专题01 因式分解（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材湘教版

专题01 因式分解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 因式分解的概念与意义 能准确判断因式分解的变形过程，辨析与整式乘法的区别（辨析能力） 易错点：混淆因式分解与整式乘法的逆运算关系（如将当作分解结果） 2. 提公因式法 能快速找出多项式各项的公因式，并正确提取（操作能力） 高频考点：含负号、系数为分数时的漏提错误（如提） 3. 公式法（平方差、完全平方） 能根据多项式特征选择合适公式分解，并验证结果（选择与验证能力） 命题趋势：结合几何图形面积验证因式分解的正确性（跨学科题型） 4. 分组分解法 能对四项及以上多项式合理分组，综合运用提公因式和公式法（综合应用能力） 易错点：分组后未继续分解到底（如未继续用平方差公式） 知识点01 因式分解的概念 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. ·示例：是因式分解，而不是。 ·易错点：忽略“乘积形式”要求，误将展开当作分解。 知识点02 提公因式法 一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法 示例：（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。 易错点：漏提“1”或负号（如）。 知识点03 提公因式法 把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 示例：；。 易错点：误用公式（如将分解为）。 题型一 因式分解的概念 解｜题｜技｜巧 判断标准：确认变形是否为“乘积形式”，且每个因式必须是多项式（如单项式×多项式不算分解）。 逆向验证：将分解结果展开，若与原式一致则正确。 易｜错｜点｜拨 混淆变形：误将整式乘法（如(x+2)(x-1)=x²+x-2）当作因式分解。 分解不彻底：如x⁴-9=(x²+3)(x²-3)未继续分解到(x²+3)(x+)(x-)（实数范围内）。 【典例1】（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 题型二 提公因式法的综合应用 解｜题｜技｜巧 找公因式：系数取最大公约数，字母取最低次幂（如-6x³y²z与9x²y⁴的公因式为3x²y²）。 处理负号：若首项为负，先提取-1（如-2a²+4a=-2a(a-2)）。 检查漏项：提取后括号内项数与原式一致。 易｜错｜点｜拨 漏提系数：如4x²y-6xy²=2xy(2x-3y)误写为xy(4x-6y)。 忽略“1”：如x²y+xy²=xy(x+y)漏提xy后的1。 【典例1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）分解因式： ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： 【变式2】（24-25八年级下·河南·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·新疆·期末）【阅读与思考】用求差法比较大小 两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【探究与实践】 (1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，，那么（或）． (2)制作某产品有两种用料方案． 方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板． 已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 题型三 公式法的应用 易｜错｜点｜拨 用公式：如x²+y²错误分解为(x+y)²（忽略2xy项）。 【典例1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了一道题目：，下面是小舒同学因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式（分成两组）...............第一步 ..............第二步 ..............第三步 ................第四步 任务一： （1）以上解题过程中，从第一步到第二步是利用 公式进行变形的； （2）请你用含a，b的式子写出从第二步第三步变形运用的公式 ； 任务二： 类比小舒的解题方法，因式分解． 【变式2】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）因式分解： (1) (2) 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃甘南·中考真题）分解因式： ． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）因式分解： ． 5．（24-25七年级下·北京顺义·期末）已知，求代数式的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 3．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则 ． 4．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数） ． 5．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且都等于10，那么称为“合十数”，例如：，因为，则2738是“合十数”，则最大的“合十数”是 ；将“合十数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，记，若是完全平方数，则满足条件的最小“合十数”为 ． 2．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则 ；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是 ． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期末）已知实数m、、满足：． (1)若，，求的值； (2)若m、、为正整数，求符合条件的有序实数对的个数． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）整数的简单构成，若干世纪以来一直是数学获得新生的源泉——伯克霍夫 请解答下列整数问题： (1)写出满足的一对正整数m和n的值：________． (2)是否存在正整数m和n，使得，若存在，求出满足条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． (3)一个长方体的所有棱长都是整数，记长方体的所有棱长值之和为l，所有各面的面积值之和为s，体积的值为v，已知，则所有可能的v的值是________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 因式分解的概念与意义 能准确判断因式分解的变形过程，辨析与整式乘法的区别（辨析能力） 易错点：混淆因式分解与整式乘法的逆运算关系（如将当作分解结果） 2. 提公因式法 能快速找出多项式各项的公因式，并正确提取（操作能力） 高频考点：含负号、系数为分数时的漏提错误（如提） 3. 公式法（平方差、完全平方） 能根据多项式特征选择合适公式分解，并验证结果（选择与验证能力） 命题趋势：结合几何图形面积验证因式分解的正确性（跨学科题型） 4. 分组分解法 能对四项及以上多项式合理分组，综合运用提公因式和公式法（综合应用能力） 易错点：分组后未继续分解到底（如未继续用平方差公式） 知识点01 因式分解的概念 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. ·示例：是因式分解，而不是。 ·易错点：忽略“乘积形式”要求，误将展开当作分解。 知识点02 提公因式法 一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法 示例：（系数取最大公约数，字母取最低次幂）。 易错点：漏提“1”或负号（如）。 知识点03 提公因式法 把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 示例：；。 易错点：误用公式（如将分解为）。 题型一 因式分解的概念 解｜题｜技｜巧 判断标准：确认变形是否为“乘积形式”，且每个因式必须是多项式（如单项式×多项式不算分解）。 逆向验证：将分解结果展开，若与原式一致则正确。 易｜错｜点｜拨 混淆变形：误将整式乘法（如(x+2)(x-1)=x²+x-2）当作因式分解。 分解不彻底：如x⁴-9=(x²+3)(x²-3)未继续分解到(x²+3)(x+)(x-)（实数范围内）。 【典例1】（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念，需理解因式分解是将多项式化为整式乘积的变形． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A右边不是乘积形式；选项B左边是单项式，且变形不是因式分解；选项C是整式乘法；选项D符合因式分解定义． 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：左边是单项式，右边是积，变形不是因式分解（因式分解针对多项式）； 选项C：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项D：左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； B．等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； C．等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； D．等式右边是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确． 故选D． 题型二 提公因式法的综合应用 解｜题｜技｜巧 找公因式：系数取最大公约数，字母取最低次幂（如-6x³y²z与9x²y⁴的公因式为3x²y²）。 处理负号：若首项为负，先提取-1（如-2a²+4a=-2a(a-2)）。 检查漏项：提取后括号内项数与原式一致。 易｜错｜点｜拨 漏提系数：如4x²y-6xy²=2xy(2x-3y)误写为xy(4x-6y)。 忽略“1”：如x²y+xy²=xy(x+y)漏提xy后的1。 【典例1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查因式分解，通过提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，提取公因式即可． 【详解】解：． 【变式2】（24-25八年级下·河南·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究、分解因式，理解题意是解题的关键． （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为，理由如下： 等式左边 等式右边， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·新疆·期末）【阅读与思考】用求差法比较大小 两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【探究与实践】 (1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，，那么（或）． (2)制作某产品有两种用料方案． 方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板． 已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)证明见解析 (2)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查了整式的加减运算，因式分解的含义，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． （1）先作差可得，，再结合条件进一步证明即可． （2）设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 利用作差法进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 方案一所用钢板的面积为， 方案二所用钢板的面积为， ， ， ∴， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 题型三 公式法的应用 易｜错｜点｜拨 用公式：如x²+y²错误分解为(x+y)²（忽略2xy项）。 【典例1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解因式即可； （2）把配方，根据非负数的性质得到，的值，根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ，， ，， ， 边的取值范围为． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了一道题目：，下面是小舒同学因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式（分成两组）...............第一步 ..............第二步 ..............第三步 ................第四步 任务一： （1）以上解题过程中，从第一步到第二步是利用 公式进行变形的； （2）请你用含a，b的式子写出从第二步第三步变形运用的公式 ； 任务二： 类比小舒的解题方法，因式分解． 【答案】任务一：（1）完全平方；（2）；任务二：． 【分析】本题考查了因式分解中的分组分解法以及完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是合理分组，将多项式转化为可以运用公式分解的形式． （1）观察式子变形，识别出完全平方公式的应用． （2）根据第二步到第三步的变形，写出平方差公式的一般形式． 先将多项式合理分组，使其中一组能构成完全平方形式，再运用平方差公式完成因式分解． 【详解】任务一：（1）从第一步到第二步，将转化为，是利用完全平方公式进行变形的，即． （2）从第二步到第三步，将转化为，运用的是平方差公式，用含a，b的式子表示为． 任务二：类比小舒的解题方法，因式分解如下： 【变式2】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）利用提公因式法即可解答； （2）先根据平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、，属于整式的乘法运算，故本选项不符合题意； B、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； D、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．将第二项中的转化为，然后提取公因式，再对提取公因式即可． 【详解】解： ， 故选：D． 3．（2025·甘肃甘南·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式和平方差公式因式分解是解题的关键． 先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练应用提取公因式和平方差公式是解题的关键．先提取公因数，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·北京顺义·期末）已知，求代数式的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的混合运算及代数式求值，熟记乘法公式并正确化简是解答的关键．先根据乘法公式化简所求代数式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，代数式求值，负整数指数幂，根据题意可得，再利用多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的代数式分解因式得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 3．（24-25八年级下·全国·期末）若实数，，，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可． 【详解】解：∵， ∴可得：， 整理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数） ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 【答案】（1）；（2）；；；（3） 【分析】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解． （1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式； （3）根据（2）中公式直接因式分解即可； 【详解】解：（1）根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式， （2）如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：； （3）根据（2）中结论可得． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且都等于10，那么称为“合十数”，例如：，因为，则2738是“合十数”，则最大的“合十数”是 ；将“合十数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，记，若是完全平方数，则满足条件的最小“合十数”为 ． 【答案】 9911 1919 【分析】本题是一道新定义类型题，主要涉及考查因式分解的应用，准确理解“合十数”的定义是本题的关键．求解最大的“合十数”，要使四位数最大，尽可能使千位数字最大，根据“合十数”的定义，确定其他位上的数字；求解满足条件的最小“合十数”，根据题意，将“合十数” 的千位与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，计算 ，并使其为完全平方数，通过代数式表示和，化简的表达式，分析的表达式，找到满足条件的最小“合十数” ． 【详解】解：是一个“合十数”， ，， 最大的“合十数”是9911； ， ， ， ，， ， 要使为完全平方数，则需为完全平方数， ，， ， 只能取0或1或4， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 满足题意最小为1919， 故答案为：9911；1919． 2．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则 ；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是 ． 【答案】 6 9682 【分析】本题主要考查因式分解及完全平方公式，熟练掌握因式分解及完全平方数是解题的关键；由题意易得，，然后可得的值，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵是一个“平分秋色数”， ∴， ∵， ∴， ∵n为完全平方数，且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵，且b、d互不相等， ∴， ∵为整数， ∴，或，， 当，时，解得：，，此时，，，，； 当，时，解得：，，此时，，，； 综上所述，最大的 故答案为6；9682． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期末）已知实数m、、满足：． (1)若，，求的值； (2)若m、、为正整数，求符合条件的有序实数对的个数． 【答案】(1)； (2)7． 【分析】本题考查了整式的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题． （1）把代入求值即可； （2）由题意知：，均为整数，，，，，则，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：； （2）解：当m、、为正整数时， ，均为整数，，，，， 而， ∴或或， ∴或或， 当时，时，；时，， 故为，共2个； 当时，时，；时，，时， 故为，共3个； 当时，时，；时，， 故为，共2个； 综上所述：共有个． 故答案为：7． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）整数的简单构成，若干世纪以来一直是数学获得新生的源泉——伯克霍夫 请解答下列整数问题： (1)写出满足的一对正整数m和n的值：________． (2)是否存在正整数m和n，使得，若存在，求出满足条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． (3)一个长方体的所有棱长都是整数，记长方体的所有棱长值之和为l，所有各面的面积值之和为s，体积的值为v，已知，则所有可能的v的值是________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)存在，，， (3)40，76，80，84，140 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键是灵活运用因式分解解决问题． （1）先将原式因式分解为，再根据为正整数，得到，写出符合题意的值即可； （2）将原式因式分解为，再枚举得到3组二元一次方程组，再分别求解即可； （3）设长方体的长、宽、高为a，b，c， ，由题意得：，由于，则，而，故得到，再枚举求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为正整数， ∴ ∴的值可以为： 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：存在， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或或， 解得： ，，； （3）解：设长方体的长、宽、高为a，b，c， ， 由题意得： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或， 分别解得：或或或或， ∴或76或80或84或140． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $