专题01 因式分解（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题01 因式分解 题型1 因式分解的概念解析 题型5 实数范围内分解因式 题型2 提公因式法分解因式 题型6十字相乘法（难点） 题型3 公式法分解因式（重点） 题型7 分组分解法（难点） 题型4综合提公因式和公式法分解因式（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 因式分解的概念解析（共3小题） 1.（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级上·云南保山·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为 ． 题型二 提公因式法分解因式（共4小题） 4.（24-25八年级下·陕西汉中·期末）多项式的公因式是（   ） A．m B． C．n D．9 5.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）多项式的公因式是 ． 7．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）因式分解：． 题型三 公式法分解因式（共3小题） 8.（24-25七年级下·浙江·期末）因式分解： (1)． (2)． 9.（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 10．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 用配方法因式分解：． 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________． (2)用配方法因式分解：． 题型四 综合提公因式和公式法分解因式（共7小题） 11．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 12.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 13．（24-25八年级上·四川眉山·期末）因式分解： ． 14．（2025·黑龙江·一模）把多项式分解因式的结果是 ． 15．（2025·江苏·一模）分解因式： ． 16．（24-25七年级下·山东泰安·期末）将下列各式因式分解： (1) (2)． (3) (4) 17．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）因式分解 (1) (2) 题型五 实数范围内分解因式（共4小题） 18．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·上海宝山·期末）在实数范围内分解因式： ． 20．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解： ． 21．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）一元二次方程的两根为，，根据一元二次方程的解的概念，知，这样我们可以在实数范围内分解因式．根据示例，在实数范围内分解因式∶ ． 题型六 十字相乘法（共6小题） 22.（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是 ． 23．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1)． (2)． 24．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1) (2) 25．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 26．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 27．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 题型七 分组分解法（共8小题） 28.（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： ，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 29．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 30．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 31．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 32．（24-25八年级上·广东东莞·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 33．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 34．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 35．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 $专题01 因式分解 题型1 因式分解的概念解析 题型5 实数范围内分解因式 题型2 提公因式法分解因式 题型6十字相乘法（难点） 题型3 公式法分解因式（重点） 题型7 分组分解法（难点） 题型4综合提公因式和公式法分解因式（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 因式分解的概念解析（共3小题） 1.（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵因式分解是将多项式化为整式的积的形式， A．，右边是积的形式，且等式成立，故该选项正确； B．，等式不成立，且正确因式分解应为，故该选项错误； C．，是从积到多项式，是整式乘法，不是因式分解，故该选项错误； D．，右边不是积的形式，不是因式分解，故该选项错误． 故选：A． 2.（23-24八年级上·云南保山·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，原因式分解错误，不符合题意； C、，原因式分解错误，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出a和b的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∵， ∴， ， 解得：． 故答案为：3 题型二 提公因式法分解因式（共4小题） 4.（24-25八年级下·陕西汉中·期末）多项式的公因式是（   ） A．m B． C．n D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是n， 故选：C． 5.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是 【答案】 【分析】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键． 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先把原式整理得，再运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ． 题型三 公式法分解因式（共3小题） 8.（24-25七年级下·浙江·期末）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． （1）利用提取公因式法进行因式分解； （2）利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 9.（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为16 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 10．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 用配方法因式分解：． 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________． (2)用配方法因式分解：． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了完全平方式，配方法，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，即添上一个常数项为； （2）理解题意，模仿做题过程，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故是完全平方式， 即添上一个常数项为； （2）解：依题意， ． 题型四 综合提公因式和公式法分解因式（共7小题） 11．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，原式漏项，故此选项错误； D、，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误； 故选：A． 12.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，先将代数式分解因式，再根据密码手册匹配对应的字． 【详解】解： ． 根据密码手册：对应“勤”，对应“奋”，对应“自”，对应“主”， ∴密码信息为“勤奋自主”． 故选：D． 13．（24-25八年级上·四川眉山·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；解题时先提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：； 故答案为． 14．（2025·黑龙江·一模）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 15．（2025·江苏·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解. 【详解】解：原式 ； 故答案为：. 16．（24-25七年级下·山东泰安·期末）将下列各式因式分解： (1) (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用平方差公式进行分解即可； （2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （3）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）运用提公因式以及公式法分解因式即可． （2）两次运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） ． 题型五 实数范围内分解因式（共4小题） 18．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 19．（25-26八年级上·上海宝山·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式进行因式分解，解题的关键是利用求根公式求出二次三项式对应的方程的根，再根据因式分解的方法进行分解． 先将二次三项式视为关于的一元二次方程，求出其根，再根据“若的根为，则”进行因式分解． 【详解】解：对于，将其看作关于的方程， 由求根公式得： ． 则 ． 故答案为：． 21．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）一元二次方程的两根为，，根据一元二次方程的解的概念，知，这样我们可以在实数范围内分解因式．根据示例，在实数范围内分解因式∶ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、因式分解-十字相乘法及实数范围内因式分解，根据题意，求出方程的两个根即可解决问题． 【详解】解：令 ， 的根为，即，， ． 故答案为：． 题型六 十字相乘法（共6小题） 22.（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 23．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先分组，再根据提公因式法和十字相乘法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解； （2）先分组，再根据平方差公式和提公因式法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解． 【详解】（1）解：. . （2）解： 24．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先分组，然后根据提公因式法，公式法和十字相乘法因式分解，即可求解； （2）先分组，再根据提公因式法，公式法和十字相乘法因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 25．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 【答案】(1)， (2)①② 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式的几何应用，弄清阅读材料中的因式分解的结构特点是解本题的关键． （1）总面积还可以看成两边长分别为的大长方形的面积，根据面积相等求解即可． （2）仿照材料进行因式分解即可． 【详解】（1）解：总面积还可以整体表示为，可以得到的数学等式为， 故答案为：，； （2）解：①， ②． 26．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 27．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)8或 【分析】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用“十字相乘法”即可求解； （2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解； （3）先把原式整理得，再将常数3进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 题型七 分组分解法（共8小题） 28.（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： ，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 29．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解中的分组分解法，解题的关键是合理分组后提取公因式． 首先将原式变形为，然后利用分组分解法分别提公因式得到，进一步提公因式分解即可． 【详解】 ． 30．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 31．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（24-25八年级上·广东东莞·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 33．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 34．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 35．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值是 【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解； （2）先将变形为，即 ，然后再解决本题． （3）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到，最后根据非负数的性质得出的最小值． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ，都是正整数 ，且、都是整数， 或 或 或 解得或 其他两种不符合，为正整数，舍去 故：或； （3）由得代入 ， ∵， ∴， ∴的最小值是． $