专题02 分式（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材湘教版

该初中数学分式专题知识清单涵盖7大知识模块、8类典型题型及4项易错点，系统梳理分式定义、基本性质、运算规则、整数指数幂及分式方程等核心内容，搭建从概念理解到运算应用再到错误规避的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+例题变式+易错剖析”三维架构呈现知识体系，如分式加减法标注“分子多项式带括号”等警示误区，分式方程解法强调“验根步骤”，培养学生运算能力与推理意识。特别设计“最简公分母确定步骤”“符号变换规律”等实用工具，助力学生自主高效复习，为教师教学设计提供精准参考。

专题02 分式（7知识&8题型&4易错） 【清单01】分式的定义及有意义的条件： (1)分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. (2)分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. (3)分式值为零的条件：当A=0且 B≠0 时，分式的值为零 【清单02】分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂. 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 【清单03】分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取括号，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 【清单04】分式的乘法和除法 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带括号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果，符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别乘方，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 【清单05】分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 【清单06】整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数相同，二是除法运算，二者缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 【清单07】可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的整式方程的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为0时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上括号. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【题型一】分式的定义及有意义的条件 【例1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为0的条件等知识，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 分式的分母中一定含有字母，分子中不一定含有字母，如是分式，但分子中不含有字母，故原选项错误，不合题意； B. ∵，∴，∴对于任意有理数x，分式总有意义，故原选项正确，符合题意； C. 分数的分母不含有字母，一定不是分式，故原选项错误，不合题意； D. 当时，分式的值为0（A，B为整式）,故原选项错误，不合题意． 故选：B 【例2】（（25-26八年级上·湖北孝感·期末）若分式的值为零，则的取值为（   ） A． B． C． D．的值不存在 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为零的条件．分式的值为零需满足分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 由得，即或， 又∵，即， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·河南周口·期末）请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此写出一个当时，分式的分母为0的分式即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，则分母不为0． 根据分式有意义的条件得到，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 解得， 故答案为：． 【题型二】分式的基本性质 【例2】（24-25八年级下·云南普洱·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式和分式的基本性质． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式和分式的基本性质逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C错误； D：，符合分式的基本性质，D正确； 故选：D． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）分解因式： ；约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法和公式法的综合运用，约分．对于因式分解部分，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可；对于约分部分，分别简化系数和字母的指数． 【详解】解：因式分解：； 约分：． 故答案为：；． 【变式2-2】（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项分子和分母的公因式情况即可判断． 【详解】A．，故不是最简分式； B．，分子与分母无公因式（平方和不能因式分解），故是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式． 故选：B． 【题型三】分式的混合运算 【例3】（25-26八年级上·广东广州·期末）化简：； 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 【变式3-1】（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 【变式3-2】（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的加减乘除混合运算是关键．先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可． 【详解】解： ． 【变式3-3】（24-25八年级下·山西临汾·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 【题型四】分式的化简求值 【例4】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再代值计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式4-1】（25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则，是解题的关键． 先算括号内的加法，再将除式的分母因式分解，把除法转化为乘法，约分即可化简原式，最后将代入化简后的式子，进行计算即可得到答案． 【详解】解：原式， ， ， ； 当时， ， ， ． 【变式4-2】化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【变式4-3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中变形后，利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时， 原式． 【题型五】同底数幂的除法 【例5】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算： ．() 【答案】m 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂除法，是解题的关键． 先计算乘方，再计算除法，利用同底数幂的除法法则． 【详解】解：． 故答案为：m． 【变式5-1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算法则，熟练掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，、为整数）是解题的关键．本题可根据同底数幂的除法运算法则对进行变形，再将已知条件代入变形后的式子进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·吉林·期末）【自主学习】 范例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则 解得： 另一个因式为，的值为． 【类比探究】 （1）若二次三项式，可分解为，则 ， ； （2）若二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值； 【创新应用】 （3）若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值为 ． 【答案】（1）；；（2）另一个因式为，的值为3；（3）81 【分析】本题考查的是利用待定系数法分解因式，同底数幂的除法，掌握待定系数法解题是关键． （1）先计算，再比较即可得到答案； （2）设另一个因式为，可得，再建立方程组解题即可； （3）设另一个因式为，可得，再利用待定系数法可得，再结合同底数幂的除法运算可得答案． 【详解】解：（1）； ， 故答案为：；； （2）设另一个因式为，得 ， 则， 解得：， 故另一个因式为，的值为3， 故答案为：，3； （3）设另一个因式为， 则 ， ，由①得：③， 把③代入②得：， ， ． 故答案为：． 【变式5-3】（22-23八年级上·四川泸州·期末）已知，，求式子，的值． 【答案】，72 【分析】本题考查了同底数幂乘除法和幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 逆用同底数幂的除法即可求出，逆用幂的乘方和同底数幂的乘法可求出． 【详解】解：∵，， ∴； ∴． 【题型六】零次幂、负整数次幂 【例6】（23-24八年级上·山东济宁·期末） ． 【答案】 【分析】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂；利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：∵，故， 所以． ∵， 所以． 因此，原式． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期末）科学家研究发现在冬季一种直径为 米的感冒病毒严重影响人们的生活，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 数字的小数点向右移动位得到，因此指数为． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查负整数指数幂，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算；根据以上知识计算求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式6-3】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：； 即， ∴； 即，， ∴，． 问题：若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质、负整数指数幂、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．仿照例题的方法将式子变形为，再利用非负数的性质求出的值，代入即可求解． 【详解】解：， 即， ∴， 即，， ∴，， ∴． 【题型七】分式方程的解法 【例7】（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 整理得， 经检验：当时，则， 故是原分式方程的解； （2）解：， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·期末）将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘 ． 【答案】 【分析】该题考查了解分式方程，找出分式方程的最简公分母即可． 【详解】解：，分式方程的分母为和，最简公分母为，方程两边同时乘即可化为整式方程． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可． 【详解】解： 原方程两边同乘，去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：将代入得：， 故原分式方程的解为：． 【变式7-3】（23-24八年级上·天津南开·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元一次方程求解的方法是关键． 根据题意，先去分母，转换为一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法计算，检验根是否符合题意即可． 【详解】解：， 整理得，， 等式两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴原分式方程的解为． 【题型八】分式方程的实际应用 【例8】（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）临潭的冶力关景区被誉为“甘南生态大观园”和“兰州后花园”，从临夏到景区的公路全长175千米，公路全线改造升级后旅游大巴车的平均速度是原来的1.5倍，现在旅游大巴车从临夏到景区行驶时间比原来缩短了1小时，设旅游大巴车原来的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，能读懂题意，寻找等量关系列出方程是解答本题的关键． 根据题意，原速度x千米/时，新速度千米/时，原时间小时，新时间小时，时间缩短1小时，故原时间减1等于新时间． 【详解】解：设原平均速度为千米/时，则新平均速度为千米/时． ∵原时间，新时间，且新时间比原时间缩短1小时， ∴， 故选C． 【变式8-1】（25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 【答案】A型机单独工作完成这批零件需要15小时 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 设A型机完成这批零件所用的时间为小时，则B型机完成这批零件所用的时间为小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：A型机单独工作完成这批零件需要小时，则B型机单独工作完成这批零件需要小时． 依题意得： 解得： 检验：当时，，，，符合题意， 所以原分式方程的解为． 答：A型机单独工作完成这批零件需要15小时． 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】(1)该种干果的第一次进价是每千克5元 (2)超市销售这种干果共盈利5820元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系列出相应的方程求解． （1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解； （2）根据利润=售价−进价，可求出结果． 【详解】（1）解：设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）解：第一次购进（千克）， 第二次购进（千克）． 总购进量为（千克）， 按原价销售量为（千克）， （元）． 答：超市销售这种干果共盈利5820元． 【变式8-3】（24-25八年级上·全国·期末）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1) (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元；②每年行驶超过千米，买新能源车的年费用更低 【分析】（）用总电价除以续航里程列出代数式即可； （）①根据题意列出分式方程，解方程求出的值，进而即可求解；②设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可求解； 本题考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为； （2）解：①由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴，； 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； ②解：设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 【题型一】概念理解类 1.混淆“分式”与“整式” 错误表现：将分式（如 ）误认为整式，或忽略分式分母不为零的条件。 归因：未掌握分式的定义（分母含字母且分母≠0）。 纠正：遇到含字母的分母，先标注“分母≠0”（如 ）。 2.忽略“无意义”的情况 错误表现：求解分式值时未排除使分母为零的取值。 典型题：当 为何值时，分式 无意义？ 漏解：只注意到 （分子为零），忽略 （分母为零）。 【例1】下列代数式：，，，，，，．其中是分式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据分式的定义逐个判断即可得到答案．