腰三角形的性质与判定 1. 等腰（边）三角形的性质 2. 等腰（边）三角形的判定方法 易错点：1.性质应用片面：只关注两边相等忽视"等边对等角" 2.三线合一混淆：误将角平分线等同于高线 3.分类讨论缺失：未考虑顶角/底角不同情况 知识点06 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质定理线段垂 直平分线上的点到线段两端的距离相等 2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定） 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 易错点：1.性质理解偏差：误认为平分线上的点到线段两端距离可以不相等 2.作图不精确：垂直关系未严格保证90度 3.应用场景混淆：与角平分线使用场景混淆 题型一 三角形的分类与三边关系判断 解｜题｜技｜巧 分类判断：先确定最长边，再用三边关系验证；等腰三角形求边长时，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况，验证后舍去不能构成三角形的解。 取值范围：设第三边为，两边为、（），则，结合整数条件或周长要求缩小范围。 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）学校马师傅为了绿化校园工作，需要搭建一个三角形木架，他去库房取了三根木条，请你帮他选择以下选项中哪三根木条能够完成搭建工作（   ） A．3，10，6 B．2，5，8 C．3，4，5 D．1，5，6 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知是等腰三角形，且，．求的周长． 题型二 三角形“三线”的概念辨析与简单计算 解｜题｜技｜巧 分类判断：先确定最长边，再用三边关系验证；等腰三角形求边长时，需分“已知边为腰”和“已知边为底” 两种情况，验证后舍去不能构成三角形的解。 取值范围：设第三边为，两边为、（），则，结合整数条件或周长要求缩小范围。 【典例1】．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【典例2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，在中，点是的中点，点是上的一点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 题型三 三角形内角和与外角性质的直接应用 解｜题｜技｜巧 角度计算：直接利用定理列等式，若有平行线、对顶角，先转化为三角形内角或外角再计算。 简化技巧：复杂图形中标记已知角，利用“外角不相邻两内角和”快速拆分复合角，避免重复计算。 【典例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，一束光线从点C发出，经过平面镜反射后，其反射光线与平行，且与相等．若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一副三角板中，，，． (1)如图，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小； ②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为______． (2)如图，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，的值为______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 题型四 三角形折叠中内角和问题 解｜题｜技｜巧 折叠本质是轴对称，折叠前后的图形对应角相等。解题时，先找出所有相等的角，再结合原三角形的内角和、平角（180°）或周角（360°）来构造方程。关键是利用折叠不变量建立角之间的联系。 【典例1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和同时成为“准直角三角形”，则的度数为 ． 【典例2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 题型五 全等三角形判定的综合应用 答｜题｜模｜板 在复杂图形中，常需多次证明全等。一般思路为：先证一对三角形全等，利用其性质得到新的边或角相等条件，再作为证明下一对三角形全等的前提。此过程环环相扣，要求每一步推理严谨。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与相交于点，且是的中点，添加下列条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，以下三个关系：①；②；③．请从这三个关系中，选取其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进行证明． 已知： 求证： 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）已知，如图，在中，是的中点，，交的延长线于点．求证：． 题型六 全等三角形的辅助线问题 答｜题｜模｜板 此类题将全等与面积、周长、线段和差倍分等问题结合。核心是先通过证明全等得到基本等量关系，再运用代数方法（如设未知数列方程）求解几何量。体现了数形结合思想，是本章能力的综合考查。 【典例1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【变式3】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 题型七 等腰三角形的性质和判定 答｜题｜模｜板 "等边对等角"解题步骤： ① 标注已知相等边→找出对应角 ② 建立角关系方程 【例题】等腰△ABC中AB=AC，∠B=40°，则∠A=100°（180°-2×40°） "三线合一"使用要点： ① 遇中线/高线/角平分线→联想其他两线 ② 构造直角三角形解题 【例题】等腰△ABC中AB=AC，AD为中线，则AD⊥BC且∠BAD=∠CAD 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点C是平面内一点，连接，，，直线与直线相交于点D，如果是以为腰的等腰三角形，则的度数为 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东·期末）如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 【变式2】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，与交于点，且，点，在上，，，求证：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 题型八 等边三角形的性质和判定 答｜题｜模｜板 判定路径： 三边相等法 三角相等法 等腰+60°角法 【技巧】遇到60°角优先考虑构造等边三角形 【典例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，内部有一定点，，若点，分别是射线，上异于点的动点．（1）在射线，上 （填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值；（2）当周长的最小值是2时，则的度数是 ． 【变式1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在等边中，，点在边上，；点是边上一点，连接．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的长是 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 题型九 线段的垂直平分线的性质和判定 答｜题｜模｜板 性质应用： 点到线段两端距离相等 找对称点的工具 【实际应用】确定仓库到三个村庄等距的位置 判定方法： 定义法：证明垂直且平分 点距法：证明点到两端距离相等 【例题】已知PA=PB，QA=QB，则PQ是AB的垂直平分线 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点为上一点，垂直平分，交于点，连接，且平分，点在线段上，连接，若，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D．3 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在上，点A沿折叠后与点O重合，则是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·云南红河·期末）筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列语句中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点不只有一条直线与已知直线平行 D．对于直线a，b，c，如果，那么 3．（25-26七年级上·贵州·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则 ．（用含的代数式表示）． 4．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，，，直线为线段 的垂直平分线． 5．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是的外角的平分线，；求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点是线段上的一个动点，点是点关于直线的对称点，在点的运动过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 2．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 4．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的度数为 °． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，过的顶点作，且，再作，且，交于，交于，与相交于点． 求证： (1)； (2)． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 3．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形基本性质 能辨析三角形的边角关系并证明其正确性 选择题高频考点，常考查三边不等关系及内角和定理（占期末分值15%） 命题与证明 能规范书写几何命题的证明过程 新增重点考点，近年期末卷出现率显著提升 全等三角形判定 熟练运用SSS/SAS/ASA等判定规范证明 解答题必考内容，易错点在对应边角确认（占期末失分25%） 等腰三角形性质 能运用等边对等角性质解决几何问题 压轴题常考方向，2024年多地出现"双等腰"组合新题型 线段的垂直平分线 会利用垂直平分线性质进行几何计算 中档题高频考点，常与等腰三角形结合命题 说明：相当于“知识工具箱”，梳理本章节基础知识，提炼本单元核心概念、公式、法则等，注意添加示例或易错点以理解透彻该知识点。 知识点01 认识三角形 1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边 2. 三角形的分类 3.三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线. 2.BD=DC=BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。 ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线. 2.∠1=∠2=∠BAC. 注意： ①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线. 2.AD⊥BC于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。 4 三角形的角与角之间的关系：图8 (1)三角形三个内角的和等于180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 5.三角形的内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 6.三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． ·易错点：1.三角形分类混淆：常将"按边分类"与"按角分类"标准混用 2.三边关系定理应用错误：忽视"两边之和大于第三边"的隐含条件 3.高线位置误解：钝角三角形的高可能在三角形外部 知识点02 命题与证明 1. 命题 (1)定义:对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题 (2)结构形式:命题都是由条件和结论两部分组成(3)表达形式:命题都可以写成“如果那么.::·:弓的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论 2.逆命题 将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题 3.真命题和假命题 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题 4.证明与图形有关命题的步骤(1)画出图形;(2)写出已知、求证;(3)写出证明过程 5.反证法的步骤 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立: (2)从假设出发，经过推理得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确从而肯定原命题的结论正确 易错点：1.逆命题构造错误：混淆"如果P那么Q"与"如果Q那么P" 2.反例构建不当：用特殊情况否定一般命题时出现逻辑漏洞 3.证明跳步：关键推导步骤缺失导致逻辑链断裂 知识点03 全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定定理: (1) 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等 (2) 边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (3) 角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 易错点：1.判定定理误用：混淆SSA与SAS判定条件 2.对应关系错误：证明时未严格匹配顶点对应关系 3.公共边/角遗漏：忽视图形中的隐含相等元素 知识点04 尺规作图 易错点：1.作图痕迹保留不足：未保留必要的辅助线或交点标记 2.基本操作不规范：如圆规两脚间距随意变动 3.作图顺序错误：未按题目要求的步骤逐步完成 知识点05 等腰三角形的性质与判定 1. 等腰（边）三角形的性质 2. 等腰（边）三角形的判定方法 易错点：1.性质应用片面：只关注两边相等忽视"等边对等角" 2.三线合一混淆：误将角平分线等同于高线 3.分类讨论缺失：未考虑顶角/底角不同情况 知识点06 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质定理线段垂 直平分线上的点到线段两端的距离相等 2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定） 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 易错点：1.性质理解偏差：误认为平分线上的点到线段两端距离可以不相等 2.作图不精确：垂直关系未严格保证90度 3.应用场景混淆：与角平分线使用场景混淆 题型一 三角形的分类与三边关系判断 解｜题｜技｜巧 分类判断：先确定最长边，再用三边关系验证；等腰三角形求边长时，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况，验证后舍去不能构成三角形的解。 取值范围：设第三边为，两边为、（），则，结合整数条件或周长要求缩小范围。 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，直角三角形的概念，利用三角形的高确定直角，再确定直角三角形即可． 【详解】∵是边上的高， ∴， ∴， ∴、、都是直角三角形， 图中的直角三角形共有3个， 故选：B． 【典例2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）学校马师傅为了绿化校园工作，需要搭建一个三角形木架，他去库房取了三根木条，请你帮他选择以下选项中哪三根木条能够完成搭建工作（   ） A．3，10，6 B．2，5，8 C．3，4，5 D．1，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； B、，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； C、，，能构成三角形，则此项能搭建一个三角形木架，符合题意； D、，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知是等腰三角形，且，．求的周长． 【答案】的周长为16 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行求解即可． 【详解】解：因为，， 所以，即， 因为是等腰三角形， 所以， 所以的周长． 题型二 三角形“三线”的概念辨析与简单计算 解｜题｜技｜巧 分类判断：先确定最长边，再用三边关系验证；等腰三角形求边长时，需分“已知边为腰”和“已知边为底” 两种情况，验证后舍去不能构成三角形的解。 取值范围：设第三边为，两边为、（），则，结合整数条件或周长要求缩小范围。 【典例1】．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积计算，直角三角形的面积等于其两直角边乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 【典例2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相关知识． 由平行线的性质，结合角平分线的定义，可以判断选项，，根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，可以判断选项，即可得符合题意的选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∴选项不符合题意， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项不符合题意， 由已知无法得出， ∴选项符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项不符合题意， 故选：． 【变式1】（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，在中，点是的中点，点是上的一点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中线的性质，根据中线的性质可得，，从而可得，掌握三角形的一条中线将这个三角形面积分为相等的两个部分是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ∴，， ∴ ， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ∴比长． 题型三 三角形内角和与外角性质的直接应用 解｜题｜技｜巧 角度计算：直接利用定理列等式，若有平行线、对顶角，先转化为三角形内角或外角再计算。 简化技巧：复杂图形中标记已知角，利用“外角不相邻两内角和”快速拆分复合角，避免重复计算。 【典例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，一束光线从点C发出，经过平面镜反射后，其反射光线与平行，且与相等．若测得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．由平行线的性质可得，再由外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】 （1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一副三角板中，，，． (1)如图，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小； ②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为______． (2)如图，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，的值为______． 【答案】(1)①；②，理由见解析；③或 (2)或 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键； （1）①由题意易得，则有，然后问题可求解； ②由题意易得，然后可得，进而问题可求解； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，然后分两种情况进行分类求解即可； （2）由题意可分当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ， ∴， 答：的大小为； ②，理由如下： 平分， ， ， ， ； 当所在直线与所在直线互相垂直时，分两种情况： Ⅰ、如图，于，交于点， ， ， ； Ⅱ、如图，直线于，交于点， ，． ，， ， ， 故答案为：或； （2）解：边与三角板的一条直角边平行时，分两种情况： 当时，如图，延长交于点，延长交于点， 由题意得：，， 三角形外角定理， ， ∵， ， ∵， ∴， 即， 解得：， 当时，如图， 延长交于点S，延长交于点， 由题意得：，， ， ∵， ， ∵， ， ， 即， 解得：， 故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 题型四 三角形折叠中内角和问题 解｜题｜技｜巧 折叠本质是轴对称，折叠前后的图形对应角相等。解题时，先找出所有相等的角，再结合原三角形的内角和、平角（180°）或周角（360°）来构造方程。关键是利用折叠不变量建立角之间的联系。 【典例1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和同时成为“准直角三角形”，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的新定义，三角形内角和及外角性质，设，由，可得，由折叠可得，当为“准直角三角形”时，或，解得或，分别代入计算各角的度数，根据“准直角三角形”的定义判断即可求解，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处， ∴， 当为“准直角三角形”时，或， ∴或， ∴或， ①当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时，， ∴不是“准直角三角形”； ②当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时， ∴是“准直角三角形”； 综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的的度数为， 故答案为：． 【典例2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了理由余角和补角、三角形内角和求角的度数，根据折叠、旋转性质，结合图形得出角的关系（相等、互余、互补等）是解题关键． （1）根据可得，，进而由平角的定义可得，由此得出，结合即可得出结论； （2）由折叠可知，根据周角的定义和，可求，在由邻补角求出的度数； （3）先根据同角的余角相等证明，进而由即可求解； （4）先折叠可以证明，进而可得：，再由，可得，结合已知解方程即可求出； （5）由旋转可知：，，分两种情况：当在内时，，当在内时，，结合求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， （2）由折叠可知：， ∵，， ∴， ∴； （3）∵长方形、， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， （4）由翻折可知：，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 又∵， ∴． （5）∵长方形，在中，一个锐角是． ∴， 由旋转可知：，， 当在内时，， 又∵，即， ∴，解得， 当在内时，， ∴，解得（不合题意舍去）， 综上可得：旋转角是． 题型五 全等三角形判定的综合应用 答｜题｜模｜板 在复杂图形中，常需多次证明全等。一般思路为：先证一对三角形全等，利用其性质得到新的边或角相等条件，再作为证明下一对三角形全等的前提。此过程环环相扣，要求每一步推理严谨。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与相交于点，且是的中点，添加下列条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知是中点，可得，且（对顶角相等）．根据全等三角形判定定理（、、），逐一分析添加各选项条件后能否判定．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键． 【详解】解：是的中点， ， 又（对顶角相等）． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 此时是“边边角”的情况，不能判定，故项错误，符合题意． 故选：． 【变式1】（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，以下三个关系：①；②；③．请从这三个关系中，选取其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进行证明． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，分条件：已知①②，求证：③；条件：①③，求证：②两种情况，证明，即可得出结论． 【详解】解：已知：①②， 求证：③； 证明：在和中， ， ∴， ∴； 已知：①③， 求证：②； 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）已知，如图，在中，是的中点，，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的性质与判定，关键是灵活应用知识点解题； 由平行可得，，再结合，可论证，利用全等三角形的性质即可得到结论 【详解】证明：∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型六 全等三角形的辅助线问题 答｜题｜模｜板 此类题将全等与面积、周长、线段和差倍分等问题结合。核心是先通过证明全等得到基本等量关系，再运用代数方法（如设未知数列方程）求解几何量。体现了数形结合思想，是本章能力的综合考查。 【典例1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1)图形见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定（）及三角形三边关系．解题关键是用“中线倍长法”构造全等三角形，将分散的边（）转化为的边（），再利用三边关系求范围；易错点是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆． （1）按要求作辅助线：延长到E使，连接． （2）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （3）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入得，化简得． 【详解】（1）如图所示： （2） 是边上中线， ， 在和中， ， ． （3）由全等得，； 在中，用三边关系， 代入得，化简得． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 【变式3】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证 ，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 题型七 等腰三角形的性质和判定 答｜题｜模｜板 "等边对等角"解题步骤： ① 标注已知相等边→找出对应角 ② 建立角关系方程 【例题】等腰△ABC中AB=AC，∠B=40°，则∠A=100°（180°-2×40°） "三线合一"使用要点： ① 遇中线/高线/角平分线→联想其他两线 ② 构造直角三角形解题 【例题】等腰△ABC中AB=AC，AD为中线，则AD⊥BC且∠BAD=∠CAD 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点C是平面内一点，连接，，，直线与直线相交于点D，如果是以为腰的等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．依题意有以下两种情况：①当点在线段上时，设，根据等腰三角形性质得，则，证明，得，在中，由三角形内角和定理得；②当点在的延长线上时，设，根据等腰三角形性质得，根据得，则，证明得，在中，由三角形内角和定理得，综上所述即可得出答案. 【详解】解：直线与直线相交于点， 有以下两种情况： ①当点在线段上时，如图1所示： 设， 是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ②当点在的延长线上时，如图2所示： 设， 是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述：的度数为或. 故答案为：或. 【变式1】（25-26八年级上·山东·期末）如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质得到，，平分，，再证明和，加上，从而可对①进行判断；根据全等三角形的性质，由得到，则可对②进行判断；由得到，即，根据垂线段最短的性质，从而可对③进行判断；由得到，利用等量代换得到，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，，O是边上的中点， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图中共有3对全等三角形，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为①②④． 【变式2】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，与交于点，且，点，在上，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先证明，，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， 是等腰三角形， ， 即， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【答案】(1)等边三角形 (2)见解析 (3) 【分析】根据全等三角形的判定与性质得出，，进而利用等边三角形的判定解答即可； 根据等边三角形的性质得出，，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； 作交于点E，可证明是等边三角形，则，而是等边三角形，所以，，则，进而证明，得． 此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【详解】（1）解：点O是线段的中点， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）证明：是等边三角形，是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，作交于点E，则，， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形； ，， ， 在和中， ， ， ， 的度数是． 题型八 等边三角形的性质和判定 答｜题｜模｜板 判定路径： 三边相等法 三角相等法 等腰+60°角法 【技巧】遇到60°角优先考虑构造等边三角形 【典例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，内部有一定点，，若点，分别是射线，上异于点的动点．（1）在射线，上 （填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值；（2）当周长的最小值是2时，则的度数是 ． 【答案】 是 30 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． （1）作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为； （2）由（1）可得是等边三角形，进而可得的度数． 【详解】解：（1）在射线上存在点，，使的周长有最小值；作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，连接，，此时周长最小为 ． 故答案为：是； （2）如图，∵周长最小为 ， 根据轴对称的性质，得 ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 故答案为：30． 【变式1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在等边中，，点在边上，；点是边上一点，连接．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的定义以及性质．连接，证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出，，利用外角的定义以及性质得出，证明，由全等三角形的性质可得出，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 【变式2】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【答案】(1)等边三角形 (2)见解析 (3) 【分析】根据全等三角形的判定与性质得出，，进而利用等边三角形的判定解答即可； 根据等边三角形的性质得出，，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； 作交于点E，可证明是等边三角形，则，而是等边三角形，所以，，则，进而证明，得． 此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【详解】（1）解：点O是线段的中点， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）证明：是等边三角形，是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，作交于点E，则，， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形； ，， ， 在和中， ， ， ， 的度数是． 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 【答案】(1)A (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）将绕点C顺时针旋转得到，得到，根据等边三角形的性质得到，推出点B，A，三点共线，于是得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； ②设与交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，在上截取，得到是等边三角形，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A； （2）①解：， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型九 线段的垂直平分线的性质和判定 答｜题｜模｜板 性质应用： 点到线段两端距离相等 找对称点的工具 【实际应用】确定仓库到三个村庄等距的位置 判定方法： 定义法：证明垂直且平分 点距法：证明点到两端距离相等 【例题】已知PA=PB，QA=QB，则PQ是AB的垂直平分线 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点为上一点，垂直平分，交于点，连接，且平分，点在线段上，连接，若，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，再由角平分线的定义可得到，再根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在上，点A沿折叠后与点O重合，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，是的平分线，得，垂直平分，则，则，可求得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握各个性质是解题的关键． 【详解】解：，，是的平分线， ∴，垂直平分, ∴， 垂直平分， ， ∴， ， ， 由折叠得， ， ， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·云南红河·期末）筝形是指有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形，利用此定义证明如下问题：如图，，．求证：四边形是筝形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等边对等角和等角对等边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，由得到，然后得到，推出，进而得到垂直平分，即可证明四边形是筝形． 【详解】如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点A和点C都在的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴四边形是筝形． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证出所在直线为的垂直平分线，即可证出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：连接． ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上．    ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理将已知条件进行代换是解题的关键． 利用三角形内角和定理，将给定条件代入即可求解． 【详解】∵ （三角形内角和定理），（已知）， ∴， 即， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列语句中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点不只有一条直线与已知直线平行 D．对于直线a，b，c，如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假的判断、对顶角、同旁内角、平行线的性质等知识点，掌握相关性质是解题的关键． 根据对顶角、同旁内角、平行线的性质逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，故选项A说法错误，是假命题，不符合题意； B．同旁内角只有在两直线平行时才互补，故选项B说法错误，是假命题，不符合题意； C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项C说法错误，是假命题，不符合题意； D．如果，根据平行线的传递性，，故选项D说法正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·贵州·期末）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点； ③过点作射线，若． 则 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了画一个角等于已知角，角平分线的定义，由画图可得，得到，再利用平角定义求出即可求解，理解作图是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，，，直线为线段 的垂直平分线． 【答案】/ 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴直线垂直平分，即直线为线段的垂直平分线； 故答案为． 5．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是的外角的平分线，；求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等角对等边证明即可． 【详解】证明：， ，， ∵是的平分线， ， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点是线段上的一个动点，点是点关于直线的对称点，在点的运动过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的定义，由轴对称的性质得，进而由等腰三角形的定义可得是等腰三角形有两种情况：和，据此即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由轴对称的性质得，， ∵， ∴是等腰三角形有两种情况：和， ∴使为等腰三角形的点的位置共有个， 故选：． 2．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转前后对应边、对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， 又 ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 【答案】④①③② 【分析】本题考查作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 根据作一个角等于已知角的作图方法可得答案． 【详解】解：由题意知，正确的顺序是： ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F ①以C为圆心，长为半径画，交于点M； ③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D； ②作射线，则． 故答案为：④①③②． 4．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的度数为 °． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质．先根据等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，紧接着利用线段垂直平分线定理得到，从而得出的度数，最后利用角度和差关系求得结果． 【详解】解：∵，， ∴，则， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，过的顶点作，且，再作，且，交于，交于，与相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直的定义，通过三角形内角和定理推导垂直是解题关键． （1）通过“垂直得直角”推出，进而推出，再结合已知边相等，用证明，进而得到． （2）利用全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，推导，进而证明． 【详解】（1）证明： ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）证明： ， ， ， ， ， 即． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【答案】（1）见解析；（2）50 【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键． （1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求； 任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕； （2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 3．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 4．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $