４.3.2 等比数列的前n项和公式第一课时　教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教Ａ版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦等比数列前n项和公式，通过国际象棋麦粒故事导入，连接现实问题与数学抽象，梳理从等比数列概念、通项公式到前n项和公式的知识脉络，搭建认知支架。 以麦粒故事培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过问题链引导公式推导发展数学思维，结合例题与高考题改编强化数学语言表达，帮助学生系统掌握知识与方法，为教师提供清晰教学流程和实用资源。

第1课时　等比数列的前n项和公式 一、立标 1.通过国王奖励的故事探索并掌握等比数列前n项和公式． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 二、自学 国际象棋起源于古印度。相传国王要奖赏国际 象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋 盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上 2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类 推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，已知1000颗麦粒的质量约为40g,据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言。 让我们一起来分析一下，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和. 一般地， 1、 如何求一个等比数列的前n项和呢？ 2、 推导等比数列的前n项和过程中用了哪些方法？ 3、等比数列的前n项和公式 三、练习 [例1] 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意知 解得或 从而Sn＝×5n+1－或Sn＝. (2)方法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意知解得 则S5＝＝. 方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝. 因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，则S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根， 可得或 又Sn＝＝126，所以q的值为2或. [练1] (2024·天津卷改编)已知数列{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案：2n－1　解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则1＋q＝q2－1，得q＝2或q＝－1(舍去). 所以Sn＝＝2n－1. [练2] (2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 答案：－　解析：由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1， 所以8·＝7·， 即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7， 解得q＝－. 四、解疑 1、等比数列前n项和的运算技巧 (1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． (2)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解． 五、评议 1、知识清单 (1)等比数列前n项和及其计算公式． 2．方法归纳：函数与方程思想、整体思想． 3．常见误区：利用求和公式求和时易漏掉对公比是否为1进行讨论而致错． 4、作业 1．已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－，若Sk＝－，则k＝ (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 2．(2024·酒泉高二期中)正项递增等比数列{an}，前n项和为Sn，若a2＋a4＝30，a1a5＝81，则S6＝ (　　) A．121 B．364 C．728 D．1 093 3.在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和Sn. 学科网（北京）股份有限公司 $