本题考查分式的定义，熟记“分式的定义：形如（其中A、B都是整式，且B中含有字母）的式子叫作分式”是解答本题的关键． 【详解】根据分式的定义，分式有，，，，共4个． 故选：B． 【变式1-1】使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：使分式的值等于0的全部条件是且， 解得且， 故选：D． 【变式1-2】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】本题考查了分式和整式，掌握分式和整式的定义是解题关键．根据分母中是否含有字母这一核心特征进行判断即可．注意是常数，不属于字母． 【详解】解：①，是分式； ②是整式； ③是分式； ④是整式； ⑤是分式； ⑥是分式； ⑦是整式； 即分式有①③⑤⑥，整式有②④⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 【变式1-3】若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴实数x的取值范围是． 故答案为： 【题型二】分式变形时符号错误 易错场景： ① （应为 ）； ② 分式前有负号，分子或分母未变号（如 错误）。 规律：分式整体的负号可放在分子、分母或分式前，但需同时变两项符号。 【例2】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 根据分式的基本性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴若把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的， 故选：C． 【变式2-1】根据分式基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质变形即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2-2】不改变分式的值，把分式“”前面的负号去掉，则原式= 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 将分子提取负号化简即可． 【详解】 故答案为： 【变式2-3】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． （1）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答； （2）利用分式的基本性质，把分母负号放到分式外面，即可解答； （3）利用分式的基本性质，分子、分母同乘，即可解答； （4）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型三】分式方程去分母时漏乘项 错误表现：解方程 时，只乘 而漏乘常数项。 规范步骤：每项同乘最简公分母（如 ），得 。 【例3】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了可化为一元一次方程的分式方程，正确求解是关键； （1）方程两边同乘，即可化为一元一次方程，解方程并检验即可； （2）方程两边同乘，即可化为一元一次方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘，并化简得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 所以原方程解为； （2）解：方程两边同乘，得：， 整理得：， 解得：，           经检验是原方程的解， 所以原方程的解为． 【变式3-1】解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的求解，掌握解分式方程的过程是解题的关键，注意根的检验． 根据题意，方程两边同乘以，化简求方程的根，再检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 当时，， 所以方程的解为． 【变式3-2】换元法解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了用换元法解分式方程： 设，先把方程变形为，解分式方程求出y的值，再代入所设式子中求出x即可． 【详解】解：设， 原方程可化为， 方程两边同时乘以得， 解得， 经检验都是的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 【变式3-3】解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程两边同乘，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， 化简，得， 解得， 检验：时，， ∴不是该分式方程的解， ∴原分式方程无解． 【题型四】分式变形时符号错误 1.忽略定义域检查 典型错误：解方程后未代入原分母验证 案例：解(x-2)/(x²-4)=0时，x=2会使分母为零 2.去分母时的隐藏陷阱 错误示范：直接两边乘以含未知数的式子 正确做法：先确定乘数不为零，或最后验根 3.特殊结构方程 比例式陷阱：a/b=c/d ⇏ ad=bc（当b=d=0时失效） 案例：解(x+1)/(x-1)=(x-1)/(x+1)时，x=0是唯一有效解 4.含参数方程的讨论 易漏情况：未对参数所有可能性分类讨论 示例：m/(x-2)=1可能无解（当m=0且x≠2时） 【例4】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知a是实数，若分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查分式方程无解问题，首先解分式方程得到，然后由分式方程无解得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， ∵关于x的分式方程无解， ∴， 解得， ∴将代入，得， 解得． 故答案为：6． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·期末）若关于x的分式方程的解是2，则a的值为 ；若该分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程：①将代入方程即可求出a值；②将分式方程去分母化简，分情况讨论即可． 【详解】解：把代入方程，得，解得； 去分母，得：，移项、合并同类项，得：． 分两种情况： 当，即时，不成立，方程无解； 当，即时，分式方程无解，则方程有增根，即，即， 把代入整式方程得：， 解得， ∴； 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级上·全国·期末）当 时，方程无解． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的无解问题．先按照解分式方程的步骤得到，再把增根代入即可求出答案． 【详解】解析： 对 去分母可得：， 整理可得：， ∵当时，此分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式4-3】（24-25八年级下·全国·期末）若关于x的方程无解，试求m的值． 【答案】0或或1 【分析】本题考查了分式方程的特殊解，熟练掌握分式方程的运算法则是解题的关键． 去分母后，分类讨论根的情况求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理，得 ∵原方程无解， ∴分三种情况讨论： ①当时，此时方程的增根为，则，解得； ②当时，此时方程的增根为，则，解得； ③当时，解得； 综上所述，或或． 学科网（北京）股份有限公1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式（7知识&8题型&4易错） 【清单01】分式的定义及有意义的条件： (1)分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. (2)分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. (3)分式值为零的条件：当A=0且 B≠0 时，分式的值为零 【清单02】分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂. 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 【清单03】分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取括号，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 【清单04】分式的乘法和除法 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带括号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果，符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别乘方，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 【清单05】分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 【清单06】整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数相同，二是除法运算，二者缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 【清单07】可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的整式方程的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为0时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上括号. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【题型一】分式的定义及有意义的条件 【例1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 【例2】（（25-26八年级上·湖北孝感·期末）若分式的值为零，则的取值为（   ） A． B． C． D．的值不存在 【变式1-1】（24-25八年级上·河南周口·期末）请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【题型二】分式的基本性质 【例2】（24-25八年级下·云南普洱·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）分解因式： ；约分： ． 【变式2-2】（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【题型三】分式的混合运算 【例3】（25-26八年级上·广东广州·期末）化简：； 【变式3-1】（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【变式3-2】（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： 【变式3-3】（24-25八年级下·山西临汾·期末）化简：． 【题型四】分式的化简求值 【例4】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式4-1】（25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式4-2】化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【变式4-3】先化简，再求值：，其中，． 【题型五】同底数幂的除法 【例5】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算： ．() 【变式5-1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）若，，则 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·吉林·期末）【自主学习】 范例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则 解得： 另一个因式为，的值为． 【类比探究】 （1）若二次三项式，可分解为，则 ， ； （2）若二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式以及的值； 【创新应用】 （3）若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值为 ． 【变式5-3】（22-23八年级上·四川泸州·期末）已知，，求式子，的值． 【题型六】零次幂、负整数次幂 【例6】（23-24八年级上·山东济宁·期末） ． 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期末）科学家研究发现在冬季一种直径为 米的感冒病毒严重影响人们的生活，数据用科学记数法表示为 ． 【变式6-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【变式6-3】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：； 即， ∴； 即，， ∴，． 问题：若，求的值． 【题型七】分式方程的解法 【例7】（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）解方程： (1) (2) 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·期末）将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘 ． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·期末）解方程：． 【变式7-3】（23-24八年级上·天津南开·期末）解分式方程：． 【题型八】分式方程的实际应用 【例8】（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）临潭的冶力关景区被誉为“甘南生态大观园”和“兰州后花园”，从临夏到景区的公路全长175千米，公路全线改造升级后旅游大巴车的平均速度是原来的1.5倍，现在旅游大巴车从临夏到景区行驶时间比原来缩短了1小时，设旅游大巴车原来的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 【变式8-3】（24-25八年级上·全国·期末）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【题型一】概念理解类 1.混淆“分式”与“整式” 错误表现：将分式（如 ）误认为整式，或忽略分式分母不为零的条件。 归因：未掌握分式的定义（分母含字母且分母≠0）。 纠正：遇到含字母的分母，先标注“分母≠0”（如 ）。 2.忽略“无意义”的情况 错误表现：求解分式值时未排除使分母为零的取值。 典型题：当 为何值时，分式 无意义？ 漏解：只注意到 （分子为零），忽略 （分母为零）。 【例1】下列代数式：，，，，，，．其中是分式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-2】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【变式1-3】若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【题型二】分式变形时符号错误 易错场景： ① （应为 ）； ② 分式前有负号，分子或分母未变号（如 错误）。 规律：分式整体的负号可放在分子、分母或分式前，但需同时变两项符号。 【例2】若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【变式2-1】根据分式基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】不改变分式的值，把分式“”前面的负号去掉，则原式= 【变式2-3】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三】分式方程去分母时漏乘项 错误表现：解方程 时，只乘 而漏乘常数项。 规范步骤：每项同乘最简公分母（如 ），得 。 【例3】解分式方程： (1)； (2)． 【变式3-1】解方程： ． 【变式3-2】换元法解方程：． 【变式3-3】解方程：． 【题型四】分式变形时符号错误 1.忽略定义域检查 典型错误：解方程后未代入原分母验证 案例：解(x-2)/(x²-4)=0时，x=2会使分母为零 2.去分母时的隐藏陷阱 错误示范：直接两边乘以含未知数的式子 正确做法：先确定乘数不为零，或最后验根 3.特殊结构方程 比例式陷阱：a/b=c/d ⇏ ad=bc（当b=d=0时失效） 案例：解(x+1)/(x-1)=(x-1)/(x+1)时，x=0是唯一有效解 4.含参数方程的讨论 易漏情况：未对参数所有可能性分类讨论 示例：m/(x-2)=1可能无解（当m=0且x≠2时） 【例4】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知a是实数，若分式方程无解，则a的值为 ． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·期末）若关于x的分式方程的解是2，则a的值为 ；若该分式方程无解，则a的值为 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·全国·期末）当 时，方程无解． 【变式4-3】（24-25八年级下·全国·期末）若关于x的方程无解，试求m的值． 学科网（北京）股份有限公1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $