专题01 因式分解计算题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期湘教版2024

学科网·上好课 www.zxxk.com 专题01因式分解计算题分 (6种类型48道) 考点归纳 考点01提取公因式法 考点02公式法综合 考点3提取公因式法和公式法综合 考点04分组分解法 考点05十字相乘法 考点06利用因式分解简便运算 考点专练 考点01提取公因式法 1.把下列多项式分解因式： (1)3a3b+9a2b2-3a2b; (2）-3x2+6y-3xz. 2.分解因式： (1)a2(x-2a2-a2a-x2: (2)36aa-b+c+12b(b-a-c 3.因式分解 (1)9x2y+3xy2 (2)2a(y-z)-3b(2-y) 4.因式分解： (1)27a"bc-9ab2c+3abc2: (2)9(a-b)(a+b)-3(a-b)2 5.把下列各式分解因式： (1)(2m+3n)(2m-n)-n(2m-n); (2)x(a-b)+y(b-a)-3(b-a). 6.分解因式： (1)12a2b-4ab; 1/8 上好每一堂课 类训练 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)a2-ab+ca-b). 7.因式分解： (1)2(a-b)2+4b-a; (2)(2x+1)(3x-2-（2x+1). 8.分解因式： (1)6a2+9a; (2)xx-3-4(3-x). 考点02公式法综合 9.分解因式：（m2-1)-6m2-1+9 10.因式分解：4x2-4xy+y2-9 11.因式分解：m4-18m2+81. 12.因式分解：(1+a2)2-4a2 13.分解因式：x4-8x2y2+16y4. 14.因式分解：（x2+1-4x2. 15.因式分解：（x2-7+47-x2)+4 16.因式分解：2xy-x2+1-y2. 考点03提取公因式法和公式法综合 17.因式分解：(x-y)3+4(y-x) 18.因式分解：2m2-4mn+2n2; 19.分解因式：2mm-4到+4+》 20.分解因式：3x2+6xy+3y2. 21.因式分解：x2y-4xy+4y. 22.因式分解：ax2+4ax+4a. 23.因式分解：mx2-8mx+16m 24.因式分解：3m2-18mn+27n2. 考点04分组分解法 25.阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很 多的多项式只用上述方法无法分解，如m2-m+2m-2n,细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公 因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 完成整个式子的因式分解了，过程为 m2-mn+2m-2n=m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n=(m-n)(m+2).将此种因式分解的方法叫做 “分组分解法”. 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)a3-4a2+3a-12; (2）m2-n2+2m-2n. 26.阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法.例如：分解因式 ax+ay+bx+by,我们可以把它分组为ax+ay)+bx+by),然后提公因式，得 a(x+y)+b(x+y)=(x+y(a+b). 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：a2-ab+ac-bc; (2)因式分解：x2-y2-2x+2y. 27.整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形，把多项式乘多项式法则反过来，将得到： ac+ad+bc+bd=ac+ad)+(bc+bd)=ac+d)+bc+d=a+b)c+d).这样该多项式就被分解为若干 个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作分组分解法. 例：x2-y2-2y-1 =x2-(y2+2y+1第一步 =x2-(y+12 第二步 =(x+y+1)(x-y-1).第三步 (1)上述求解过程中，第二步变形是利用了 (填乘法公式的名称). (2)利用上述方法将下列各式因式分解： ①y2-x2+6x-9; ②a2+2ab+ac+bc+b2. 28.常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述方法的其中一种无法分解.如 x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部 分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式子的因式分解.具体过程如下： x2-4y2-2x+4y=x2-4y2)-(2x-4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)x+2y-2). 像这种将一个多项式适当分组后，进行因式分解的方法叫作分组分解法. 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：9m2-4x2-4xy-y2; (2)因式分解：4a2+4a-4a2b2-b2-4ab2+1; 3/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)已知a2(b+c=b2(a+c=2025,且a≠b,求abc的值. 29.阅读材料1：对于某些二次三项式ax2+bx+c,我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进 行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”. 例如：x2-4x-5=x2-4x+4）-9=(x-2)-32=(x+1)(x-5) 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分 别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分 组分解法” 例如：ax+bx+ay+by=(ax+bx+(ay+by)=xa+b+ya+b=a+b)x+y) 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式：x2-x-12 (2)用“分组分解法"分解因式：a2-b2+2b-1 30.阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以 简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是 换元法， 对于(x2+5x+2x2+5x+3-12. 解法一：设x2+5x=y,则原式=y+2)(y+3)-12=y2+5y-6 =(y+6)(y-1=x2+5x+6)(x2+5x-1=(x+2)(x+3)(x2+5x-1: 解法二：设x2+2=m,5x=n,则原式=(m+n(m+n+1)-12=(m+n+(m+n-12 =(m+n+4)(m+n-3)=(x2+5x+6)(x2+5x-1=(x+2)(x+3)(x2+5x-1). 【材料二】将2a-3ab-4+6b因式分解， 解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b)=a2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2); 解法二：原式=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3ba-2)=(a-2)(2-3b 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式 法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：（x2-4x+1x2-4x+7+9; (2因式分解：(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1); 31.先阅读下面的材料，再分解因式. 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a,再把它的后两项分成一 组，并提出b,从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n). 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 这时，由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式m+n,于是可提公因式m+n,从而得到(m+n)(a+b),因此有 am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b),这种因式分解的方法叫做分组分解法。 如果把一个多项式中的各项进行分组并提出公因式后，还有公因式，那么这个多项式就可以利用分组分解 法来因式分解， 请用上面材料中提供的方法因式分解： (1)cb-ac+ba-b2; (2)m2-mn+my-ny (3)x2y2-4x2y-4y+16. 32.将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的 分组分解法有四种形式，即“2+2”分法，“3+1”分法，“3+2”分法及“3+3”分法 “2+2"分法如：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b). 请你仿照以上方法，分解因式： (1)9m2-4x2+4xy-y2. (2)4a2+4a-4a2b2-b2-4ab2+1 考点05十字相乘法 33.用十字相乘法把下列各式因式分解： (1)x2-5x-6; (2）2x2-2x-12. 34.【阅读理解】由多项式乘法：（x+p)(x+q)=x2+(p+qx+pq,将该式从右到左使用，即可得到“十字 相乘法“进行因式分解的公式：x2+(p+q)x+pg=（x+p)(x+q,示例：分解因式： x2+5x+6=x2+2+3x+2×3=x+2)(x+3. 【问题解决】分解因式： (1)x2+5x+4= (2)x2-6x+8= (3)x2+2x-3= (4)x2-6x-27= 35.在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”. 如分解二次三项式2x2+5x-7时，具体步骤如下： ①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2=2×1，把常数项-7也分解为两个因数的积，即 -7=-1×7; ②按下面图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即 2×-1+1×7=5; 5/8 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③这样，就可以按图示中虚线所指，对2x2+5x-7进行因式分解了，即2x2+5x-7=(2x+7)(x-1). --7 ---1 请你仔细体会上述方法，并利用此法解以下方程： (1)x2+4x+3=0. (2)2x2+3x-20=0. 36.【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务. 分解因式2x2-x-6,我们可以按下面的方法解答. ①竖分二次项与常数项：2x2=2x·x,-6=3×(-2), 2x -3 ②交叉相乘，验中项： →2x(-2)+3x=-x ③横向写出两因式：(2x+3),(x-2), :2x2-x-6=(2x+3)x-2).我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法. 【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式： (1)x2+6x+5; (2）2x2+3x+1; (3)6x2-5x-6. 37.阅读理解：用“十字相乘法"因式分解：2x2-x-3, (1)二次项系数：2=1×2； (2)常数项：-3=(-1×3=1×-3)； (3)验算：“交叉相乘之和” ② ③ ④ 发现第③个“交叉相乘之和”1×(-3)+2×1=-1，与一次项系数-1相等，则2x2-x-3=(x+1)(2x-3). 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“字相乘法” 仿照以上方法，因式分解： (1)x2-10x+9 (2）2x2-x-10 38.阅读下列材料： 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35=(-5)×(+7). -5 ②交叉相乘，验中项：<→7x-5x=2x. x+7 ③横向写出两因式：x2+2x-35=x+7)(x-5). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法， 试用上述方法分解因式： (1)x2+5x+4; (2)x2-6x-7; (3)2x2+x-6. 39.十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在 十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）.如：将式子 x2+3x+2和2x2+x-3分解因式，如图，x2+3x+2=(x+1)(x+2);2x2+x-3=(x-1(2x+3. 1?+1?=3 -1?+1?=1 -3 1(-3)4 请你仿照以上方法，探索解决下列问题： (1)分解因式：y2-4y+3: (2)分解因式：3x2-2x-1. 40.某些形如ax+bx+c的二次三项式可利用十字相乘法分解因式.十字相乘法：先分解二次项系数，分 别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉 相乘，求代数和，使其等于一次项系数.如：将式子x2+3x+2和2x2+x-3分解因式，如图， x2+3x+2=x+1)(x+2);2x2+x-3=(x-1)(2x+3. XX 1×2+1×1=3 -1×2+1×3=1 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)x2+5x+6; 7/8 学科网·上好课 www zxxk com (2)2x2-7x+3. 考点06利用因式分解简便运算 41.简便运算：992+202×99+1012. 42.简便计算：22+44×18+182-393×40} 4 4 43.简便计算：20262-2022×2030 44.利用因式分解简化运算： (1)2025+20252-2025×2026; (2）56.2×2026-462×202.6. 45.利用因式分解简便计算： (1)29×20.25+72×20.25-20.25. (2)22025-6×22024+4×22023+8×22022 46. 简便计算 (1)1.992+1.99×0.01 (2)2552-45 47.用简便方法计算： (1)2562-1562; (2）20×11.52-40×11.5×9.5+20×9.52. 48.利用公式简便运算： (1)20252-2024×2026; (2)20.32+20.3×19.4+9.72. 8/8 系一每丁 专题01 因式分解计算题分类训练 （6种类型48道） 考点01 提取公因式法 考点02 公式法综合 考点03 提取公因式法和公式法综合 考点04 分组分解法 考点05 十字相乘法 考点06 利用因式分解简便运算 考点01 提取公因式法 1．把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题的关键； （1）利用提公因式法分解因式； （2）利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将化为之后，提公因式即可； （2）将化为之后，提公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解： （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可． 【小题1】解： 【小题2】解： 4．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法因式分解； （2）利用提公因式法因式分解． 【详解】（1） ； （2） ． 5．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. （1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解答本题的关键． （1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法因式分解是解题的关键． （1）先将原式变形为，再提取公因式即可； （2）直接利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点02 公式法综合 9．分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把看做一个整体，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 10．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先由完全平方公式把前三项因式分解，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 11．因式分解：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式以及因式分解要彻底的要求是解题的关键．先利用二次三项式的因式分解方法，将原式看作关于的二次三项式进行分解，再进一步分解到最简形式，解题思路是先运用一次平方差公式或完全平方公式分解，再看能否继续分解． 【详解】解： ． 12．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 13．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 14．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决问题的关键． 先由平方差公式因式分解，再由完全平方和与完全平方公式因式分解即可得到答案． 【详解】解： ． 15．因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解： =          =                     =                        =                =． 16．因式分解：． 【答案】 【分析】先对式子进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了因式分解的分组分解法、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 考点03 提取公因式法和公式法综合 17．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 18．因式分解：； 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ． 19．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并正确求解是解答的关键． 先去括号，然后合并同类项，再提取公因式和利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 20．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 21．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 22．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键．先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 23．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是掌握综合提公因式和公式法分解因式． 先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】解：原式． 24．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解等知识，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解，问题得解． 【详解】解：原式． 考点04 分组分解法 25．阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式3，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先把第一项和第二项用平方差公式分解因式，把第三项和第四项提公因式2，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 26．阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式，我们可以把它分组为，然后提公因式，得． 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法； （1）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解； （2）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形，把多项式乘多项式法则反过来，将得到：．这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作分组分解法． 例：      第一步           第二步 ． 第三步 (1)上述求解过程中，第二步变形是利用了______（填乘法公式的名称）． (2)利用上述方法将下列各式因式分解： ①； ②． 【答案】(1)完全平方公式 (2)①；② 【分析】（1）该步是完全平方和公式的运用； （2）①按题干方法即可分解因式；②分组分解因式即可：． 本题考查因式分解的方法，熟练掌握各种因式分解方法并灵活选用是解题的关键． 【详解】（1）是完全平方和公式的应用， 故答案为：完全平方公式； （2）①原式； ②原式． 28．常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述方法的其中一种无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式子的因式分解．具体过程如下： ． 像这种将一个多项式适当分组后，进行因式分解的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． （1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； （2）先分组，然后提公因式，然后利用平方差公式与完全平方公式因式分解，即可求解； （3）对进行因式分解，可得，则可得，两边同时乘以即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ，即， 两边同时乘以可得， ． 29．阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式： (2)用“分组分解法”分解因式： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法与分组分解法，因式分解； （1）根据配方法因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 30．阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键正确理解题意，注意换元法和分组分解法的正确运用． （1）解法一：，原式化为，因式分解即可；解法二：设，原式化为，因式分解即可； （2）设，原式化为，因式分解即可，注意的分组分解应用． 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 31．先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式中的各项进行分组并提出公因式后，还有公因式，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 32．将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如：． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键． （1）利用分组分解法得出，再根据公式法进行因式分解． （2）利用分组分解法得出、再根据公式法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 考点05 十字相乘法 33．用十字相乘法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解．熟悉十字相乘法进行因式分解的方法是解题的关键．二次三项式使用十字相乘法进行因式分解，即是通过寻找特定整数对，将多项式拆分为两个一次式的乘积的形式． （1）采用十字相乘法：寻找两个数，使其乘积为，和为．满足条件的数是和（因为，）． （2）先提取公因式：，再对用十字相乘法: 寻找两个数，乘积为，和为．满足条件的数是和(因为，)． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ． 34．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 35．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”． 如分解二次三项式时，具体步骤如下： ①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即； ②按下面图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即； ③这样，就可以按图示中虚线所指，对进行因式分解了，即． 请你仔细体会上述方法，并利用此法解以下方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了用十字相乘法进行因式分解，正确分解常数项是解题的关键． （1）将常数项分解为和，进而因式分解得出答案； （2）将常数项分解为和，进而因式分解得出答案； 【详解】解：（1）， 或， ，． （2）， 或， ，． 36．【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 分解因式，我们可以按下面的方法解答． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：，． ．我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法． 【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 37．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． （1）根据题意利用十字相乘解题即可； （2）根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】（1）解：： 二次项系数，常数项． 验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以； （2）解：： 二次项系数， 常数项，验算交叉相乘之和：，不符合； 再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以． 38．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 39．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．如：将式子和分解因式，如图，；． (1)分解因式： ； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图， ∴； （2）解：如图， ∴． 40．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 考点06 利用因式分解简便运算 41．简便运算：． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 42．简便计算： 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 43．简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 44．利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)20260 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 45．利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）利用提公因式法因式分解后计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 46．简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简便运算，包括提取公因数以及运用平方差公式，熟练掌握因式分解是解决本题的关键． （1）先提取，再进行运算即可； （2）使用平方差公式，将化简为，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $