4.3.2 第2课时等比数列的前项和的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学 选择性必修第二册 第二课时 等比数列的前n项和的应用 明学习目标 知结构体系 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系， 课标 并解决相应的问题， 前n项和在平面图形中的应用 要求 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用. 等比数列前n项 3.能用分组转化方法求数列的和 前n项和的实际应用 和的应用 数列求和问题 重点 重点：等比数列的综合问题及分组转化求和. 难点 难点：等比数列的综合问题！ 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一等比数列前n项和在几何图形中的 对点训练 应用 如图，已知△ABC的面积为 [典例]把一个边长为1的正方形等分成九个全： 4,连接△ABC三边的中点构 等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图： 成第二个三角形，再连接第 ①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的 二个三角形三边的中点构成 B 小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图 第三个三角形，依此类推，第2020个三角形的面 ②)；如此继续下去： 积为 ( A.2017 B.4208 C.2o D 题点二等比数列前n项和在增长率中的应用 图① 图② 图③ [典例]小华准备购买一部售价为5000元的手 (1)图③中共挖掉了 个正方形： 机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付 (2)第n个图形共挖掉了 个正方形，这 清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1 些正方形的面积和是 次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12 个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月 [拓展] 本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形 利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期 付款金额是多少.（参考数据：1.00812≈1.10） 面积之和趋近于多少？ g…/方法技巧/… (1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等 …/方法技巧/… 都是等比数列问题； 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等 (2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出 比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解， 数列模型，利用数列知识求解， 26 第四章数列 对点训练 ①求数列{a2"(c2”一1)}的通项公式； 某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有 ②求2a,c,(n∈N*) 学生b人，以后学生人数年增长率为4.9%.该校 今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧： 设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数： 量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x: 套旧设备. (1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比： 率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备 是多少套？ (2)依照(1)的更换速度，共需多少年能换完所有 需要更换的旧设备？ 下列数据供计算时参考： /方法技巧/ 分组法求数列的前n项和的方法技巧 1.19≈2.36 1.00499≈1.04 如果一个数列是等差数列与等比数列的代 1.110≈2.60 1.004910≈1.05 数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求 1.11≈2.85 1.00491≈1.06 和」 对点训练 1.若数列{an}的通项公式为am=2m十2n一1，则数 列{an}的前n项和为 ( A.2m+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2m+1+n2-2 D.2m+n-2 2.已知数列{an}满足a1=1,a+1= (an十1，n为奇数， an十2，n为偶数. (1)记bn=a2,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项 公式. (2)求{an}的前20项和， 题点三利用分组求和法求数列的前n项和 [典例]设{an}是等差数列，{bn}是等比数列.已 知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4. (1)求{am}和{bn}的通项公式； 11,2<n<2k+1 (2)设数列{cn}满足c1=1,cn= 其 b5,n=2, 中k∈N*. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0,2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8, cn=an十bn,若数列{cn}是1,1,2，…，则数列{cn} S6=7,则a7十ag十ag等于 () 的前10项和为 ( A.978 B.557 C.467 D.979 A.8 c D. 27 数学选择性必修第二册 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：： 一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为 “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八； 前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最 十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共 后一天走了 () 挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上 A.6里 B.12里 一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ( C.24里 D.96里 A.1盏 B.3盏 6,设S。为数列e,的前n项和，若(n∈N是 C.5盏 D.9盏 非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列 4.中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题： {cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且 “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减 数列{cn}是“和等比数列”，则d= 一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔 细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第 温馨提示 请做课时分层检测（十） 第三课时 数列的综合问题 明学习目标 知结构体系 课标 1.能用裂项相消法，错位相减法求和。 分组转化法 要求 2.体会数列与不等式等综合问题. 错位相减法 重点 重点：裂项相消法，错位相减法求和. 数列求和 难点 裂项相消法 难点：放缩法的应用， 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 :[典例]设Sm为等差数列{an}的前n项和，已知 题点一 裂项相消法求和 S3=a7,a8-2a3=3. 几种常见的裂项方式 (1)求am; 数列 (2)设6。=求数列6，的前n项和了 裂项方式 (n为正整数) {o} (k为非零常数) {n} /方法技巧/ {a+a} 1 =√n+I-√a 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每 n+√n+I 一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除 了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能 {o(+)} og.（+元）=logn+1D-logn 前后正负相消，进而求出数列的前n项和，使用 (a>0,a≠1) 此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些 项，一般未被消去的项有前后对称的特点。 28[拓展] 解设软列6的公比为，首项为，则S,5一3,53…599[依题意得三三n十分，即S,=十当≥2时 8 成等比数列，Sn=2,S2n-Sn=4,故g=2. 所以Sn= 11一g)=2,故得一g 1-g 。2即g-2 3 s.-411g2）_0-g1=-2×1-16)=30. 当=1时a=5=合=2m，所以=2ma 1-9 1-9 -=32=9,可知{bn}为等比 对点训练 N),则6，=3。+片=3，由1-3+ 32m 解设数列{an}的首项为a1,公比为q, 数列，6=32x1=9,故T,=9(1g92_99.] 所有奇数项、偶数项之和分别记作S专，S偏， 一9 8 由题意可知，S海十S偏=4S编，即S专=3S福 第二课时等比数列的前项和的应用 因为数列{a,}的项数为偶数，所以有g一3了 :关键能力·合作探究 !题点一 又因为a1·a19·a192=64,所以a·g=64,即a1=12, [典例们解析(1)设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1=1,a2 -2 故所求通项公式为an=12X ()=4×（号）】 a1=8a%a2=82,…,an-an-1=8”-1,所以an=1十8十82+…十 8-1 8”,一，故题图@中光抢掉78→73个正方形 () (2)由(1)知，第n个图形共挖掉了8”一个正方形.由于原正方形的 题点三 [典例]解(1)设等比数列{b,}的公比为g(g>0).由b=1,b= 边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1× ()广+8x b十2，可得g°-9一2=0.因为9>0，可得9=2，故bn=2”-1,所以 1—2” T,=2=2”-1.设等差数列{a,}的公差为d.由6=a十a,可 ()+×（传）++8x(传）产 [()] 得a1十3d=4①.由b5=a1十2a6,可得3a1十13d=16②.联立 1-8 ①②解得a1=1,d=1,故a,=n,所以Sn=nn十1 2 1- 2)1),有7+T十…+T,=(2+22+…+2”)-n=20?） (受 1-2 答案78(28,1-（号) 7 1-n-2.由S十(T十T2十…十T)=4十46，可得22十！[ 2 2+1-n-2=n十2m+1,整理得n2一3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍 解由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为S,则Sn=1一 去).所以n的值为4， 对点训练 (号）”，由于一直继续下去，即n无限增大时，（号）”无限趋近于 解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为b2=4,所以a2=2log2b2 0,此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. =4,所以d=a2一a1=2,所以am=2十(n-1)X2=2n.又am= :对点训练 B[观察题图可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的 2og2b,即2n=2log2bn,所以n=log2bn,所以bn=2”. (2)由(1)bn=2"=2·2m-1=agm-1,即bn是数列{an}中的第2m-1 ,设第n个三角形的面积为a,剥数列{a,}是首项为a=小，公北 项，设数列{an}的前n项和为Pn,数列{bn}的前n项和为Qn,因为： b,=a2i=a1,b%=ag=a12%,所以数列{cn}的前100项是由数列： 为子的等比数列,=4x(）=（宁）》 ,·第2020个 {an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的，所以S1= 2018 P17-Q,=107×(2+2142-28 1-2=11302. 三角形的面积为a2020= 4)=] !题点二 素养演练·提升技能 [典例]解法一设小华每期付款工元，第k个月未付款后的欠款 1.D[,a1十a2+…十an=2m-1,∴a1=2-1=1. 本利为A。元，则： ,a1十a2=1十a2=22-1=3,.a2=2,.{an}的公比为2.∴.{a}的 A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x, 公比为4，省项为=1，+时十…+2-i1P号2.] A1=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0081-1.0082x-x, 1-4 …, 2.A[设等比数列(a,}的首项为a1,公比为qg≠1)，1g) A12=5000×1.00812-(1.008°+1.0088+…+1.0082+1)x=0, 1-9 解得x= 5000×1.00812 3×442g2=2,2a-a4=2a,-aeg=2a,-2a=0.故 1+1.0082+1.008+…+1.00810 1-9 5000×1.00812 1-(1.0082)6 ≈883.5. 选A.] 3.A[法一设等比数列{an}的公比为q,则由等比数列的前n项和！ 1-1.0082 公式得 故小华每期付款金额约为883.5元. 1S=112=4.① 法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为A 1一q 元，则： @÷①得1+可=号，解得g=之代入 A2=x: s,=12）=6.@ A1=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082): 1-9 A;=A1(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0081): @得，8，所以5109：g鬥=8X 1-q A12=x(1+1.0082+1.0081+1.008+1.0088+1.0081). （1-日）=，故递A 年底付清欠款，.A2=5000×1.00812, 即5000×1.00812=x(1+1.0082+1.0081+.+1.00818), 法二等比数列{an}的前n项和有如下的性质：S2,S1一S2,S； 51，…成等比数列，且公比g-3、5=之：期s一5=(5，S)· 5000×1.00812 六1=1+1.0082+.008+…+1.0080≈883.5. 故小华每期付款金颜约为883.5元. g=6-0×令-1.所以5，=+(S,一S)+(S,-S)=4+2+1=对点训练 解(1)设今年有学生b人， 7.故选A.] 则10年后学生人数为b(1十4.9%)10≈1.05b. 4.C[设等比数列{an}的公比为q,因为Sn-S,=gSn,所以S1o一 由题设可知，1年后的设备数量为a×(1十10%)一x=1.1a一x. S=qS5,所以6-2=2g,所以g=2,所以a16十a17十a18十a18十 2年后的设备数量为(1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x ax=aiq!s+aql5+a3ql5 +aql5+asq!s=ql5 (a +az+as +a+i x=1.1a-x(1+1.1). a5)=g15S5=23×2=16.] 146 10年后的设备数量为a×1.110-x(1十1.1十1.12十…十1.1")= 第三课时数列的综合问题 ax1.10-x.1x011≈2.6a-16 :关键能力·合作探究 1-1.1 !题点一 由题老得2-2·云得=壶 :[典例]解(1)设数列{a,}的公差为d, 1.05b 所以每年应更换的旧设备是品套， 由题意得3a1十3d=a1+6d, l(a1+7d)-2(a1+2d)=3, 解得a1=3,d=2, (2)金部更换日设各还需(3）÷品-16（年）. .am=a1+(n-1)d=2n+1. 所以按此速度全部更换旧设备还需16年。 (2)由(1)得S,=a1+u,d 题点三 [典例]解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{6，}的公比为g. =n(n十2)， 题意得得解开侣： 6-十2(日) 故am=4+(n-1)×3=3n十1，b,=6×2m-1=3×2”. .Tn=b1十b2十…十bn-1十bn 所以{an}的通项公式为a,=3n十1，{bn}的通项公式为bn=3×2”. [(-专)+（合子）+…+（片中）+（日 4”-1. 所以数列{a2n(c2n一1)}的通项公式为a2n(c2”一1)=9×4”一1. 川 (+市) 1 = @,2ac,=a+ac,-1] 31 1 =2,+2a-D =（市+干） !对点训练 =「2×4+2(2卫x31+2(9×4-1D 解(1)设等差数列{an}的公差为d, 2 」=1 =3×22-1+5×2l)+9×40二40）-n ; 1一4 因为③ na+un Dd 2 =a1+(-1)号， =27×22m-1+5×2-1-n-12(n∈N"). 对点训练 所以{倍}为一个学装数到 1.C[a,=2十2n-1,设bn=2”,c=2n-1,易知{bn}为等比数列， {cn}为等差数列，且b1=2,g=2,cC1=1.则数列{an}的前n项和为 所以器品号-1，所以d=2 2(1-2”)+1+2n-12=2m+1-2+n2.] 1-2 2 故S=n,所以5，=。 2.解(1)由题意，得b1=a2-a1十1=2，b,=a1-a3十1=a2十2十1-5. 1 易得a2m+2=a2n+1十1，a2m+1=a2m十2， (2)因为 111 所以a2n+2=a2n十3，即b,+1=bn十3， 5,S(m+7市 所以bn=2十3(n-1)=3-1. (2)由(1)可得a2m=3n1,am-1=a2m-3十2=b。-1十2=3n-2. 所以=()+（位号）++（日市）=1本 所以a19=3×10-2=28,a20=3×10-1=29. 2 所以{an}的前20项的和为(a1十a4十…十a1)十(a2十a十…十ao) n+1 =1+28×10+2+29×10=30. !题点二 2 2 ![典例]解(1)设等比数列{an}的公比为g. 素养演练·提升技能 "a1,3a2,9a3成等差数列， 1.A[设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d.cn= （a1+b1=1, ∴6a2=a1十9ag,即6g=1+9g2,解得g=3 （a1=1, an十b,.{a2十b=1,解得}d=-1,∴.cn=2m-1+(1一n),.{cn} (a3十b3=2,（q=2, .an= (兮)6学-（兮） 的前10项和为2+10X09》=978.故选A.] 1-2十 1- ()1-() 2 (2)证明由(1)得，Sn 2.A[因为a?+ag十a4=S-S6,且S3,S6-S4,S,-S也成等比！ 数列， 1 即8，一1，S,一S6成等比数列， 所以8(S-S)=1, 即S,-S6=8’ 位专×（付 所以a,+as+a,-合] 工.=1×（号）+2×（号）广+3x(兮）+…+a(告)”：① 3.B[设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S?,公比为g,则由： 则号T.=1×(分)+2×（分）+3×（分）+…+ 题意知S,=381,9=2,∴5，=11g)_011-2） 1一9 1-2 =381,解得a1 =3.所以塔的顶层共有灯3盏.] 4.A[由题意可得，每天行走的路程枸成等比数列，记作数列{an},设！ ①-®，得号1，=（兮）+（传）'+（传）+…+（仔） 等此数列a,}的着项为a1,公比为g剥g=合依题意有g2 1-9 =378,解得a1=192.则a,=192×(）=6,最后-天走了6里.：” 】)学( 18 故选A.] 5.4[由题意可知，数列{G,的前n项和S。”G十，前2m项和 2 2n(c1十c2m） 子-子×(3)，且3+2m>3. S=2G,c,所以 2 2nd 2 n(c1十cn) =2十阳-2十当n为正整时，工<受 ·对点训练 1+1所以当-4时， 2 ,三为非零常教，则数列{c}是“和等北数解1)设{a,的公北为g: 由题意知：a1(1十9=6，aiq=a1g2, nd 列”，故d=4.] 又am>0, 解得：a1=2,g=2,所以an=2”. 147