专题04 三角形（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材湘教版

该初中数学三角形专题知识清单系统整合了三角形核心内容，涵盖认识三角形、命题与证明、全等三角形等6大知识清单，11类典型题型及2个易错点，构建了从概念定义到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型训练+易错警示”三维架构，如“三角形的分类”配直观图示培养几何直观，“全等三角形辅助线”专题通过变式训练强化推理意识。特别标注“三边关系忽略范围”等易错点，设计“例+变式”分层训练，助力学生自主构建知识网络，教师可据此高效开展针对性教学。

专题04 三角形（6知识&11题型&2易错） 【清单01】认识三角形： 1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边 2. 三角形的分类 3.三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线. 2.BD=DC=BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。 ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线. 2.∠1=∠2=∠BAC. 注意： ①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线. 2.AD⊥BC于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。 4 三角形的角与角之间的关系：图8 (1)三角形三个内角的和等于180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 5.三角形的内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 6.三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 【清单02】命题与证明 1. 命题 (1)定义:对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题 (2)结构形式:命题都是由条件和结论两部分组成(3)表达形式:命题都可以写成“如果那么.::·:弓的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论 2.逆命题 将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题 3.真命题和假命题 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题 4.证明与图形有关命题的步骤(1)画出图形;(2)写出已知、求证;(3)写出证明过程 5.反证法的步骤 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立: (2)从假设出发，经过推理得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确从而肯定原命题的结论正确 【清单03】全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定定理: (1) 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等 (2) 边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (3) 角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 【清单04】尺规作图 【清单05】等腰三角形 1. 等腰（边）三角形的性质 2. 等腰（边）三角形的判定方法 【清单06】线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定）： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【题型一】三角形的定义及三边关系 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）若一个三角形的两边长分别为5和12，则第三边长不可能是（   ） A．7 B．9 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系可得，由此即可得出答案，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：设三角形的第三边长为， 由三角形三边关系可得：，即， 第三边长不可能是， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 【变式1-1】已知三角形的两边长分别为1和3，第三边长为整数，则第三边长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形第三边长是x，由三角形三边关系定理得到，由第三边长为整数，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边长是x， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵第三边长为整数， ∴第三边长是3， 故选：B． 【变式1-2】已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解： ， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解： ，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 【题型二】三角形三条重要线段的计算 【例2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的中线，E，F分别为，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积，熟练掌握三角形的中线与面积是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵F为的中点，是的中线，且的面积为， ∴，，即， ∵E为的中点， ∴， ∴； 故答案为：24． 【变式2-1】如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，再表示出和周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 【变式2-2】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 【变式2-3】如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段： （1）由三角形外角的定义及性质可得再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 【题型三】三角形的内角和定理及外角性质 【例3】（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图， ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题关键． 延长、交于点G，通过三角形外角的性质，将所求的角度之和问题转化成两个三角形的内角和问题． 【详解】解：如图，延长、交于点G，设与交于点H，与交于点I， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵三角形内角和为， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做该等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义和等边对等角，根据等腰三角形的“特征值”定义，设顶角为，则底角为，利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做该等腰三角形的“特征值”，记作． ∴设顶角为，则两个底角均为， 又∵ 三角形内角和为180°， ∴ ， ∴解得：， ∴ 顶角的度数为． 故选：C． 【变式3-2】在中，为边上的高，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和，正确画出图形是解题的关键． 分高在内部和外部两种情况讨论；利用三角形内角和定理及高的性质计算． 【详解】解：当高在内部时，如图， ，在中，； 当高在外部时（点D在延长线上）， ，则， 在中，， 故答案为：或． 【变式3-3】如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 【题型四】命题与证明 【例4】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）下列四个命题，其中真命题的个数是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、垂线的性质以及点到直线的距离的概念． 逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立，故①是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②是假命题； ③平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理的推论，故③是真命题； ④点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故④是假命题； ∴真命题只有③，共1个． 故选：A． 【变式4-1】判断命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的逆命题的真假，并说明理由． 【答案】假命题，理由见分析 【分析】本题考查了对顶角的概念，互逆命题，真假命题，理解对顶角的概念是解题的关键．两个角有公共的顶点，如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．判断一个命题是假命题，举一反例即可． 【详解】解：原命题的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．这个逆命题是假命题，例如，两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角 【变式4-2】如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　　　　，结论是　　　　（填写序号）； (2)证明上述命题． 【答案】(1)①②，③；（或①③，②；或②③，①答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质，三角形外角的性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据题意写出命题的条件及结论即可； （2）若选择的条件是①②，结论是③，延长、交于点，可得，得到，进而推出，得到，从而，再由三角形外角的性质即可证明．若选择的条件是①③，结论是②，先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差即可证明．若选择的条件是②③，结论是①，延长、交于点，根据垂直可得，证明得到，得到，进而有，从而，得到，即可得证． 【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③；或者选择条件是①③，结论是②；或者选择条件②③，结论是①． 故答案为：①②，③；（或①③，②；或②③，①答案不唯一）． （2）解：若选择的条件是①②，结论是③，证明如下： 延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 若选择的条件是①③，结论是②，证明如下： ，， ， ， ． ∵， ， ∴ ∴， ， ， ． 若选择的条件是②③，结论是①，证明如下： 延长、交于点， ∵， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是“两个锐角都是”，逆定理需将条件和结论互换．逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应． 【详解】解：∵ 原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是． ∴ 逆定理：若两个锐角都是，则三角形是等腰直角三角形． 故选：A． 【题型五】全等三角形的定义及性质 【例5】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 【变式5-1】如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键．由，可得，则可求得，则可求 【详解】解：，， ． 又， ， ． 【变式5-2】在数学活动“用全等三角形证明拼图猜想”中，小明同学剪了一组全等的钝角三角形，并拼在一起后如图． (1)观察可以发现，___________ (2)连接，可以发现与有什么位置关系？请证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，再证明，则，转化角之间的关系可证明，则． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴； 【变式5-3】已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解： ， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 【题型六】灵活使用判定方法证全等 【例6】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 【变式6-1】如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【变式6-2】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得，根据得，进一步推出，再根据即可得证．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式6-3】如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 【答案】(1)①②→④，①④→② (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． （1）根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性即可，例如，； （2）要证结论的正确性，例如由，则只需证，即可． 【详解】（1）解：假设由为条件，有为公共角，由可得，可得，即结论正确， 若为条件，则由可得，得出，结论正确， 故答案为：，； （2）选 证明：，，， ∴ 选 证明：∵，，； ∴， ∴， 【题型七】全等三角形的辅助线问题 【例7】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 【变式7-1】（1）如图1，，点 M，N 分别在上，且，连接交于点 D，求证：； （2）如图2，在中， 于点 M，点 N 在上，且，求证：； （3）如图3，在中，点E 在边上，点 F 在线段上，且，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，则，即可解答； (2)过点 B 作于点K，由，，得 ，即可解答； (3)在的延长线上取一点 H，使得，连接．由，得，， ，则即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）过点 B 作于点K，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）在的延长线上取一点 H，使得，连接，如图 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴． 【变式7-2】【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【变式7-3】（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3） 【分析】本题考查“全等三角形的判定与性质”，灵活运用中点构造出全等三角形进行线段转换和计算是解题关键． （1）延长，构造全等三角形，将，，放在同一个三角形的三边中，利用三角形三边关系即可找出的范围； （2）先延长，构造全等三角形，再借助这个全等三角形，得到与全等的三角形，从而得到与的关系； （3）延长到，使，同（1）可证，得出，，利用角的和差关系及外角性质得出，利用证明，即可得． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使得， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可知，， ∴，即， ∵， ∴； （2）证明：如图，延长至点E，使得， 同（1）理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∴， 同（1）可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型八】尺规作图 【例8】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，理解尺规作图的依据是解题的关键．根据圆的半径相等，第一步到第三步的尺规作图可以得到三组对应线段相等，依据“边边边”可以判定，据此回答即可． 【详解】解：根据基本作图，由作图得，， 判定的依据是， 故选：A． 【变式8-1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线； ②以点为圆心，以为半径画弧交于点； ③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ④过点作射线，即为所求作的角； ⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点． 则下列排序正确的是（　 　） A．①③②④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作图顺序为： ①作射线； ③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以为半径画弧交于点； ⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点． ④过点作射线，即为所求作的角； 即：①③②⑤④； 故选：B． 【变式8-2】如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据作图得到，进而得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴； 故答案为： 【变式8-3】尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，已知线段和线段，延长线段到点，使； (2)如图②，已知，求作，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—作线段等于已知线段，作图—作角等于已知角，掌握基本作图方法是解题关键． （1）根据作线段等于已知线段作图即可； （2）根据作角等于已知角作图即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，即为所求． 【题型九】等腰三角形的性质与判定 【例9】（25-26八年级上·安徽六安·期末）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， (1)如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． (3)如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①，，理由见解析；② (3)当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时， 【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． （1）利用三角形外角的性质可得，，根据可得； （2）证明，可得，，根据可得，问题得证； （3）分两种情况讨论：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，在上截取，连接，证明，根据等腰三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解：①结论：，； 证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； ②∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：； （3）解：当点D在线段上时，在上截取，连接，如图所示： 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点D在线段延长线上时，在延长线上截取，连接，如图所示： 同理可证∴，， ， ∴ 综上所述：当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，． 【变式9-1】如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由是锐角为的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出 ，从而得到，由全等的性质判断其它三个选项是否正确即可． 本题考查的是全等三角形的性质和判定，等边对等角；熟练运用全等三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：，点D是的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中，， ， 故①正确； （全等三角形的对应边相等）， 故②正确； （全等三角形的对应角相等）， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， 故④正确． 综上分析，正确的有4个． 故选：D． 【变式9-2】在中，，平分交边于点，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已知，说明是等腰三角形，底角相等；由，可能通过截取线段（在上取一点，使，连接）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰，进而结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式9-3】“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形．如图，，，， (1)如图①求证：； (2)如图②，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质． (1)根据可证，利用可证； (2)根据可证，，根据中点的定义可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中，， ； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下： ， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【题型十】等边三角形的性质与判定 【例10】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若交的延长线于点，求证：； (3)如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理以及外角的性质； （1）根据等边三角形的性质可得，结合已知可得，证明得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，则是等边三角形，则，，设，由（1）可得，证明，进而证明得出，即可得证； （3）在（2）的基础上，结合已知，设，则，分别表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图，在上取一点，使得，连接， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设， 由（1）可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∴， （3）解：如图，过点作交的延长线于点，在上取一点，使得，连接， 由（2）可知 ∴ 由（1）可知 ∴ ∴， ∵， ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴． 【变式10-1】如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先证明，推出，，证明是等边三角形，求得，取的中点，连接，证明是等边三角形，求得，求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】如图，在中，，现将绕点A顺时针旋转，得到，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 先根据旋转的性质得，即可得出是等边三角形，进而得出，再求出，然后根据等腰三角形的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】解：根据旋转得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式10-3】如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； 【题型十一】线段垂直平分线的性质与判定 【例11】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 【变式11-1】如图，，，连接，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个知识点是关键；由线段垂直平分线的判定可判定选项A，由等腰三角形的性质可判定选项B、C，由三角形面积即可判定选项D． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故选项A正确； ∵，， ∴， 故选项B正确； ∵，，， ∴，， ∴， 即， 故选项C正确； 设交于点O，如图， ∵， ∴四边形的面积为：， 故选项D错误， 故选：D． 【变式11-2】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的定义，由线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，最后根据三角形外角的定义即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∴． 【变式11-3】如图， 在中，， 分别以点A 和点B为圆心， 大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N， 作直线， 分别交于点D、点 E， 连接． (1)若的周长是，， 求的长； (2)若， 求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等边对等角等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长得到，即可求出的长； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由得到，再根据角的和差即可得到的度数． 【详解】（1）解：由作法可知是的垂直平分线， ， 的周长是，， ， ， ； （2）， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， . 【题型一】混淆三边关系 1.忽略"两边之和大于第三边"的隐含条件（如已知两边求第三边范围） 2.误用不等式方向导致范围错误 典型题型： 给出两条边长为5cm和8cm，求第三边x的取值范围（正确答案：3<x<13） 判断三条线段能否组成三角形（需验证任意两边和>第三边） 【例1】如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（   ） A．11米 B．15.8米 C．26米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵米，米， ∴， ∴， 观察四个选项，唯有不满足这个范围， 故选：D 【变式1-1】若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：将变形，得，可得，． ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形； 所以的周长． 故答案为：． 【变式1-2】已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 【变式1-3】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分已知边是腰长或底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①当是腰长时， 底边为， ∵， ∴、、不能组成三角形； ②当是底边时， 腰长为， ∵， ∴、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为. 故答案为：． 【题型二】忽略分类讨论 混淆性质和判定条件 典型题型： 等腰三角形周长计算（需考虑腰>底边） 证明等边三角形的多条件问题 【例2】已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据为直角三角形分情况讨论是解题的关键．根据题意可分解析中图1，图2，图3，图4共四种情况，据此根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，此时不符合题意； 如图2所示，当时， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴； 如图3所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 如图4所示，当，则， 由折叠的性质可得； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式2-1】如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造全等三角形转化角和边的关系． 分两种情况讨论为直角三角形时的角度，利用全等三角形的性质和角度关系计算的度数． 【详解】解：①当时，如图，延长到点，使，连接， , , 在和中， ， , ， 点E为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中： , ， ， , ； ②当时，如图，延长到点，使，连接、， 同①理可得， ; 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式2-2】已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 【答案】 9或1 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交AC于点M， 由知为等边三角形， ，， 为等边的边的中点， ，， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或 故答案为：，9或 【变式2-3】如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】证明，则，得到，则，求出，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为边向右侧作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、多边形内角和、等边对等角、等边三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形（6知识&11题型&2易错） 【清单01】认识三角形： 1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边 2. 三角形的分类 3.三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线. 2.BD=DC=BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。 ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线. 2.∠1=∠2=∠BAC. 注意： ①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线. 2.AD⊥BC于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。 4 三角形的角与角之间的关系：图8 (1)三角形三个内角的和等于180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 5.三角形的内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 6.三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 【清单02】命题与证明 1. 命题 (1)定义:对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题 (2)结构形式:命题都是由条件和结论两部分组成(3)表达形式:命题都可以写成“如果那么.::·:弓的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论 2.逆命题 将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题 3.真命题和假命题 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题 4.证明与图形有关命题的步骤(1)画出图形;(2)写出已知、求证;(3)写出证明过程 5.反证法的步骤 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立: (2)从假设出发，经过推理得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确从而肯定原命题的结论正确 【清单03】全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定定理: (1) 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等 (2) 边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (3) 角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 【清单04】尺规作图 【清单05】等腰三角形 1. 等腰（边）三角形的性质 2. 等腰（边）三角形的判定方法 【清单06】线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定）： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【题型一】三角形的定义及三边关系 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）若一个三角形的两边长分别为5和12，则第三边长不可能是（   ） A．7 B．9 C．13 D．16 【例2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知三角形的两边长分别为1和3，第三边长为整数，则第三边长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【题型二】三角形三条重要线段的计算 【例2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的中线，E，F分别为，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【变式2-1】如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【变式2-2】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【题型三】三角形的内角和定理及外角性质 【例3】（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图， ． 【变式3-1】规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做该等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在中，为边上的高，若，则的度数为 ． 【变式3-3】如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【题型四】命题与证明 【例4】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）下列四个命题，其中真命题的个数是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】判断命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的逆命题的真假，并说明理由． 【变式4-2】如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　　　　，结论是　　　　（填写序号）； (2)证明上述命题． 【变式4-3】定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【题型五】全等三角形的定义及性质 【例5】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【变式5-1】如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点，．若，，求的面积． 【变式5-2】在数学活动“用全等三角形证明拼图猜想”中，小明同学剪了一组全等的钝角三角形，并拼在一起后如图． (1)观察可以发现，___________ (2)连接，可以发现与有什么位置关系？请证明你的猜想． 【变式5-3】已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【题型六】灵活使用判定方法证全等 【例6】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【变式6-1】如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【变式6-2】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式6-3】如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 【题型七】全等三角形的辅助线问题 【例7】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【变式7-1】（1）如图1，，点 M，N 分别在上，且，连接交于点 D，求证：； （2）如图2，在中， 于点 M，点 N 在上，且，求证：； （3）如图3，在中，点E 在边上，点 F 在线段上，且，连接．求证：． 【变式7-2】【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【变式7-3】（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【题型八】尺规作图 【例8】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线； ②以点为圆心，以为半径画弧交于点； ③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ④过点作射线，即为所求作的角； ⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点． 则下列排序正确的是（　 　） A．①③②④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【变式8-2】如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 ． 【变式8-3】尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，已知线段和线段，延长线段到点，使； (2)如图②，已知，求作，使． 【题型九】等腰三角形的性质与判定 【例9】（25-26八年级上·安徽六安·期末）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， (1)如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． (3)如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【变式9-1】如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-2】在中，，平分交边于点，，则 °． 【变式9-3】“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形．如图，，，， (1)如图①求证：； (2)如图②，当时，取的中点，的中点，判断的形状并给出证明． 【题型十】等边三角形的性质与判定 【例10】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若交的延长线于点，求证：； (3)如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值． 【变式10-1】如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为 ． 【变式10-2】如图，在中，，现将绕点A顺时针旋转，得到，连接．若，则 ． 【变式10-3】如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． 【题型十一】线段垂直平分线的性质与判定 【例11】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【变式11-1】如图，，，连接，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．四边形的面积为 【变式11-2】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，．求的度数． 【变式11-3】如图， 在中，， 分别以点A 和点B为圆心， 大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N， 作直线， 分别交于点D、点 E， 连接． (1)若的周长是，， 求的长； (2)若， 求的度数． 【题型一】混淆三边关系 1.忽略"两边之和大于第三边"的隐含条件（如已知两边求第三边范围） 2.误用不等式方向导致范围错误 典型题型： 给出两条边长为5cm和8cm，求第三边x的取值范围（正确答案：3<x<13） 判断三条线段能否组成三角形（需验证任意两边和>第三边） 【例1】如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（   ） A．11米 B．15.8米 C．26米 D．米 【变式1-1】若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【变式1-2】已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为 ． 【变式1-3】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【题型二】忽略分类讨论 混淆性质和判定条件 典型题型： 等腰三角形周长计算（需考虑腰>底边） 证明等边三角形的多条件问题 【例2】已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为 ． 【变式2-1】如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【变式2-2】已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 【变式2-3】如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为 ． 学科网（北京）股份有限公1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $