专题06 一次函数（期末复习讲义，必备知识+21大题型精讲+分层过关）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学一次函数期末复习讲义通过表格化知识模块与分层知识点梳理构建复习体系，涵盖函数与变量、一次函数定义与性质等6大模块，用表格明确核心考点、复习目标及考情规律，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型+技巧+变式”三阶训练模式，每个题型配备解题技巧如函数概念辨析的“竖线检验法”，结合典例与变式题培养数学思维与运算能力，实际应用题（如营销方案、行程问题）强化模型意识，分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

专题06 一次函数（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 函数与变量 1. 常量与变量：在变化过程中数值（不）变化的量。 2. 函数概念：在某一变化过程中，两个变量间的对应关系，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值与之对应。 1. 能辨别实际问题中的常量与变量。 2. 能判断两个变量间是否存在函数关系，并能用解析法、列表法、图象法表示简单函数。 基础必考，多在选择题、填空题中出现。考查对函数本质（一对一或多对一的对应） 的理解，而非死记定义。 2. 一次函数定义与图象 1. 定义：形如 y = kx + b (k, b为常数，k ≠ 0)，当b = 0时，为正比例函数y = kx。 2. 图象画法：一条直线，两点确定（常取与坐标轴的交点）。 3. 系数意义：k决定增减性与倾斜度；b决定与y轴交点(0, b)。 1. 能根据定义识别一次函数及正比例函数。 2. 能熟练画出一次函数的草图，并说出k, b对图象的影响。 3. 会根据k, b符号判断图象经过的象限。 核心高频考点。考查方式多样：①识别解析式；②根据k, b符号判断图象位置（选择题高频）；③根据两点坐标求解析式（待定系数法基础）。 3. 一次函数的性质 1. 增减性：k > 0时，y随x增大而增大（直线上升）；k < 0时，y随x增大而减小（直线下降）。 2. 倾斜程度： k越大，直线越陡。 1. 能复述一次函数的增减性。 2. 能应用性质比较函数值大小、判断图象变化趋势。常与图象结合考查。 解答题中，利用增减性比较不同点的函数值大小是常见问法。性质是分析函数的基础工具。 4. 待定系数法求解析式 给定两组x, y的对应值（或两个点的坐标），通过解关于k, b的二元一次方程组，求出函数解析式。 掌握待定系数法求一次函数解析式的完整步骤，并能准确计算。 解答题核心考点，几乎是求解析式问题的唯一通法。步骤规范性（设、代、解、写）和计算准确性是得分关键。 5. 一次函数与方程/不等式 1. 与一元一次方程：从“数”看，解方程kx+b=0；从“形”看，求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式：解kx+b>0，即找图象在x轴上方部分对应的x范围。 1. 理解一次函数与方程、不等式的内在联系。 2. 会利用函数图象直观求解方程与不等式。 数形结合思想的重要体现，常在中档解答题中考查。要求能将方程/不等式问题转化为函数图象的交点或位置问题进行求解。 6. 一次函数的实际应用 1. 行程、工程、利润等经典应用题建模。 2. 方案选择与决策问题：常需比较两个一次函数在不同区间的函数值大小。 3. 分段函数（如出租车计费、阶梯水电费）。 1. 能从文字、表格、图象中提取信息，建立一次函数模型y=kx+b。 2. 会利用函数性质解决最值、方案选择等实际问题。 本章难点与压轴题方向。考查数学建模和应用能力。解题关键：①准确找到k, b的实际意义；②注意自变量x的实际取值范围；③分段函数需分段讨论。 知识点01函数及其图象 1、概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么称x为自变量，y是x的函数 2、表示方法：解析式法，图象法，列表法 3、画函数图象的一般步骤：列表，描点，连线 4、自变量的取值范围 注：在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义 知识点02一次函数的概念 一般地，函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，函数y＝kx(k为常数，且k≠0)叫做正比例函数，常数k叫做比例系数． 知识点03一次函数的图象与性质 表达式 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 增减性 k＞0 k＜0 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 b的值 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 与y轴交 点位置 y轴正半轴 原点 y轴负半轴 y轴正半轴 原点 y轴负半轴 图象 经过象限 一二三 一三 一三四 一二四 二四 二三四 与坐标轴交点 与x轴的交点坐标为(－，0)(即令y＝0)，与y轴的交点坐标为(0，b) (即令x＝0) 知识点04待定系数法 【步骤】一设：设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0) 二列：找出函数图象上的两个点，代入y＝kx＋b中，得到二元一次方程组 三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值 四还原：将所求待定系数k，b的值代入y＝kx＋b中即可 知识点05一次函数图象的平移 将直线y＝kx＋b(k≠0)平移m(m＞0)个单位长度： ①向左平移，得y1＝k(x＋m)＋b ②向右平移，得y2＝k(x－m)＋b ③向上平移，得y3＝kx＋b＋m ④向下平移，得y4＝kx＋b－m 题型一、函数概念的辨析 解｜题｜技｜巧 紧扣定义核心：对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应。判断时，检查是否满足“一对一”或“多对一”，若出现“一对多”则不是函数。图象可用竖线检验法：任一与y轴平行的直线与图象至多一个交点。 【典例1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）下列图像中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； C、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； D、对于自变量x的一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系的判断． 函数的定义：对于自变量每一个取值，因变量有唯一值与之对应． 函数关系要求每个自变量值对应唯一因变量值．A、B、C均符合此定义，D中数学成绩与物理成绩可能不满足唯一对应． 【详解】解：选项A：正方形周长C与边长a的关系为，对于每个a，C唯一确定，是函数关系； 选项B：在弹性限度内，弹簧长度l与质量m的关系为（k为常数），对于每个m，l唯一确定，是函数关系； 选项C：匀速行驶时，路程s与时间t的关系为（v为常数），对于每个t，s唯一确定，是函数关系； 选项D：数学成绩与物理成绩之间，可能存在多个物理成绩对应同一数学成绩，或反之，不满足唯一性，故不一定是函数关系； ∴不一定是函数关系的是D． 故选：D． 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量、因变量分别是（     ） A．热水器里水的温度、所晒时间 B．热水器里水的温度、太阳光强弱 C．所晒时间、热水器的容积 D．所晒时间、热水器里水的温度 【答案】D 【分析】本题考查的是函数的概念，根据函数的定义，自变量是主动变化的量，因变量是随之变化的量．题目中水温的变化是由所晒时间的长短引起的，因此时间为自变量，水温为因变量． 【详解】解：在太阳能热水器加热过程中，水的温度随着所晒时间的增加而变化． 根据函数关系，所晒时间（自变量）是主动变化的量，水的温度（因变量）受时间影响而变化． 选项中只有D正确指出自变量为所晒时间，因变量为水温． 其他选项混淆了变量关系或引入无关量（如太阳光强弱、热水器容积），均不符合题意． 故选D． 题型二、确定自变量取值范围 解｜题｜技｜巧 考虑两方面：1. 代数式本身有意义（如分母不为零、偶次根号下非负）；2. 实际问题有意义（如人数为正整数、时间非负等）。最终取值范围是两类条件的交集，需用不等式或不等式组表示。 【典例2】（24-25八年级下·重庆万州·期中）对于函数，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．根据分母不为0，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：A． 【变式1】（23-24九年级上·山东泰安·月考）在函数中自变量x取值范围是（　　　）　 A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，涉及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识；根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为零，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，解得：． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)为任意实数 (2) (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键． （1）根据整式的定义解答； （2）根据分式的分母不为零得到答案； （3）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】（1）解：函数表达式右边是整式，所以的取值范围为任意实数； （2）解：根据分式有意义的条件，分母不为0，故的取值范围为； （3）解：由得，的取值范围为． 题型三、列函数关系式 解｜题｜技｜巧 仔细审题，识别变量与常量。将实际问题中的语言描述转化为数学等式，明确谁是自变量，谁是因变量。常见模型有：总量=单位量×数量、路程=速度×时间等。关键是找到不变量和等量关系。 【典例3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋黄伯思设计．《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式如图所示，一共有七张长方形桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．若设桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列函数关系式，解题的关键是理解题意．设每张桌面的宽为x，则“回文”中的大长方形的宽为，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为，再根据面积公式列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：若设每张桌面的宽为x，则“回文”中的大长方形的宽为，由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为， ， 故选：A． 【变式1】（24-25六年级下·山东淄博·月考）研究表明，温度会随距离地面的高度变化，小明绘制了下面的表格： 距离地面高度/千米 0 1 2 3 4 5 温度/ 20 14 8 2 -4 -10 (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？ (3)你知道距离地面4千米的高空温度是多少摄氏度吗？ (4)你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少摄氏度吗？ 【答案】(1)高度和温度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量 (2)随着h的增加，在减小 (3) (4) 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，熟练掌握自变量和因变量的概念是解题关键． （1）根据自变量、因变量的定义解答即可； （2）根据表中数据解答即可； （3）根据表中数据解答即可； （4）根据表中数据得出高度每增加1千米，温度下降，即可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：距离地面高度是自变量，温度是因变量． （2）解：由表可知：随着h的增加，在减小． （3）解：由表可知：距离地面4千米的高空温度是． （4）解：从表格中可以看出，高度每增加1千米，温度下降， 距离地面6千米的高空的温度是． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米、高12厘米．设这个楼梯的竖直高度为a厘米，侧面宽度为b厘米． (1)写出b与m之间的关系式； (2)写出a与m之间的关系式； (3)写出a与b之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查函数关系式的应用，根据已知条件列出关系式是解题的关键． （1）一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米，根据整个楼梯的宽度等于每个台阶的宽度与台阶数的乘积，列出关系式即可； （2）根据整个楼梯的高度等于每个台阶的高度与台阶数的乘积，列出关系式即可； （3）由（1）和（2）中的关系式，消去，得到a与b之间的关系式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米， 则这个楼梯侧面宽度为， 答：b与m之间的关系式为：； （2）解；根据题意得，一个楼梯有m个台阶，每个台阶高12厘米， 则这个楼梯竖直高度为， 答：a与m之间的关系式为：； （3）解：由（1）和（2）可知，、， 则，即， 答：a与b之间的关系式为． 【变式3】（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图所示，两个相同的等腰直角三角板，将一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线，于D，E两点． (1)求证：； (2)若D，E两点分别在线段和上移动，若的长为a，的面积为y，且时，求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等的性质和判定、等腰三角形的性质与判定，函数解析式求解，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，证明，即可解答． （2）由（1）知，，则，由题意可知，是等腰直角三角形，，表示出，，根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 是等腰直角三角形， ，， P是中点， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， 由题意可知，是等腰直角三角形，， ， ， ， 即， 所以y与x之间的函数关系式为：． 题型四、求自变量、函数值 解｜题｜技｜巧 本质是解方程。1. 已知x求y：将x值直接代入解析式计算。2. 已知y求x：将y值代入解析式，解关于x的一元一次方程。计算时注意运算顺序和符号。 【典例4】（25-26八年级上·广东梅州·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数关系式，熟练运用性质是解题的关键； 自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A、将代入函数得，，即函数值减少2，符合题意； B、将代入函数得，，即函数值增加2，不符合题意； C、将代入函数得，，即函数值减少1，不符合题意； D、将代入函数得，，即函数值的变化量为，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值．把，，代入计算即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴ ， 即在点燃后的时，离地面的高度为． 故选：A 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）材料：我国墨脱水电站选址于世界水能最富集的雅鲁藏布江大峡谷段，年发电量约亿，相当于三个三峡水电站，是我国又一个超级工程． 探究学习：小亮通过查阅资料知道以下信息：墨脱水电站的某小型引水坝内的水体可视为长方体，其底面积为．某一次注水前的水位高度为，注水时的水位高度y（单位：m）与时间x（单位：h）有下面的关系： 时间 0 1 2 3 … 水位高度 8 13 18 23 … (1)根据表中数据呈现的规律解决问题：当注水时间达到时，引水坝内的水位高度是_____________； (2)在这个问题中，_____________是变量，_____________是常量； (3)请用含x的代数式表示y； (4)已知引水坝内的水可以发电约，若引水坝内所有水的发电量记为W，请用含有x的代数式表示W，并求出当时的发电量． 【答案】(1) (2)注水时的水位高度y米与时间x小时；小型引水坝的底面积，注水前的水位高度8米，水位每小时增加的速度5米/小时 (3) (4)； 【分析】本题考查变量与常量的概念，写函数关系式，求函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据表格数据发现水位每小时增加5米，进行求解即可； （2）根据变量与常量的定义进行判断； （3）由表格数据可知，水位高度米随时间小时的变化规律为：每小时增加5米，且初始高度为8米， 据此可写出y与x的关系式； （4） 先根据底面积和水位高度求出水的体积，再根据单位体积发电量得到总发电量W关于x的表达式，最后代入求值． 【详解】（1）解： 由表格数据可知，每经过1小时，水位高度增加5米， 注水时间达到时，水位高度米． 故答案为：； （2）解：在这个问题中，注水时的水位高度y米与时间x小时是变化的量，因此它们是变量； 引水坝的底面积，水位每小时增加的速度5米/小时，初始水位为8米，是固定不变的量，因此是常量． 故答案为：注水时的水位高度y米与时间x小时；小型引水坝的底面积，注水前的水位高度8米，水位每小时增加的速度5米/小时； （3）解： 由表格数据可知，水位高度米随时间小时的变化规律为：水位高度每小时增加5米，且初始高度为8米， ∴； （4）解：引水坝内水的体积， 已知每立方米水可发电约， 则总发电量， 当时，， 答：，当时发电量为． 题型五、由函数图象确定信息 解｜题｜技｜巧 “看图说话”。直接观察图象获取：①点的坐标（如与坐标轴交点）；②变化趋势（上升/下降判断k符号）；③特定区间内y随x的变化情况；④比较函数值大小（看点的纵坐标高低）。 【典例5】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法中正确的个数有：①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公共汽车后与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与行程的计算，理解函数图象的性质，掌握行程的数量关系是关键． 根据函数的横轴与纵轴表示的意义，可判定①；根据行程的数量关系判定②；根据函数的交点可得小明与小华相遇，由行程关系可判定③；计算处小华跑步到学校的时间与小明到学校的时间比较即可判定④． 【详解】解：根据图示，小明家和学校距离1200米，故①正确； 小华乘坐公共汽车的速度是米/分，故②正确； 小华的速度是240米/分， （分钟）， 小华用了分钟达到480米处与小明相遇， 小华乘坐公共汽车后与小明相遇，故③正确； 小明先出发去学校，根据函数图象可得，时停下吃早餐，此时小华跑步去学校， 小明到学校的时间为， 当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，所用时间为（分钟）， 小华到学校的时间为， ∴他们可以同时到达学校，故④正确； 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于东大佳苑东侧的儿童乐园内，摩天轮的轮子为圆形，轮子上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度h和所用的时间t的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是________； （2）摩天轮最高点距地面_______米，摩天轮最低点距地面_______米； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度．（摩天轮距地面的最高点与最低点的差为摩天轮的直径，结果保留）． 【答案】（1），；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米 【分析】本题考查了变量、函数图象、圆的周长，读懂函数图象是解题关键． （1）根据变量的定义解答即可得； （2）根据函数图象即可得； （3）先求出摩天轮的直径，再根据运动时间可得摩天轮某个吊舱从点旋转到点所走的路径的长度等于圆的周长的，即，由此即可得． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间都是变化的， 所以在这个变化过程中，变量是，， 故答案为：，． （2）由图1可知，摩天轮最高点距地面108米，摩天轮最低点距地面3米， 故答案为：108，3． （3）由（2）可知，摩天轮最高点距地面108米，摩天轮最低点距地面3米， ∴摩天轮的直径为（米）， ∵顺时针旋转一周需要20分钟，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需4分钟， ∴（米）， 答：所走的路径的长度是米． 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下面四种说法：①加入絮凝剂的体积越大，净水率越高；②未加入絮凝剂时，净水率为0；③絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等；④加入絮凝剂的体积是时，净水率达到．错误的说法有几种（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查从折线统计图中提取、分析数据的能力，从函数的图象获取信息的能力，同时结合“变量关系（絮凝剂体积与净水率）”的实际应用，精准读取数据：注意横轴（体积）和纵轴（净水率）的对应数值，进行分析和判断即可． 【详解】解：①从图像能看到，絮凝剂体积超过后，净水率开始下降，因此加入絮凝剂的体积越大，净水率越高，该说法错误； ②未加入絮凝剂时，净水率为，非0，因此该说法错误。 ③从图像可知，絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，因此该说法错误。 ④从图像可知，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，此说法正确， ∴错误的说法是①②③，有3种， 故选：C． 题型六、画函数图象 解｜题｜技｜巧 画函数图象的通用步骤为：1. 确定定义域；2. 列表：给出自变量若干值，计算对应函数值；3. 描点：在坐标系中描出对应点；4. 连线：用平滑曲线（或直线/线段）按顺序连接各点。 【典例6】（25-26八年级上·山东济南·期中）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组的对应值； 1 表中________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究； 观察图象，当________时，的值最小，最小值为________； 若，，有一动点以每秒个单位长度的速度，从原点出发沿轴正方向运动，当时，此时用时多少秒？ 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)，；此时用时秒． 【分析】本题考查了勾股定理，函数的图象与性质，画函数图象等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格数值代入即可求解； （）根据描点，连线即可画出函数图象； （）根据（）中图象即可求解； 设，所以，，根据，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：列表： 1 描点： 连线： 如图， （3）解：观察图象，当，的值最小，最小值为， 故答案为：，； 如图， 设， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴ ∴此时用时（秒）． 【变式1】（24-25八年级下·山东德州·月考）下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： (1)补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … (2)根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； (3)根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①；②或 【分析】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键． （1）分别把、、、代入函数解析式，求出的对应值即可； （2）根据表格中、对应值，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象可直接得出结论； ②根据两函数的图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 故答案为：； （2）解：函数图象如图所示； （3）解：①由函数图象可知，函数的最小值为 ． 故答案为：； ②由函数图象可知，当时，的值为或． 故答案为：或． 【变式2】（24-25六年级下·山东东营·期末）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间（单位：）和一个座舱距离地面的高度（单位：），部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00 请解决以下问题： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系，在下面给出的图中，画出这个函数的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最低为_____，最高为_____； ②此摩天轮转盘的半径约为_____，转一圈所用时间为_____． 【答案】(1)见解析 (2)①10，90；②40，12 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息． （1）根据表格数据，在坐标系中描点，再依次连接即可； （2）①根据函数图象发现当时有最高点，当时有最低点； ②最高和最底差距即为直径，据此求解半径；根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时和从最高点到最低点用时一致，即可求此摩天轮转一圈所用时间． 【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示： （2）解：①根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高度最高为，最低高度为， 故答案为：10，90； ②转盘的直径约为， ∴转盘的半径约为， 根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时为， ∴从最高点到最低点用时也为， ∴此摩天轮转一圈所用时间为， 故答案为：40，12． 题型七、动点问题函数图象 解｜题｜技｜巧 分析动点运动过程，分段确定其与相关量的几何关系（如距离、面积），并列出各段函数解析式。最后根据每段解析式的类型（常值、一次）和自变量取值范围，在坐标系中画出对应的线段或射线。关键是抓住运动状态变化的转折点。 【典例7】（24-25七年级下·山东济南·期末）已知：如图（1），长方形中，E是边上一点，且，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（   ） ①；②；③当时，为等腰三角形；④当时， A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，由三角形面积公式求出，即可得到长，求出P在上运动的时间，从而求出a的值，求出P在上运动的时间是，即可求出b的值，，当时，由，得到，因此是等腰三角形，当时，求出，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当P在上时，的面积， ∴， ∴， ∴P在上运动的时间是， ∴，故①符合题意； ∵P在上运动的时间是， ∴，故②符合题意； 当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③符合题意； 当时，P运动的路程是， ∴， ∴，故④不符合题意． ∴正确的是①②③． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图1，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，由图象可知，当时，面积最大值为9，此时当点P运动到点C，得到， 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时，面积最大值为9， 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25六年级下·山东济南·期末）一个动点H以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点函数的图象，三角形的面积等知识点，先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算逐个判断即可，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键． 【详解】解：当点H在上时，如图所示，    ∴， ∴， ∴三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，    ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，    ∴，点H从点C到点D运动过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，    ∴，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示，    ∴，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是， 故①错误，不符合题意； 当时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴， 故②正确，符合题意； 当，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴， 故③错误，不符合题意； 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故④错误，不符合题意； 综合上所述：正确的有1个， 故选：A． 题型八、正比例函数概念的辨析 解｜题｜技｜巧 正比例函数是特殊的一次函数（b=0）。判断依据：1. 解析式可化为 y=kx (k≠0)；2. 图象是过原点的直线；3. x 与 y 的比值恒为定值k。注意与反比例函数 (xy=k) 区分。 【典例8】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数，正比例函数定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项． 【详解】A．含常数项，不是正比例函数； B．中的次数为2，不是正比例函数； C．即（），是正比例函数； D．中的次数为，不是正比例函数； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）若正比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，函数形式应为（），即自变量指数为且系数不为，据此列方程求解即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，得和， 解得和， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·月考）已知函数，当 时，是的正比例函数． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且），即常数项为零且一次项系数不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·月考）个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数是（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)销售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为 ． (2)当小勤卖出苹果150千克时，得到苹果货款多少元？ 【答案】(1) (2)当小勤卖出苹果150千克时，得到苹果货款315元 【分析】本题考查正比例函数关系式： （1）通过观察表格数据，发现售价y与卖出的苹果数量x成正比例关系，由此可解； （2）将代入（1）中关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，， 售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为：； （2）解：当时，， 即当小勤卖出苹果150千克时，得到苹果货款315元． 题型九、一次函数有关概念辨析 解｜题｜技｜巧 涉及 k、b 的作用及参数讨论。1. 根据定义 y=kx+b，k≠0 是关键；2. 已知图象位置可判断 k、b 符号；3. 已知函数增减性可定 k 符号；4. 含参数时需根据条件列方程求参数值。 【典例9】（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列y与x之间的函数关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的识别，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；根据一次函数的定义（）判断每个函数是否一定是一次函数即可． 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤，若则不是一次函数，因此不一定是一次函数； ⑥不是一次函数； ∴一定是一次函数的只有①和④，共2个； 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知函数． (1)当n为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【答案】(1)当时，函数是一次函数 (2)函数值为 【分析】本题考查了一次函数的定义，以及求函数值． （1）根据一次函数的定义得到，求出，再判断一次项系数是否为0即可； （2）求出一次函数解析式，再把代入求解函数值． 【详解】（1）解：由题意得，时，则， 此时， ∴当时，函数是一次函数； （2）解：由（1）得， ∴一次函数解析式为， 当时，． 【变式2】（23-24八年级上·广西崇左·月考）已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）设与的表达式为， 把时，代入得， 解得， ∴与的关系式为， 即； （2）∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质． 题型十、一次函数图象平移问题 解｜题｜技｜巧 掌握口诀：“左加右减，上加下减”，作用于自变量x或函数整体。例如，将 y=kx+b 向左平移m个单位得 y=k(x+m)+b；向上平移n个单位得 y=kx+b+n。所有平移可视为对原始 y=kx 图象的操作。 【典例1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，根据一次函数平移的性质，设直线的函数表达式为，代入到函数表达式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵把直线往下平移后得到直线， ∴设直线的函数表达式为， 代入点得，， 解得， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知将直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点均在一次函数的图象上，则 【答案】C 【分析】根据上加下减原则，确定一次函数的表达式，再根据一次函数的性质判断解答即可． 本题考查了一次函数的平移，一次函数的性质，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得直线向下平移3个单位，所得一次函数的表达式为：， ∵直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象， 故， 故选项A正确； 当 时，， 故图象经过点 ， 故选项B正确； 当时，， ∵， 故随增大而增大， 故时，， 故选项C错误； 由点均在一次函数的图象上， 且即， ∵， 故随增大而增大， 故 故选项D正确． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中直线的图象是由的图象平移得到的，且经过点． (1)求的表达式； (2)若点为直线上一点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得两个一次函数的相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）将点代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，一次函数：的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点， ∴经过点， ∴， 解得； ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵点在上， ∴， 解得． 题型十一、一次函数规律性探究 解｜题｜技｜巧 观察坐标与序号 n 的关系。分别探究横、纵坐标与 n 的规律，常见为等差数列（线性关系），即 x=an+b, y=cn+d，则该点所在直线（函数）解析式也可求出。也可能涉及循环或分段规律。 【典例11】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题属于规律探索的问题，熟悉等腰直角三角形的性质以及一次函数的特点是解题的关键．找出，，，…，面积之间的规律，根据规律即可求出的面积． 【详解】解：由题意得， ∴将代入， 则， ∴， ∵，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，则； ，则； ，则， ……， ，则， ∴的面积为． 故答案为：． 题型十二、一次函数增减性的判定与应用 解｜题｜技｜巧 由系数 k 直接判定：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小。应用：1. 比较函数值大小：在自变量取值范围内，利用增减性判断；2. 求最值：在区间端点处取得（需结合增减性判断）。 【典例12】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题考查一次函数的图象与性质，由于直线 的斜率为负，函数递减，且 ，因此 ，直线与 轴交于点 ，当 时 ，当 时 ；选项C中， ， 且 ，结合 ，得 ，因此 且 ，故 恒成立，其他选项均无法确定符号的正负． 【详解】∵ 为减函数，且 ， ∴ ， 对于选项A，若 ， ∵ ，∴ 且 或且， ∴或，但不能确定的正负，故选项A不符合题意； 对于选项B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若 ， ∵ ，∴ 且 ， 又 ∵ ，∴ ， ∴ ，， ∴ 恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选C． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解决本题的关键． 根据一次函数的性质可得，再根据可得，进而即可判断． 【详解】解：∵一次函数中随着的增大而减小， ∴， 又∵， ∴， ∴一次函数经过二、三、四象限， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 现将代入解析式，得到，则得到一次函数为，再根据随的增大而增大得，将选项中各点代入函数解析式，验证是否满足即可得到答案． 【详解】解：一次函数（）的图象经过点， ∴，即， 又∵随的增大而增大， ∴， 则一次函数为， A、将代入得，解得，不符合题意； B、将代入得，解得，符合题意； C、将代入得，解得，不符合题意； D 、将代入得，解得，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·北京平谷·期末）关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提． 根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可． 【详解】解：①当时，，当时，， 而一次函数，y随x的增大而减小，所以，所以①正确； ②一次函数，y随x的增大而增大， ∴当时，，因此②不正确； ③解方程组，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为， 当时，，，此时交点在第一象限，所以③不正确； ④若点点在函数的图象上，点在函数的图象上， 则， ， ∴，， 当时，，即，因此④正确． 综上所述，正确的结论有①④． 故答案为：①④ 题型十三、待定系数法求一次函数关系式 解｜题｜技｜巧 通用方法。步骤：1. 设：设解析式为 y=kx+b (k≠0)。2. 代：将已知的两组对应值（或两点坐标）代入。3. 解：解关于 k、b 的二元一次方程组。4. 写：将 k、b 值代回所设解析式。 【典例13】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解解析式是解题的关键． 设这条直线表达式为，代入点，，得到，即可求解，再对比选项求解即可． 【详解】解：设这条直线表达式为， 则 两式相减得， ∴只有D符合题意， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求该一次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题考查一次函数平行的规律：k值相等，据此得，再将点坐标代入求出函数的解析式 【详解】解：设一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴． ∴一次函数的解析式为． 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）一次函数经过点和点． (1)求这个一次函数的解析表达式； (2)将所得函数图象平移，使它经过点，求平移后直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的平移，利用平移前后一次项系数不变是解题关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用平移后解析式的值不变，进而假设出解析式求出即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点和点， ， ∴，， ∴一次函数的解析表达式为． （2）解：设平移后直线的解析式为， 把点代入，得，解得， ∴平移后直线的解析式为． 题型十四、一次函数图象的交点问题 解｜题｜技｜巧 两个一次函数图象的交点坐标，同时满足两个函数解析式。解法：联立两个解析式，构成二元一次方程组，解出的 (x, y) 即为交点坐标。几何意义：交点即两条直线的公共点。 【典例14】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是先求出一次函数的解析式，再根据解析式分析其图象特征、增减性及经过的点等．将已知点代入解析式求出、的值，得到函数表达式；再依次分析各选项的正确性． 【详解】解：∵图象过， ∴； 将代入得：，解得， ∴一次函数解析式为． A、∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； B、∵， ∴随的增大而减小，此选项不符合题意； C、当时，， ∴函数图象经过点，此选项不符合题意； D、令，则，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，不是，此选项符合题意． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）直线与直线在同一坐标系中的位置可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的解析式，要求学生会根据一次函数的解析式，分析判断函数的图象的性质． 根据题意，联立两直线的方程可得，，解得，，即两直线的交点的横坐标为，且两直线的比例系数异号，即直线的倾斜方向不一致，分析选项，可得答案． 【详解】解：根据题意，联立两直线的方程可得，， 解得，， 即两直线的交点的横坐标为， 且两直线的比例系数异号，即直线的倾斜方向不一致， 分析选项，B符合； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．的值随的增大而减小 C．它的图象与轴的交点为 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数的性质，分别计算与坐标轴的交点、判断增减性和图象所经象限． 【详解】解：一次函数为， 当时，， 与 轴交点为 ，选项错误； ， 随的增大而增大，选项错误； 当时，， 解得， 与轴交点为，选项正确； ，， 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项错误． 故选：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 题型十五、由一次函数图象确定函数性质 解｜题｜技｜巧 综合观察：1. 走向：判断 k 符号（增/减）；2. 截距：确定 b 值及与y轴交点；3. 象限：由直线经过的象限可进一步约束 k、b 符号；4. 倾斜度：粗略判断 |k| 大小。 【典例15】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：，⇔的图象在一、二、三象限；，⇔的图象经过一、三、四象限；，⇔的图象经过一、二、四象限；，⇔的图象经过二、三、四象限． 根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：一次函数的图象经过一、二、四象限， ，． ，． 函数的图象经过一、二、四象限． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：随的增大而减小；，；关于，的二元一次方程必有一个解为，；当时，．其中正确的有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可判断求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，随的增大而增大，故错误； 又∵图象与轴交于， ∴的解为，正确； 当时，图象在轴上方，，故正确； 综上可得正确，共个， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期中）一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的是（  ） ①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象与系数的关系，①观察函数图象，可得出对于一次函数来说，y随x的增大而减小；②由①的结论，利用一次函数的性质，可得出，由一次函数的图象经过第一、三、四象限，可得出，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，即一次函数的图象不经过第一象限；③观察函数图象，可得出一次函数与的图象交点的横坐标为2，将代入中，整理后可得出. 【详解】解：①观察函数图象，可知：对于一次函数来说，y随x的增大而减小，结论①正确； ②∵对于一次函数来说，y随x的增大而减小， ∴； ∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 即一次函数的图象不经过第一象限，结论②正确； ③观察函数图象，可知：一次函数与的图象交点的横坐标为2， ∴， ∴，结论③正确． 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：D． 题型十六、由函数解析式确定信息 解｜题｜技｜巧 直接分析解析式 y=kx+b：1. 指出 k、b 的值；2. 说出图象大致走向和与y轴交点；3. 可计算特定函数值；4. 可求与坐标轴交点；5. 判断点是否在图象上（代入验证）。 【典例16】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的图象与性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故此选项结论错误，不符合题意； B、当时，则，解得， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故此选项结论错误，不符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到， 即，故此选项结论正确，符合题意； D、∵， ∴函数的图象随的增大而减小， ∵， ∴，故此选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握相关知识是解题关键．分析每个选项中所过象限确定，的正负，然后与的图象对比验证是否一致． 【详解】解：A：函数的图象经过第一、三、四象限，则，，函数的图象经过第二、三、四象限，故选项A符合题意； B∶ 函数的图象经过第一、二、三象限，则，函数的图象需经过第一、三、四象限，故选项B不符合题意； C∶ 函数的图象经过第一、三、四象限，则，函数的图象需经过第二、三、四象限，故选项C不符合题意； D∶ 函数的图象经过第一、二、四象限，则，时，函数的图象需经过第一、二、三象限，故选项D不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ， ∴，故②正确； ③由图象可知：，故函数的图象不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为，故，故④正确； ⑤当时，， 当时，， ， ∴的值每增加的值增加，故⑤错误， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·山东泰安·期末）已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围； (4)当时，y有最大值8，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一元一次不等式的求解，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）根据一次函数的性质得到，然后解不等式； （2）根据一次函数的性质得到，然后解不等式组； （3）先确定解析式，再分别计算出当时，；当时，；然后根据一次函数的性质确定函数值的范围； （4）根据或两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：函数图像经过第一、二、三象限， ， 解得：； （3）， 函数解析式为：， ，y随x的增大而增大 当时，， 当时，， 当时，； （4）若，即，此时时，y取最大值8， ， 解得：， 若，即，此时时，y取最大值8， ， 解得：． 题型十七、一次函数营销问题 解｜题｜技｜巧 典型题型：求最大利润、最优方案等。关键：1. 建立函数模型：常涉及“总价=单价×数量”等关系，利润=收入-成本；2. 确定自变量（如售价、数量）的实际取值范围；3. 利用一次函数增减性在取值范围内求最值。 【典例17】（25-26九年级上·广东深圳·期中）第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． (1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，且为整数； (2)当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的最值问题，熟练掌握根据实际问题列函数表达式并利用函数性质求解是解题的关键． （1）解题思路：根据“销售量原销售量降价增加的数量”列出函数表达式，结合“定价不低于进价”确定的范围； （2）根据“利润=（售价进价降价）销售量”列出利润函数，结合二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵ 定价不低于进价，即， ∴ ， 又∵ 为非负整数， ∴ 且为整数； （2）解：； ， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112，此时定价为． ∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）在中国园艺学会樱桃分会主办的2025中国优质樱桃擂台大赛中，我县果农选送的“鲁樱金牛4-8”大樱桃样品被评定为“特级樱桃产品”，荣获“特等奖”．某商贸公司经销甲、乙两个品种的樱桃，甲种樱桃进价为16元/斤；乙品种樱桃的进货总金额y（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种樱桃的售价分别为20元/斤和25元/斤．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的樱桃共1000斤，其中乙品种的收购量不低于300斤，且不高于600斤． (1)已知，，求关于的函数表达式． (2)若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的樱桃能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的樱桃所获总利润为w元（利润=销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)，最大利润元，进货方案：甲400斤，乙600斤 【分析】本题考查了一次函数的性质，分段函数． （1）由图可知，关于的函数表达式为分段函数，分别当，时，设出函数关系式求解即可； （2）由题意可知甲品种樱桃的进货量斤，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，关于的函数表达式为分段函数， 当时，设关于的函数表达式为， 将代入得， 解得：，即关于的函数表达式为； 当时，设关于的函数表达式为， 将，分别代入得， 解得：，即关于的函数表达式为； 综上所述，关于的函数表达式为； （2）解：∵乙品种的收购量不低于300斤，且不高于600斤 ∴取函数关系式，且， ∵收购了甲、乙两个品种的樱桃共1000斤，乙品种樱桃的进货量x斤， ∴甲品种樱桃的进货量斤， ∵甲品种樱桃进价为16元/斤，甲品种樱桃的售价为20元/斤， ∴甲品种樱桃利润为4/斤， ∵乙品种樱桃的售价为25/斤，从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元， ∴， ∴w随x增大而增大， 即当时，w取得最大值，此时甲400斤，乙600斤． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若销售一箱甲型口罩，利润率为，乙型口罩的售价为每箱1280元，为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 【答案】(1)甲型号口罩每箱进价为1000元，乙型号口罩每箱进价为800元 (2)共有四种方案，方案一：购进甲型口罩7箱、乙型口罩13箱；方案二：购进甲型口罩8箱、乙型口罩12箱；方案三：购进甲型口罩9箱、乙型口罩11箱；方案四：购进甲型口罩10箱、乙型口罩10箱 (3)80 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用． （1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据“若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进a箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩，根据进货总价不多于万元且不少于万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数即可得出各进货方案； （3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，根据总利润每箱利润销售数量（进货数量），即可得出w关于a的函数关系式，由（2）中所有方案获利相同可得出，解之即可得出m的值． 【详解】（1）解：设甲型号口罩每箱进价为x元，乙型号口罩每箱进价为y元， 根据题意可得：， 解得， 答：甲型号口罩每箱进价为1000元，乙型号口罩每箱进价为800元． （2）解：设购进甲型号口罩a箱，则购进乙型号口罩箱， 根据题意可得：， 解得， a可取7、8、9、10， 共有四种方案， 方案一：购进甲型口罩7箱、乙型口罩13箱； 方案二：购进甲型口罩8箱、乙型口罩12箱； 方案三：购进甲型口罩9箱、乙型口罩11箱； 方案四：购进甲型口罩10箱、乙型口罩10箱； （3）解：设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，甲型口罩每箱利润为， 依题意，得， 当时，w始终等于8000，取值与a无关． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； (2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解； （2）根据，代入（1）的解析式，即可求解；自变量的取值范围同（1）； （3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆， ∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨， ∴， 即， ∵， 解得，且为3的倍数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：， ∴， 解得， ∵，且为3的倍数， ∴，且为3的倍数， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当，，此时最大，最大值为（元） 即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元． 题型十八、一次函数其它应用问题 解｜题｜技｜巧 如资源分配、工程进度、温度变化等。核心步骤：1. 识别变量，确定自变量x和因变量y；2. 根据题意（常借助表格、图象信息）建立 y=kx+b 模型；3. 利用函数求解并解释实际意义。 【典例18】（25-26八年级上·山东青岛·期中）我市为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，对居民用水采用价格调控手段以期待达到节水的目的，如图是某户居民某月用水量x吨与水费y元的函数图象水费按月结算 (1)填空：我市居民用水价目表； 每月用水量吨 单价元 元/吨 ______元/吨 ______元/吨 (2)当时，写出水费元与用水量x之间的关系式； (3)小明家因家庭装修11月的水费共元，求小明家11月份的用水量． 【答案】(1)，8 (2) (3)小明家11月份的用水量为吨 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）根据图象数据，列式计算即可； （2）结合（1）可列出函数关系式； （3）判断小明家11月份的用水量超过17吨，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：元/吨，(元/吨， 当时，单价为元/吨，当时，单价为8元/吨； 故答案为：，8； （2）解：当时，， 水费元与用水量x之间的关系式为； （3）解：由图象可知，小明家11月份的用水量超过17吨， 根据题意得：， 解得， 小明家11月份的用水量为吨． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度（）随时间（秒）变化的函数关系图象如图． (1)甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_____，甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为_____； (2)当时，求乙壶中水温关于加热时间的函数表达式； (3)当甲壶中水温刚好达到时，求此时乙壶中的水温． 【答案】(1)20；1 (2) (3)当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为 故答案为：20；1； （2）解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． （3）解：∵甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 【变式2】（25-26八年级上·河南·期中）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】(1)图见解析，； (2)； (3)此时双层部分的长度为． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． （1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值； （2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； （3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得， 解得， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是； （2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； （3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，． 背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为， 手到地面的距离为，即． 设小明爸爸的身高为 ． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ，解得， 根据任务2，得，解得， 此时双层部分的长度为． 题型十九、一次函数方案问题 解｜题｜技｜巧 通常涉及比较两个或多个方案的成本或收益。方法：1. 为每个方案分别建立一次函数模型；2. 令函数值相等，求出临界点（费用相同的自变量值）；3. 根据临界点划分区间，讨论在不同区间内何者更优。最终作答需结合自变量取值范围。 【典例19】（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【分析】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·月考）某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，设每月租书数量为册． (1)请分别写出零星租书方式应付金额（元）、会员卡租书方式应付金额（元）与租书数量（册）之间的函数关系式． (2)小军采用哪种租书方式更合算？ 【答案】(1)， (2)小于20本时，采用零星租书方式比较划算；等于20本时，两种方式都可以；大于20本时，采用会员卡租书方式比较划算 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求函数的解析式，利用一次函数的交点解决方案问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据题意列出函数关系式即可； （2）求出函数的交点，通过交点和函数的性质得出方案即可． 【详解】（1）解：零星租书方式函数关系式为：； 会员卡租书方式函数关系式为：； （2）解：当时，， 解得， 根据一次函数的性质得， 当时，，即小于20本时，采用零星租书方式比较划算； 当时，，即等于20本时，两种方式都可以； 当时，，即大于20本时，采用会员卡租书方式比较划算； 【变式2】（24-25八年级下·山东济宁·月考）某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? (3)小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 【答案】(1)套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； (2)去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； (3)见详解 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分类讨论：当，，时，分别算出对应的健身的次数，再进行作答即可． 【详解】（1）解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）解：由（2）得当时，解得， 即去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； 当时， 解得， 即去体育馆健身超过10次时，选择套餐二； 当时， 即去体育馆健身小于10次时，选择套餐一． 题型二十、一次函数行程问题 解｜题｜技｜巧 将行程图（s-t图）转化为函数图象分析。图中直线斜率表示速度。关注：1. 交点意义为相遇；2. 平行线表示速度相同；3. 与t轴平行表示静止。需从图象准确提取速度、距离、时间信息并建立方程。 【典例20】（25-26八年级上·山东济南·期中）在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键； 根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④； 【详解】解：由图象可得：，两地相距为，故①正确； ∵货车的速度为：， ∴货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为， ∵在图象上， ∴， 解得：， ∴两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故②正确； 设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， ∵在图象上， ∴，解得：， ∴客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故③正确； 由相遇得：， ∴， ∴， ∵，∴符合题意， 即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池满电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． (1)与x的函数关系式为______； (2)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (3)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度=路程时间和路程=速度时间计算即可； （2）根据功率=电量时间和剩余电量=最初电量功率行驶时间计算即可； （3）求出剩余电量为总电量的时对应x的值，从而求出对应s的值即可． 【详解】（1）解：该新能源汽车的行驶速度为， 与x的函数关系式为， 故答案为：； （2）该新能源汽车的功率为， 与x的函数关系式为 由题意，电量，即， ， ； （3）当时，即， 解得， 当时，． 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务． 性能信息 1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式； 2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟； 3．全速模式速度是标准模式速度的两倍． 测试信息 实验1：测各模式速度． 标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等． 实验2：测十分钟（包括故障时间）所跑路程． 信息一：甲、乙同时出发，同向而行． 信息二：甲全程在标准模式下完成跑步． 信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了170米． 任务 任务一：（1）求基础模式和标准模式的速度； 任务二：（2）求实验2中机器人乙故障时长a的值； 任务三：（3）求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于20米． 【答案】任务一：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟；任务二：；任务三：第或或5分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系建立方程求解． 任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟，利用时间路程速度，结合标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即基础模式的速度），再将其代入中，即可求出标准模式的速度； 任务二：根据乙共用时分钟，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务三：设甲的运动时间为t分钟，分及三种情况考虑，根据两个机器人之间的距离等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米/分钟）． 答：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟； 任务二：根据题意得：， 解得：． 答：实验2中机器人乙故障时长a的值为； 任务三：设甲的运动时间为t分钟， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去），； 当时，， 即或， 解得：（不在范围内，舍去）或． 答：实验2整个过程中第或或分钟时，两个机器人之间的距离等于20米． 【变式3】（22-23七年级上·山东泰安·期末）甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的路程（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的路程（千米）与（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题： (1)直线的解析式为______； (2)轿车到达点开始加速，求轿车加速后的速度； (3)求轿车加速后，轿车追上货车时的值；轿车超出货车20千米时的值． 【答案】(1) (2)120千米时 (3)；4 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式，根据问题及条件选用正确的解题方法． （1）由图象可知，货车5小时行驶400干米，即可得； （2）根据速度路程时间即可求解； （3）设线段对应的函数表达式为，用待定系数法可得线段对应的函数表达式，根据问题，与直线的解析式联立，组成方程即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，货车5小时行驶400千米， 货车的行驶速度是：（千米时）， 根据路程速度时间，可得直线的解析式为； 故答案为：； （2）解：轿车到达点开始加速，轿车加速后的速度为（千米时）； 答：轿车加速后的速度为120千米时； （3）解：设线段对应的函数表达式为，将 ，代入得：，解得， 线段对应的函数表达式为； 当轿车加速后，轿车追上货车时，， 解得，； 轿车超出货车20千米时， ， 解得，． 答：轿车加速后，轿车追上货车时，的值为；轿车超出货车20千米时， 的值为4． 题型二一、一次函数与几何综合 解｜题｜技｜巧 常与三角形、四边形、面积结合。解题关键：1. 用坐标表示几何图形顶点；2. 将几何条件（平行、垂直、面积相等）转化为点的坐标或函数解析式满足的条件；3. 常用方法：设点坐标、表示线段长、利用几何性质列方程求解。 【典例21】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． (1)求的值； (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与几何综合，涉及勾股定理、折叠性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合，熟练掌握勾股定理及待定系数法是解决问题的关键． （1）根据题中数据，在中，利用勾股定理求出，再由折叠性质得到，从而确定，即可得到答案； （2）根据已知条件，利用勾股定理列方程得到，再由待定系数法求出直线的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， ∵将沿直线折叠，点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：设， 根据折叠的性质得，， 由（1）知， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得 ， 解得， 故直线的解析式为． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1），；证明见解析；（2）；（3）点D坐标为或 【分析】（1）证，即可得解； （2）易证，从而得到，，再利用待定系数法求出直线表达式即可； （3）分类讨论，画出图形，建立方程求解即可． 【详解】解：（1），； 证明：由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）如图，过C作轴，再分别过A、B作的垂线段，垂足分别为点D、E， ∵点C的坐标为，点B坐标为， ∴，， 由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设直线表达式为，将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴直线的表达式； （3）设点D坐标为， 当时，且点D在x轴上方时，如图， 此时，，， 同（1）法可得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，且点D在x轴下方时，如图， 此时， 同理可得， ∴， 又∵， ∴，此时方程无解， 即不存在此种情况； 当时，如图， 此时， 同理可得， ∴，即， 解得， ∴； 如图，，点P在左侧，如图， 此时，， 同理可得， ∴， ∴，方程无解， 即不存在此种情况； 综上，点D坐标为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）【探索发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线与轴，轴分别交于，两点． （1）如图2，若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限． ①直接填写：______，______； ②求点的坐标． （2）如图3，若，过点在轴左侧作，且，连接，当变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴负半轴上，，将直线向下平移个单位，点是平移后直线上的动点，是轴上的动点，是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）的面积是定值；理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． （1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解；②过点作于点，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标； （2）过点作轴于点，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断； （3）分两种情况，平移后的解析式为，当点在轴的下方时，过点作轴于， 由全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可；当点在轴上方时，同理过点作轴于，同理用全等三角形的性质证明边长相等，进一步求解即可求解． 【详解】（1）①，则直线， 令时，，令时，， ，， ，， 故答案为：，； ②过点作于点， ， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）当变化时，的面积是定值，理由如下： 过点作轴于点， 则， ，， ， 又， 在和中， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，且定值为； （3）将直线向下平移个单位，， 平移后的解析式为， ①当点在轴的下方时，过点作轴于， 设，，而， 是以动点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得， 点， ②当点在轴上方时，同理过点作轴于， 同理可得， ，， ， 解得，， 点， 综上，点的坐标为或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）下列曲线中，表示是的函数的是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查函数的定义． 根据函数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】 解：A中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； B中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； C中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，符合题意； D中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东·课后作业）已知直线经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，将点代入直线解析式，列出方程求解是解题的关键．将点坐标代入直线方程求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，即， ∴， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为（    ）． 0 1 2 8 A．8 B．7 C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的计算是解题的关键．根据题意，运用待定系数法可得一次函数解析式，再令，代入计算即可． 【详解】解：∵秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， ∴设一次函数解析式为， 当时，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，得， 解得， ∴所挂物重为， 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东梅州·期中）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号是关键． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的值的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过计算一次函数在各点处的函数值，得到，，的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵点在函数上， ∴． ∵点在函数上， ∴． ∵点在函数上， ∴． ∴， 即． 故选：B． 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟知一元一次方程与一次函数的关系是解题的关键．利用自变量时对应的函数值为3可确定程的解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴关于x的一元一次方程的解为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点(不与点和点重合)，过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）分别令、代入一次函数中计算求解即可； （2）根据题意得出，进而得到，根据列方程计算求解即可； （3）过点作于点，结合图象表示出，根据直角三角形面积公式，列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 令得，，解得，则点的坐标为， 令得，，则点的坐标为， 答：点、点的坐标为，； （2）解：根据题意得，点的横坐标为，则 当时， 则、 因此 由得： 解得， 答：的值为； （3）解：过点作于点，如图： 则 由于 则 即 解得： 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽黄山·月考）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到下表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当箭尺读数为时是晚上 【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象，理解题意，正确求出函数关系式是解题的关键． （）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （）由各点连线是一条直线，得出是的一次函数，再利用待定系数法求解即可； （）当时，得，解得，然后计算即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：∵各点连线是一条直线， ∴是的一次函数． 设与之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴， 当时，得， 解得， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得， ∵上午经过小时后是晚上， ∴如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是晚上． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小A和小I从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为，小A和小I行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为 C．小I比小A早到14秒 D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，速度与时间的关系，从函数图象获取信息是解题关键．由图象可得，小I在第15秒时开始出发，即可判断选项A；小I走，用了，利用路程与时间关系，求出提速前的速度，从而得出提速后的速度，即可判断选项B；在线段的过程中，利用路程与速度关系，即可得出小I所用的时间，从而得出的值，结合图象可得小A行走到了，用了，利用路程与时间关系，即可得出小A的速度，从而得出小A行走用的时间，即可求出，即可判断选项D，即可求出小I比小A早到的时间，即可判断选项C． 【详解】解：由图象可得，小I在第15秒时开始出发， ∴小A比小I先出发15秒，故选项A正确； ∵小I从走到了时，总共用了， 故提速前的速度为， ∵小I提速后将速度提高到原来的倍， ∴小I提速后的速度为，故选项B正确； 由图象可得线段的过程中，小I从处行走到了， ∴小I在线段的过程中所用的时间为， ∴的值为， 即小A从处行走到了时，用了， ∴小A的速度为， ∴小A行走用的时间为，即，故选项D错误； ∴小I比小A早到，故选项C正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． (1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； (2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查代入求值和整式中某项系数为0的条件等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据题意把自变量和函数值代入解析式，即可解决问题； （2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可； 【详解】（1）解：把代入（a为常数，且）得，， 解得； （2）解：∵， ∴当时，可有 ， ∴对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点， ∴． 4．（25-26八年级上·山东济南·月考）数学课本上一次函数新课后有这样一题设计题，为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，将居民的每月生活用水水价，分为三个等级：一级20立方米及以下，二级立方米（含30立方米），三级31立方米及以上，以下是王聪家水费发票的部分信息（注：居民生活用水水价＝居民生活自来水费＋居民生活污水处理费） 自来水总公司水费专用发票发票联（计费时间：2012－01－01至2012－01－31） 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量（吨） 本期用水量（吨） 污水处理费 用水量（吨） 单价元（／吨） 金额（元） 用水量（吨） 单价元（／吨） 金额（元） 阶梯一20 阶梯二10 阶梯三5 本期实付金额（大写） 柒拾柒元伍角整（元） (1)从如表信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）是：每月用水吨（含30吨）为__________元／吨，及以上为__________元／吨． (2)若王聪家2月份的月用水量为，应付水费为元，求关于的函数表达式？ (3)已知2012年2月份王聪家所缴的水费为元，请你计算王聪家该月份的用水量为多少吨？ 【答案】(1)， (2) (3)王聪家该月份的用水量为吨 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列函数关系式，求自变量的值； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从王聪家的用水信息即可得出答案； （2）根据居民生活用水阶梯式水价计费标准，可知月用水量为（立方米）（），应付水费立方米的水费（）立方米的水费，依此即可求出关于的函数表达式； （3）先判断出2月份所缴的水费为元时，月份用水量为～吨，再将代入（）中函数解析式，计算即可求解． 【详解】（1）根据题意得，水费的收费标准（含污水处理费）是： 每月用水～吨（含吨）为元吨， 立方米及以上为元吨， 故答案为，； （2）（）， 即关于的函数表达式为； （3）从以上信息知，用水量为吨时，水费为（元）， 而＜，所以月份用水量小于吨， 将代入（）中函数解析式，得， 解得， 答：王聪家该月份的用水量为吨． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了新定义“不动点函数”的理解及一次函数不动点的求解，解题的关键是根据不动点的定义，将问题转化为解方程． 根据不动点定义，对每个一次函数求解方程；对于，方程 无解，不是不动点函数；对于，解方程得，不动点为，原结论错误；对于，方程恒成立，有无数个不动点． 【详解】解：根据不动点定义，令， 对于①：，解方程，得，无解，故①错误； 对于②：，解方程，得，，此时，不动点为，故②错误； 对于③：，解方程，恒成立，故有无数个不动点，③正确． 故答案为：③． 6．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 【答案】(1)的解析式为：，， (2)6 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设的解析式为：，将，代入求出，进而求出，，将代入即可求出； （2）求出，分别求出的面积和的面积，相减即可． 【详解】（1）解：设的解析式为： ∵经过， ∴将、代入解析式得： ， ∴，， 即的解析式为：， ∵在； ∴， ∴ ∵在， ∴ ∴； （2）解：是与轴的交点， 在中令，则， 得， ∴，，到的距离为2， ∵， ∴，， ∴． 7．（25-26八年级上·山东济南·期中）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买元/人的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买元/人的门票，采摘的杨梅质量在千克以内（包含千克）按原价收费，超过千克后，超过部分按原价的五折收费．设采摘量x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为y2元． (1)当采摘量超过千克时，分别求出，与x之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)千克或千克 (3)乙方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，包括函数关系式的建立、方程求解以及方案优劣比较，熟练掌握一次函数的性质和方程思想是解答本题的关键． （1）根据甲、乙方案的收费规则，结合费用构成，分别推导采摘量超过千克时，，与x之间的函数关系式； （2）分采摘量不超过千克和超过千克两种情况，通过建立方程求解两种方案价格相同时的采摘量； （3）将采摘量代入两个函数关系式，计算出各自的总费用，通过比较费用大小确定更划算的方案． 【详解】（1）解：当采摘量超过千克时，， 根据题意，得， ； （2）解：当时，， 令，则，解得：， 当时，令，则，解得：， 答：当采摘千克或千克时，两种方案的价格相同． （3）解：选择乙方案更划算．理由如下： 当时，，， ∵， ∴选择乙方案更划算． 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，号水杯为厚底圆柱形，号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图描述的是号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离的函数图象； (1)求与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系如下表所示．在图中，画出与之间的函数图象，并直接写出函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (3)求出当为多少时，号杯和号杯中水的体积相差？ 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)作图见解析，与之间的函数表达式为 (3)当为或时，号杯和号杯中水的体积相差 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、函数图像绘制以及一元一次方程的应用，掌握一次函数的性质与方程分类讨论思想是解题的关键． （1）通过观察函数图像确定一次函数的两组对应值，利用待定系数法求出与的函数表达式； （2）根据表格数据判断与的函数类型，代入数据求出表达式并绘制图像； （3）分“”和“”两种情况，列方程求解满足体积差为时的值． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且）， 将和分别代入， 得， 得， 解得：， 把代入①得， 解得：， 二元一次方程组的解为， 与h之间的函数表达式为； （2）解：描点并连线如图所示： 与之间的函数表达式为； （3）解：根据题意：， ①当时， ，， ②当时，，，， 答：当为或时，号杯和号杯中水的体积相差． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，某同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，，的值，得到了它的函数图象，请借助学习函数的经验，推断输入的，，的值满足(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，能根据所给函数图象得出的正负是解题的关键．结合所给函数图象，得出及，再结合时，得出的取值范围即可． 【详解】解：由题知，，即， 由函数图象可知， 取不到的值为正数， 所以． 当时，． 因为时，， 则， 所以， 所以， 所以，，． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论： ①点P在直线上； ②若设的面积为S，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8． 其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形面积与周长的计算、点到直线的距离及对称变换的应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据点P的坐标满足直线方程判断①；代入值计算三角形面积验证②；利用配方法求的最小值判断③；通过找点关于直线的对称点，利用两点之间线段最短求周长最小值判断④；根据矩形周长公式计算判断⑤，然后即可求解； 【详解】解：∵点的坐标为， ∴当时，，满足，故①正确； 当时，； ∵，， ∴，到轴距离为， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； 将关于直线对称得， 则的最小值为， ∴周长最小值为，故④正确； 当在第四象限时，且， ，， 矩形周长，故⑤正确； 综上，所有结论均正确， 故选：D； 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，观察分析所得数据并找出数据之间的规律是解题的关键． 根据题意求出点坐标，得长即值，求出点、坐标，得长即得出，进而得出，把代入求值即可判断． 【详解】解：把代入：得， ∴， ∴，即， ∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时得到：， 故选：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一次函数的概念，图像和性质，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．对于函数，结合k的取值情况依次判断即可． 【详解】解：①当时，函数为，是常数函数，不是一次函数，故①错误； ②当时，，所以函数图像必经过点，故②正确； ③当时，函数为，符合正比例函数定义，故③正确； ④当时， ， ，函数图像经过第二、三、四象限，故④正确； ⑤随的增大而减小时，需，即，但结论为，故⑤错误． 故答案为：②③④． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②． 【详解】解：由题意得，乙的速度为米分；故①正确； 设甲的速度为米分．则有： ， 解得， 即甲出发时速度是米分， 分钟后甲的速度为（米分）， （分） （分） ∴当乙出发50分钟时，甲追上乙；故②错误； 由题意得，、两地相距（米）故③错误． 故答案为：①． 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；与直线交于点C，其中，C点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P是线段上的一动点（不与端点重合），过点P作轴交于点Q，过点Q向y轴作垂线，垂足为M，连接，若四边形的面积为8，求此时点P的坐标； (3)点E为直线上的一点，当时，直接写出所有符合条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)E点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）求出点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，由四边形的面积，求出即可求点坐标； （3）过点作轴交于点，在轴上取点，使，证明，可求，直线与直线的交点为；直线与轴交点为，作点关于直线的对称点，则，由对称可知，则，直线与直线的交点为． 【详解】（1）解：点横坐标为4， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设，则， ， 四边形的面积， 解得， ； （3）解：如图，过点C作轴交于N点， ∴， 在y轴上取点G，使， ∵， ∴， 在y轴右侧作， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得 所以直线的解析式为， 当时，解得， ∴． 作H点关于直线的对称点，过点作的垂线，过点作交于点， ， ， ， ， ， 则， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 当时，解得， ∴． 综上所述，E点坐标为或． 7．（25-26八年级上·广西百色·期中）【关联三角形】在平面直角坐标系中，若一个三角形的三个顶点中，有两个顶点在一次函数（k、b为常数，，）的图象上，另一个顶点是原点，则称这个三角形为该一次函数的“关联三角形”． 【理解】（1）若、，是平面直角坐标系中三点，则是函数的“关联三角形”吗？为什么？ 【应用】（2）若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，且该一次函数的关联的面积为，请求出k的值； 【等腰直角三角形】顶角是的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它底边上的中线等于底边的一半． （3）如图，在中，，，则就是一个等腰直角三角形，请画出底边边上的中线，高，那么，有什么关系？ 【探究】（4）若一次函数的图象上有两点和，且该一次函数的关联三角形是等腰直角三角形，请求出点P和点Q的坐标． 【答案】（1）是，见解析；（2）或；（3）；（4）或或或或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键． （1）判断、是否是函数上的点即可； （2）求得点C、D的坐标，表示出的面积，列方程即可解答； （3）根据等腰三角形的性质即可解答； （4）画出图形，根据一次函数和轴的夹角为，分类讨论即可解答． 【详解】解：（1）把代入，可得， 是一次函数上的点， 把代入，可得， 是一次函数上的点， 根据定义可得是函数的“关联三角形”； （2）当时，， ， 当时，可得， 解得， ， 的面积为， 则可得， 解得或； （3）作图如下： ， 根据等腰三角形的性质可得和重合，即； （4）解：如图，画出图形， ， 当时，，解得， ， 当时，， ， 为等腰直角三角形， ， 该一次函数的关联三角形是等腰直角三角形， 当时， 此时或； 当时，如图，在等腰直角三角形斜边上中点， ， 此时或； 当时，如图，在等腰直角三角形斜边上中点， ， 此时或； 综上，或或或或或． 试卷第102页，共108页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 函数与变量 1. 常量与变量：在变化过程中数值（不）变化的量。 2. 函数概念：在某一变化过程中，两个变量间的对应关系，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值与之对应。 1. 能辨别实际问题中的常量与变量。 2. 能判断两个变量间是否存在函数关系，并能用解析法、列表法、图象法表示简单函数。 基础必考，多在选择题、填空题中出现。考查对函数本质（一对一或多对一的对应） 的理解，而非死记定义。 2. 一次函数定义与图象 1. 定义：形如 y = kx + b (k, b为常数，k ≠ 0)，当b = 0时，为正比例函数y = kx。 2. 图象画法：一条直线，两点确定（常取与坐标轴的交点）。 3. 系数意义：k决定增减性与倾斜度；b决定与y轴交点(0, b)。 1. 能根据定义识别一次函数及正比例函数。 2. 能熟练画出一次函数的草图，并说出k, b对图象的影响。 3. 会根据k, b符号判断图象经过的象限。 核心高频考点。考查方式多样：①识别解析式；②根据k, b符号判断图象位置（选择题高频）；③根据两点坐标求解析式（待定系数法基础）。 3. 一次函数的性质 1. 增减性：k > 0时，y随x增大而增大（直线上升）；k < 0时，y随x增大而减小（直线下降）。 2. 倾斜程度： k越大，直线越陡。 1. 能复述一次函数的增减性。 2. 能应用性质比较函数值大小、判断图象变化趋势。常与图象结合考查。 解答题中，利用增减性比较不同点的函数值大小是常见问法。性质是分析函数的基础工具。 4. 待定系数法求解析式 给定两组x, y的对应值（或两个点的坐标），通过解关于k, b的二元一次方程组，求出函数解析式。 掌握待定系数法求一次函数解析式的完整步骤，并能准确计算。 解答题核心考点，几乎是求解析式问题的唯一通法。步骤规范性（设、代、解、写）和计算准确性是得分关键。 5. 一次函数与方程/不等式 1. 与一元一次方程：从“数”看，解方程kx+b=0；从“形”看，求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式：解kx+b>0，即找图象在x轴上方部分对应的x范围。 1. 理解一次函数与方程、不等式的内在联系。 2. 会利用函数图象直观求解方程与不等式。 数形结合思想的重要体现，常在中档解答题中考查。要求能将方程/不等式问题转化为函数图象的交点或位置问题进行求解。 6. 一次函数的实际应用 1. 行程、工程、利润等经典应用题建模。 2. 方案选择与决策问题：常需比较两个一次函数在不同区间的函数值大小。 3. 分段函数（如出租车计费、阶梯水电费）。 1. 能从文字、表格、图象中提取信息，建立一次函数模型y=kx+b。 2. 会利用函数性质解决最值、方案选择等实际问题。 本章难点与压轴题方向。考查数学建模和应用能力。解题关键：①准确找到k, b的实际意义；②注意自变量x的实际取值范围；③分段函数需分段讨论。 知识点01函数及其图象 1、概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有 的值与其对应，那么称x为 ，y是 的函数 2、表示方法： ， ， 3、画函数图象的一般步骤： ， ， 4、自变量的取值范围 注：在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义 知识点02一次函数的概念 一般地，函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)叫做 ．当b＝0时，函数y＝kx(k为常数，且k≠0)叫做 ，常数k叫做 ． 知识点03一次函数的图象与性质 表达式 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 增减性 k＞0 k＜0 y随x的增大而 y随x的增大而 b的值 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 与y轴交 点位置 y轴正半轴 原点 y轴负半轴 y轴正半轴 原点 y轴负半轴 图象 经过象限 一二三 一三 一三四 一二四 二四 二三四 与坐标轴交点 与x轴的交点坐标为 (即令y＝0)，与y轴的交点坐标为 (即令x＝0) 知识点04待定系数法 【步骤】一设：设一次函数解析式为 二列：找出函数图象上的两个点，代入y＝kx＋b中，得到二元一次方程组 三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值 四还原：将所求待定系数k，b的值代入y＝kx＋b中即可 知识点05一次函数图象的平移 将直线y＝kx＋b(k≠0)平移m(m＞0)个单位长度： 1 向左平移，得 ； 2 向右平移，得 ； 3 向上平移，得 ； ④向下平移，得 ； 题型一、函数概念的辨析 解｜题｜技｜巧 紧扣定义核心：对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应。判断时，检查是否满足“一对一”或“多对一”，若出现“一对多”则不是函数。图象可用竖线检验法：任一与y轴平行的直线与图象至多一个交点。 【典例1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）下列图像中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量、因变量分别是（     ） A．热水器里水的温度、所晒时间 B．热水器里水的温度、太阳光强弱 C．所晒时间、热水器的容积 D．所晒时间、热水器里水的温度 题型二、确定自变量取值范围 解｜题｜技｜巧 考虑两方面：1. 代数式本身有意义（如分母不为零、偶次根号下非负）；2. 实际问题有意义（如人数为正整数、时间非负等）。最终取值范围是两类条件的交集，需用不等式或不等式组表示。 【典例2】（24-25八年级下·重庆万州·期中）对于函数，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【变式1】（23-24九年级上·山东泰安·月考）在函数中自变量x取值范围是（　　　）　 A． B．且 C．且 D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 题型三、列函数关系式 解｜题｜技｜巧 仔细审题，识别变量与常量。将实际问题中的语言描述转化为数学等式，明确谁是自变量，谁是因变量。常见模型有：总量=单位量×数量、路程=速度×时间等。关键是找到不变量和等量关系。 【典例3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋黄伯思设计．《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式如图所示，一共有七张长方形桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．若设桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级下·山东淄博·月考）研究表明，温度会随距离地面的高度变化，小明绘制了下面的表格： 距离地面高度/千米 0 1 2 3 4 5 温度/ 20 14 8 2 -4 -10 (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？ (3)你知道距离地面4千米的高空温度是多少摄氏度吗？ (4)你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少摄氏度吗？ 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米、高12厘米．设这个楼梯的竖直高度为a厘米，侧面宽度为b厘米． (1)写出b与m之间的关系式； (2)写出a与m之间的关系式； (3)写出a与b之间的关系式． 【变式3】（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图所示，两个相同的等腰直角三角板，将一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线，于D，E两点． (1)求证：； (2)若D，E两点分别在线段和上移动，若的长为a，的面积为y，且时，求y与x之间的函数关系式． 题型四、求自变量、函数值 解｜题｜技｜巧 本质是解方程。1. 已知x求y：将x值直接代入解析式计算。2. 已知y求x：将y值代入解析式，解关于x的一元一次方程。计算时注意运算顺序和符号。 【典例4】（25-26八年级上·广东梅州·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）材料：我国墨脱水电站选址于世界水能最富集的雅鲁藏布江大峡谷段，年发电量约亿，相当于三个三峡水电站，是我国又一个超级工程． 探究学习：小亮通过查阅资料知道以下信息：墨脱水电站的某小型引水坝内的水体可视为长方体，其底面积为．某一次注水前的水位高度为，注水时的水位高度y（单位：m）与时间x（单位：h）有下面的关系： 时间 0 1 2 3 … 水位高度 8 13 18 23 … (1)根据表中数据呈现的规律解决问题：当注水时间达到时，引水坝内的水位高度是_____________； (2)在这个问题中，_____________是变量，_____________是常量； (3)请用含x的代数式表示y； (4)已知引水坝内的水可以发电约，若引水坝内所有水的发电量记为W，请用含有x的代数式表示W，并求出当时的发电量． 题型五、由函数图象确定信息 解｜题｜技｜巧 “看图说话”。直接观察图象获取：①点的坐标（如与坐标轴交点）；②变化趋势（上升/下降判断k符号）；③特定区间内y随x的变化情况；④比较函数值大小（看点的纵坐标高低）。 【典例5】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法中正确的个数有：①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公共汽车后与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于东大佳苑东侧的儿童乐园内，摩天轮的轮子为圆形，轮子上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度h和所用的时间t的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是________； （2）摩天轮最高点距地面_______米，摩天轮最低点距地面_______米； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度．（摩天轮距地面的最高点与最低点的差为摩天轮的直径，结果保留）． 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下面四种说法：①加入絮凝剂的体积越大，净水率越高；②未加入絮凝剂时，净水率为0；③絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等；④加入絮凝剂的体积是时，净水率达到．错误的说法有几种（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六、画函数图象 解｜题｜技｜巧 画函数图象的通用步骤为：1. 确定定义域；2. 列表：给出自变量若干值，计算对应函数值；3. 描点：在坐标系中描出对应点；4. 连线：用平滑曲线（或直线/线段）按顺序连接各点。 【典例6】（25-26八年级上·山东济南·期中）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组的对应值； 1 表中________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究； 观察图象，当________时，的值最小，最小值为________； 若，，有一动点以每秒个单位长度的速度，从原点出发沿轴正方向运动，当时，此时用时多少秒？ 1 【变式1】（24-25八年级下·山东德州·月考）下面是对函数和的图象和性质的研究，完成下列探索过程： (1)补全下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 ___ ____ ___ ___ 4 … … 0 1 2 3 4 … (2)根据上表，在平面直角坐标系中描出各点，分别画出函数与的图象； (3)根据函数图象填空： ①函数的最小值为____； ②当时，的值为______． 【变式2】（24-25六年级下·山东东营·期末）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间（单位：）和一个座舱距离地面的高度（单位：），部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00 请解决以下问题： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系，在下面给出的图中，画出这个函数的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最低为_____，最高为_____； ②此摩天轮转盘的半径约为_____，转一圈所用时间为_____． 题型七、动点问题函数图象 解｜题｜技｜巧 分析动点运动过程，分段确定其与相关量的几何关系（如距离、面积），并列出各段函数解析式。最后根据每段解析式的类型（常值、一次）和自变量取值范围，在坐标系中画出对应的线段或射线。关键是抓住运动状态变化的转折点。 【典例7】（24-25七年级下·山东济南·期末）已知：如图（1），长方形中，E是边上一点，且，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（   ） ①；②；③当时，为等腰三角形；④当时， A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①④ 【变式1】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图1，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（   ） A．3 B． C． D．9 【变式2】（24-25六年级下·山东济南·期末）一个动点H以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点H的速度是；②的长度为；③；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八、正比例函数概念的辨析 解｜题｜技｜巧 正比例函数是特殊的一次函数（b=0）。判断依据：1. 解析式可化为 y=kx (k≠0)；2. 图象是过原点的直线；3. x 与 y 的比值恒为定值k。注意与反比例函数 (xy=k) 区分。 【典例8】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）若正比例函数，则的值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·月考）已知函数，当 时，是的正比例函数． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·月考）个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数是（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)销售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为 ． (2)当小勤卖出苹果150千克时，得到苹果货款多少元？ 题型九、一次函数有关概念辨析 解｜题｜技｜巧 涉及 k、b 的作用及参数讨论。1. 根据定义 y=kx+b，k≠0 是关键；2. 已知图象位置可判断 k、b 符号；3. 已知函数增减性可定 k 符号；4. 含参数时需根据条件列方程求参数值。 【典例9】（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列y与x之间的函数关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知函数． (1)当n为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【变式2】（23-24八年级上·广西崇左·月考）已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 题型十、一次函数图象平移问题 解｜题｜技｜巧 掌握口诀：“左加右减，上加下减”，作用于自变量x或函数整体。例如，将 y=kx+b 向左平移m个单位得 y=k(x+m)+b；向上平移n个单位得 y=kx+b+n。所有平移可视为对原始 y=kx 图象的操作。 【典例1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知将直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点均在一次函数的图象上，则 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中直线的图象是由的图象平移得到的，且经过点． (1)求的表达式； (2)若点为直线上一点，求的值． 题型十一、一次函数规律性探究 解｜题｜技｜巧 观察坐标与序号 n 的关系。分别探究横、纵坐标与 n 的规律，常见为等差数列（线性关系），即 x=an+b, y=cn+d，则该点所在直线（函数）解析式也可求出。也可能涉及循环或分段规律。 【典例11】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是 ． 题型十二、一次函数增减性的判定与应用 解｜题｜技｜巧 由系数 k 直接判定：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小。应用：1. 比较函数值大小：在自变量取值范围内，利用增减性判断；2. 求最值：在区间端点处取得（需结合增减性判断）。 【典例12】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·北京平谷·期末）关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是 ． 题型十三、待定系数法求一次函数关系式 解｜题｜技｜巧 通用方法。步骤：1. 设：设解析式为 y=kx+b (k≠0)。2. 代：将已知的两组对应值（或两点坐标）代入。3. 解：解关于 k、b 的二元一次方程组。4. 写：将 k、b 值代回所设解析式。 【典例13】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求该一次函数的解析式． 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）一次函数经过点和点． (1)求这个一次函数的解析表达式； (2)将所得函数图象平移，使它经过点，求平移后直线的解析式． 题型十四、一次函数图象的交点问题 解｜题｜技｜巧 两个一次函数图象的交点坐标，同时满足两个函数解析式。解法：联立两个解析式，构成二元一次方程组，解出的 (x, y) 即为交点坐标。几何意义：交点即两条直线的公共点。 【典例14】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 【变式1】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）直线与直线在同一坐标系中的位置可能是下图中的（    ） A．B．C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．的值随的增大而减小 C．它的图象与轴的交点为 D．它的图象经过第一、二、三象限 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十五、由一次函数图象确定函数性质 解｜题｜技｜巧 综合观察：1. 走向：判断 k 符号（增/减）；2. 截距：确定 b 值及与y轴交点；3. 象限：由直线经过的象限可进一步约束 k、b 符号；4. 倾斜度：粗略判断 |k| 大小。 【典例15】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【变式1】（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：随的增大而减小；，；关于，的二元一次方程必有一个解为，；当时，．其中正确的有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期中）一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的是（  ） ①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型十六、由函数解析式确定信息 解｜题｜技｜巧 直接分析解析式 y=kx+b：1. 指出 k、b 的值；2. 说出图象大致走向和与y轴交点；3. 可计算特定函数值；4. 可求与坐标轴交点；5. 判断点是否在图象上（代入验证）。 【典例16】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 【变式3】（24-25七年级下·山东泰安·期末）已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围； (4)当时，y有最大值8，求m的值． 题型十七、一次函数营销问题 解｜题｜技｜巧 典型题型：求最大利润、最优方案等。关键：1. 建立函数模型：常涉及“总价=单价×数量”等关系，利润=收入-成本；2. 确定自变量（如售价、数量）的实际取值范围；3. 利用一次函数增减性在取值范围内求最值。 【典例17】（25-26九年级上·广东深圳·期中）第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． (1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）在中国园艺学会樱桃分会主办的2025中国优质樱桃擂台大赛中，我县果农选送的“鲁樱金牛4-8”大樱桃样品被评定为“特级樱桃产品”，荣获“特等奖”．某商贸公司经销甲、乙两个品种的樱桃，甲种樱桃进价为16元/斤；乙品种樱桃的进货总金额y（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种樱桃的售价分别为20元/斤和25元/斤．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的樱桃共1000斤，其中乙品种的收购量不低于300斤，且不高于600斤． (1)已知，，求关于的函数表达式． (2)若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的樱桃能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的樱桃所获总利润为w元（利润=销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案，最大利润是多少？ 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若销售一箱甲型口罩，利润率为，乙型口罩的售价为每箱1280元，为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； (2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 题型十八、一次函数其它应用问题 解｜题｜技｜巧 如资源分配、工程进度、温度变化等。核心步骤：1. 识别变量，确定自变量x和因变量y；2. 根据题意（常借助表格、图象信息）建立 y=kx+b 模型；3. 利用函数求解并解释实际意义。 【典例18】（25-26八年级上·山东青岛·期中）我市为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，对居民用水采用价格调控手段以期待达到节水的目的，如图是某户居民某月用水量x吨与水费y元的函数图象水费按月结算 (1)填空：我市居民用水价目表； 每月用水量吨 单价元 元/吨 ______元/吨 ______元/吨 (2)当时，写出水费元与用水量x之间的关系式； (3)小明家因家庭装修11月的水费共元，求小明家11月份的用水量． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度（）随时间（秒）变化的函数关系图象如图． (1)甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_____，甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为_____； (2)当时，求乙壶中水温关于加热时间的函数表达式； (3)当甲壶中水温刚好达到时，求此时乙壶中的水温． 【变式2】（25-26八年级上·河南·期中）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 题型十九、一次函数方案问题 解｜题｜技｜巧 通常涉及比较两个或多个方案的成本或收益。方法：1. 为每个方案分别建立一次函数模型；2. 令函数值相等，求出临界点（费用相同的自变量值）；3. 根据临界点划分区间，讨论在不同区间内何者更优。最终作答需结合自变量取值范围。 【典例19】（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·月考）某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，设每月租书数量为册． (1)请分别写出零星租书方式应付金额（元）、会员卡租书方式应付金额（元）与租书数量（册）之间的函数关系式． (2)小军采用哪种租书方式更合算？ 【变式2】（24-25八年级下·山东济宁·月考）某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? (3)小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 题型二十、一次函数行程问题 解｜题｜技｜巧 将行程图（s-t图）转化为函数图象分析。图中直线斜率表示速度。关注：1. 交点意义为相遇；2. 平行线表示速度相同；3. 与t轴平行表示静止。需从图象准确提取速度、距离、时间信息并建立方程。 【典例20】（25-26八年级上·山东济南·期中）在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池满电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． (1)与x的函数关系式为______； (2)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (3)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务． 性能信息 1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式； 2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟； 3．全速模式速度是标准模式速度的两倍． 测试信息 实验1：测各模式速度． 标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等． 实验2：测十分钟（包括故障时间）所跑路程． 信息一：甲、乙同时出发，同向而行． 信息二：甲全程在标准模式下完成跑步． 信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了170米． 任务 任务一：（1）求基础模式和标准模式的速度； 任务二：（2）求实验2中机器人乙故障时长a的值； 任务三：（3）求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于20米． 【变式3】（22-23七年级上·山东泰安·期末）甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的路程（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的路程（千米）与（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题： (1)直线的解析式为______； (2)轿车到达点开始加速，求轿车加速后的速度； (3)求轿车加速后，轿车追上货车时的值；轿车超出货车20千米时的值． 题型二一、一次函数与几何综合 解｜题｜技｜巧 常与三角形、四边形、面积结合。解题关键：1. 用坐标表示几何图形顶点；2. 将几何条件（平行、垂直、面积相等）转化为点的坐标或函数解析式满足的条件；3. 常用方法：设点坐标、表示线段长、利用几何性质列方程求解。 【典例21】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． (1)求的值； (2)求直线的解析式． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）【探索发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线与轴，轴分别交于，两点． （1）如图2，若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限． ①直接填写：______，______； ②求点的坐标． （2）如图3，若，过点在轴左侧作，且，连接，当变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴负半轴上，，将直线向下平移个单位，点是平移后直线上的动点，是轴上的动点，是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）下列曲线中，表示是的函数的是（　　） A．B． C． D． 本题考查函数的定义． 根据函数的定义，对各选项进行分析判断即可． 解：A中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； B中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； C中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，符合题意； D中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东·课后作业）已知直线经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为（    ）． 0 1 2 8 A．8 B．7 C．5 D．10 4．（25-26八年级上·广东梅州·期中）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A．B．C． D． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的值的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点(不与点和点重合)，过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________． 8．（25-26八年级上·安徽黄山·月考）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到下表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小A和小I从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为，小A和小I行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为 C．小I比小A早到14秒 D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 3．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． (1)当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； (2)对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 4．（25-26八年级上·山东济南·月考）数学课本上一次函数新课后有这样一题设计题，为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，将居民的每月生活用水水价，分为三个等级：一级20立方米及以下，二级立方米（含30立方米），三级31立方米及以上，以下是王聪家水费发票的部分信息（注：居民生活用水水价＝居民生活自来水费＋居民生活污水处理费） 自来水总公司水费专用发票发票联（计费时间：2012－01－01至2012－01－31） 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量（吨） 本期用水量（吨） 污水处理费 用水量（吨） 单价元（／吨） 金额（元） 用水量（吨） 单价元（／吨） 金额（元） 阶梯一20 阶梯二10 阶梯三5 本期实付金额（大写） 柒拾柒元伍角整（元） (1)从如表信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）是：每月用水吨（含30吨）为__________元／吨，及以上为__________元／吨． (2)若王聪家2月份的月用水量为，应付水费为元，求关于的函数表达式？ (3)已知2012年2月份王聪家所缴的水费为元，请你计算王聪家该月份的用水量为多少吨？ 5．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是 ．（填写正确的序号） 6．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 7．（25-26八年级上·山东济南·期中）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买元/人的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买元/人的门票，采摘的杨梅质量在千克以内（包含千克）按原价收费，超过千克后，超过部分按原价的五折收费．设采摘量x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为y2元． (1)当采摘量超过千克时，分别求出，与x之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，号水杯为厚底圆柱形，号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图描述的是号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离的函数图象； (1)求与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系如下表所示．在图中，画出与之间的函数图象，并直接写出函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (3)求出当为多少时，号杯和号杯中水的体积相差？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，某同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，，的值，得到了它的函数图象，请借助学习函数的经验，推断输入的，，的值满足(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论： ①点P在直线上； ②若设的面积为S，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8． 其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是 ．（填序号） 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；与直线交于点C，其中，C点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P是线段上的一动点（不与端点重合），过点P作轴交于点Q，过点Q向y轴作垂线，垂足为M，连接，若四边形的面积为8，求此时点P的坐标； (3)点E为直线上的一点，当时，直接写出所有符合条件的点E的坐标． 7．（25-26八年级上·广西百色·期中）【关联三角形】在平面直角坐标系中，若一个三角形的三个顶点中，有两个顶点在一次函数（k、b为常数，，）的图象上，另一个顶点是原点，则称这个三角形为该一次函数的“关联三角形”． 【理解】（1）若、，是平面直角坐标系中三点，则是函数的“关联三角形”吗？为什么？ 【应用】（2）若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，且该一次函数的关联的面积为，请求出k的值； 【等腰直角三角形】顶角是的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它底边上的中线等于底边的一半． （3）如图，在中，，，则就是一个等腰直角三角形，请画出底边边上的中线，高，那么，有什么关系？ 【探究】（4）若一次函数的图象上有两点和，且该一次函数的关联三角形是等腰直角三角形，请求出点P和点Q的坐标． 试卷第102页，共108页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $