专题1.3 数列通项与求和核心技巧归纳（重难专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题1.3数列通项与求和核心技巧全归纳 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：数列是高考数学的核心考点，命题形式灵活多样，覆盖基础与综合应用。小题侧重考查等差、等比数列的基本概念、性质及递推关系，常与函数、导数等知识融合，体现综合性趋势。解答题难度多为中等或略高。此类题目通常先考查数列通项和数列基本性质，继而深入至求和问题，并与不等式、函数、最值等交织融合。在掌握等差、等比数列求和的基础上，重点考查“裂项相消”“错位相减”等进阶求和方法，尤其强调“放缩法”的运用与思想渗透。同时，数列与数学归纳法的结合亦具考查潜力，值得重点关注与准备。 预测2026年：考向01 公式法求通项 考向02 递推法求通项 考向03 累加法求通项 考向04 累乘法求通项 考向05 构造法求通项 考向06 公式法求和 考向07 分组转化求和 考向08裂项相消求和 考向09 错位相减求和 考向10综合解答 考向01 公式法求通项 是等差数列； 是等比数列； 是常数列（或任一已知项） 经典例题： 1．(2025·河北·模拟)在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 2．(2025·福建龙岩·模拟)已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 3．已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．在数列中，，点在直线上，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．(2025·海南·模拟)已知数列满足，且对任意的，都有，则（   ） A． B． C． D． 6．(2025·陕西·模拟)已知是公比为2的等比数列，是公差为4的等差数列，若，则的通项公式为 ． 7．(2025·河南·模拟)已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．(2024·上海·模拟)已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ． 9．(2024·福建·模拟)已知数列满足：，若，则 ． 10．(2026·广东佛山·模拟)（多选）已知数列是公比为的等比数列，满足，则（   ） A． B． C． D．数列为递减数列 变式训练： 1．(2025·北京·模拟)已知是等差数列，且，则的通项公式 . 2．(2025·福建·模拟)已知等比数列的前3项和为39，且，则 . 3．(2025·河南·模拟)已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 4．(2023·宁夏·模拟)在数列中，，，则 . 5．(2024·内蒙古·模拟)已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A．110 B．200 C．65 D．155 6．(2025·辽宁·模拟)已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．(2025·安徽江淮·模拟)已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 8．(2026·黑龙江·模拟)（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 考向02 递推法求通项 在处理含，的式子求数列的通项时，可用公式构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）. 另外有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解 经典例题： 1．已知数列的前项和，，则 . 2．(24-25·福建·模拟)设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24·江西南昌·三模)已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．15 4．若数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 5．在数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ） A． B． C． D． 6．(23-24·浙江·二模)记为非零数列的前项和，若，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．设正数数列的前项和为，且，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．单调递增 D．单调递增 8．（2024·贵州贵阳·三模）设数列的前项之积为，满足，则（ ） A． B．4049 C． D． 变式训练： 1．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 2．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 3．已知数列的前n项和为，且满足，，则 . 4．已知数列满足，则的通项公式为 . 5．(24-25·山东·模拟)已知数列的前项和为，且满足，则 6．(24-25·河南·模拟)已知数列的前n项和为，若和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作，，且，则 ． 7．(24-25·河南·三模)已知数列的前n项和是，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．已知正项数列的前项和为，且，则（ ） A．4049 B．4047 C．2025 D．2024 9．(24-25·河南·模拟)记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 ． 10．(25-26·陕西西安·二模)已知各项均不为零的数列的前项和为且，则（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 考向03 累加法求通项 遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验． 经典例题： 1．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列满足，且对任意，有，则 . 2．已知在数列中，，，则数列的通项公式为 ． 3．(24-25·江西·模拟)已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25·重庆·模拟) （多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C．数列的前n项和的值可能为 D． 变式训练： 1．已知，，则通项公式 . 2．若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 . 3．（多选）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，且，则 . 5．（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（   ） A． B．是等差数列 C．为偶数 D． 6．（多选）南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式，后人经常利用“三角垛”解决现实中的堆垛问题．现有一堆货物，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，前n层货物的总数为，则下列说法正确的是（   ） A． B．集合中共有25个奇数 C．设，则的前100项和为2550 D． 考向04 累乘法求通项 遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验． 经典例题： 1．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 3．在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 . 4．设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D．-2025 5．（多选题）已知数列满足，（且），则（ ） A． B． C． D． 6．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 7．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列数列的前n项和 ． 变式训练： 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 3．（高三上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 4．已知数列满足，则的最小值为 ． 5．已知数列满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．4045 D．4047 6．(24-25·浙江宁波·模拟)已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．已知数列的首项，前n项和，满足，则（ ） A． B． C． D． 8．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 9．已知是数列的前项和，，，则 . 10．已知数列满足，．数列的通项公式是 ． 11．已知数列，，且，则 . 考向05 构造法求通项 遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式： （1）形如（其中均为常数且）型的递推式 ①若时，数列{}为等差数列； ②若时，数列{}为等比数列； ③若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题； （3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题． 经典例题： 1．(2025·甘肃·模拟)（多选）已知数列满足，则（    ） A．是等差数列 B．的前项和为 C．是单调递增数列 D．数列的最小项为4 2．(2024·湖北·模拟)已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．(2025·江苏南京·模拟)（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 4．(2025·山东潍坊·模拟)（多选）已知数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 5．(2024·云南·模拟)记数列的前项和为，若，则 . 6．(2024·江西·模拟)已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(2022·四川宜宾·模拟)在数列中，，，且满足，则 . 8．(2023·山东泰安·模拟)数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是 ． 9．(2024·广东深圳·模拟)已知正项数列的前项积为，且满足，则 . 10．(2024·湖南衡阳·模拟)已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为 . 变式训练： 1．已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．(2023·四川乐山·模拟)已知数列满足，，则 ． 3．已知数列，则数列的通项公式 ． 4．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 6．已知数列的前项和为，且，则 . 7．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 8．已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 . 9．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 10．(2025·河南·模拟)设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 11．(2024·江苏徐州·模拟)已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 12．（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ） A．16 B．32 C．64 D．128 考向06 公式法求和 等差数列的前n项和公式：. 等比数列的前n项和公式： 经典例题： 1．(2026·甘肃·模拟)已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．13 B．14 C．16 D．20 2．(2026·云南·模拟)已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．20 B．55 C．110 D．220 3．(2026·四川·模拟)在等差数列中，是其前n项和，若，，则（    ） A． B．5 C．10 D．15 4．(2026·江西·模拟)已知正项等比数列的前项和为，，，则 ． 5．(2025·黑龙江·模拟)等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则 ． 6．(2026·安徽·模拟)在等比数列中，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（  ） A．550 B．450 C．1100 D．900 8．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（    ） A．1033 B．2057 C．1034 D．2058 9．(2026·广东·模拟)设数列满足，若，则数列的前8项和为（   ） A．255 B．256 C．511 D．510 10．(2026·云南·模拟)（多选）记等差数列的公差为，前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选）已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．(2026·四川·模拟)已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．48 B．63 C．80 D．96 2．(2026·陕西·模拟)记为等差数列的前项和.若，则 3．(2026·河北·模拟)已知数列为等差数列，为的前项和，若，则 ． 4．(2026·上海·模拟)等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则 . 5．(2025·浙江·模拟)等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 6．(2025·江苏·模拟)已知递增等比数列的前项和为，若，则 ． 7．(2026·浙江·模拟)已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 8．(2026·广东·模拟)已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 9．(2026·辽宁·模拟)等比数列满足，，记的前项和为，则（   ） A．510 B． C．或264 D．510或 10．(2026·辽宁·模拟)（多选）公比为的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．(2026·广东·模拟)（多选）已知是等差数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．当或时，取最大值 D．的最小值为0 考向07 分组转化求和 分组转化法求和的常见类型： （1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和； （2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和； （3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题． 经典例题： 1．在数列中，，则等于（    ） A．445 B．765 C．1080 D．3105 2．(2025·湖北·模拟)已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 3．(2024·宁夏·模拟)在数列中，，，，则的前20项和（    ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 15．（多选）已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（    ） A． B．数列是以2为公比的等比数列 C．对任意的， D．的最小正整数n的值为15 4．(2025·北京·模拟)已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．41 D．9 5．(2025·湖北·模拟)已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 6．(2025·辽宁·模拟)已知公比大于1的等比数列满足，.设，则当时，数列的前项和 . 7．(2024·浙江杭州·模拟)设数列满足．设为数列的前项的和，则（   ） A．110 B．120 C．288 D．306 8．(2025·陕西西安·模拟)如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（    ） A．2290 B．2540 C．2650 D．2870 变式训练： 1．(2025·广东·模拟)已知数列满足，，则数列前2025项和为（   ） A．1013 B．-1011 C．1014 D．-1012 2．(2024·辽宁沈阳·模拟)已知数列，且，则数列的前2024项之和为（    ） A．1012 B．2022 C．2024 D．4048 3．(2023·湖南长郡·模拟)已知数列满足：.则的前60项的和为（    ） A．1240 B．1830 C．2520 D．2760 4．数列满足，前12项和为158，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．(2025·江苏常熟·模拟)已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 6．在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．(2025·上海长宁·模拟)已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为 . 8．数列的前项和为，若，则 . 9．(2025·河南漯河·模拟)数列满足，若为数列的前项和，则 . 10．(2025·浙江·模拟)北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考向08 裂项相消求和 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）． 经典例题： 1．已知数列的前项和，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 2．(2025·江苏南京·模拟)已知等差数列的前和为，，，则（   ） A． B． C． D． 3．等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，，若成立，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．(2024·浙江·模拟)已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 7．(2025·广东·模拟)已知数列的前项和为，则数列的前项和 . 8．已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．3 9．(2025·山东·模拟)已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（    ） A． B． C． D． 10．(2024·重庆·模拟)（多选）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（    ） A． B．数列中的最大项为 C． D． 变式训练： 1．已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（    ） A． B． C． D． 2．(2023·河南·模拟)已知数列中，，，则数列的前10项和（  ） A． B． C． D．2 3．(2024·四川·模拟)设数列满足，若，则的前99项和为 . 4．(25-26高三·江苏淮安·调研)已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 5．已知等差数列的公差大于0且，若，则（    ） A． B． C． D． 6．(2024·湖南·模拟)在的展开式中，若的系数为，则 . 7．(2024·山西·模拟)已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 ． 8．(2024·云南昆明·模拟) （多选）已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为： C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列 考向09 错位相减求和 用错位相减法求和时的注意点： （1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 经典例题： 1．(2024·陕西铜川·模拟)已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和 . 2．(2025·山西·模拟)数列满足，，，则数列的前n项和是 ． 3．(2022·内蒙古·模拟)已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和 . 4．(2022·内蒙古·模拟)已知数列满足，且，则 . 5．(2024·陕西西安·模拟)已知数列和数列，，.设，则数列的前项和 . 6．(2023·山东青岛·模拟)设表示不超过的最大整数（例如：，），则（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．(2022·陕西汉中·模拟)已知数列满足，，则数列{}的前9项和为 ． 2．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(2023·河南·模拟)已知数列满足，则 . 4．(2025·河北沧州·模拟)已知为数列的前项和，且，若，则 ． 5．(2025·河北·模拟)已知数列满足，设为数列的前项和，则 ． 11．(2025·河北·模拟)已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 12．(2025·安徽·模拟)已知数列满足，则 . 考向10 综合解答 近三年新高考数列解答题在求通项和求和问题上，摒弃了单纯的死记硬背，转而以“新定义”或复杂递推式为载体，重点考查考生通过构造法、待定系数法求通项，以及运用错位相减、裂项相消等技巧进行运算求解和逻辑推理的综合能力。 经典例题： 1．设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 2．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．(2026·甘肃·模拟)已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．(2024·河北·模拟)已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 5．在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 6．(2026·新疆·模拟)已知正项数列满足，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列中第2项，第4项，，第项构成新数列，记的前项和为，求. 7．(2026·江苏·模拟)已知数列的首项，且满足. (1)证明：是等差数列； (2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 变式训练： 1．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 2．(2022·新高考全国I卷·真题)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 3．(2026·河北·模拟)已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 4．(2025·河北邯郸·模拟)已知正项数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5．(2026·四川成都·模拟)已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 6．(25-26高三上·广东江门·二模)已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 7．(2025·宁夏·模拟)已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 2．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 3．设为数列的前项和，且，则（ ） A． B．2024 C． D．0 4．数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 5．若数列满足，的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 6．设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（  ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 10．已知数列满足，，，为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 11．(2025·山东济宁·模拟) （多选）已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知数满足，则数列的通项公式 ． 13．数列满足，则数列的通项公式为 . 14．在首项为1的数列中，则 . 四、解答题 15．记为数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 17．已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3数列通项与求和核心技巧全归纳 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：数列是高考数学的核心考点，命题形式灵活多样，覆盖基础与综合应用。小题侧重考查等差、等比数列的基本概念、性质及递推关系，常与函数、导数等知识融合，体现综合性趋势。解答题难度多为中等或略高。此类题目通常先考查数列通项和数列基本性质，继而深入至求和问题，并与不等式、函数、最值等交织融合。在掌握等差、等比数列求和的基础上，重点考查“裂项相消”“错位相减”等进阶求和方法，尤其强调“放缩法”的运用与思想渗透。同时，数列与数学归纳法的结合亦具考查潜力，值得重点关注与准备。 预测2026年：考向01 公式法求通项 考向02 递推法求通项 考向03 累加法求通项 考向04 累乘法求通项 考向05 构造法求通项 考向06 公式法求和 考向07 分组转化求和 考向08裂项相消求和 考向09 错位相减求和 考向10综合解答 考向01 公式法求通项 是等差数列； 是等比数列； 是常数列（或任一已知项） 经典例题： 1．(2025·河北·模拟)在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 ，所以，即，所以 ； 所以 ，得到.故选：B. 2．(2025·福建龙岩·模拟)已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，因为，所以 ,则.故选B 3．已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得：，数列为等差数列，又，，数列的公差，，，.故选：C. 4．在数列中，，点在直线上，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【详解】∵点在直线上，∴.又，∴数列是以首项为1，公比为2的等比数列，∴.故选：B. 5．(2025·海南·模拟)已知数列满足，且对任意的，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，且，则，所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，则，，所以.故选：C 6．(2025·陕西·模拟)已知是公比为2的等比数列，是公差为4的等差数列，若，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题意，，则，即，则的通项公式为.故答案为： 7．(2025·河南·模拟)已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列.则，即，由，得，所以.故选：B 8．(2024·上海·模拟)已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由知，当时，；当时，，此时，当时，，当时，，而，若数列是等差数列，则， 所以，则.故答案为：. 9．(2024·福建·模拟)已知数列满足：，若，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，则，，又，则数列是以4为首项，公比为4的等比数列，数列是以2为首项，公比为2的等比数列，所以①，②，①②联立得，所以．故答案为： 10．(2026·广东佛山·模拟)（多选）已知数列是公比为的等比数列，满足，则（   ） A． B． C． D．数列为递减数列 【答案】ACD 【详解】由题意有：，故A正确，B错误；所以，所以，故C正确；由，所以数列为递减数列，故D正确. 故选：ACD. 变式训练： 1．(2025·北京·模拟)已知是等差数列，且，则的通项公式 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，由，因代入解得， 故.故答案为：. 2．(2025·福建·模拟)已知等比数列的前3项和为39，且，则 . 【答案】 【详解】依题意可得,解得,,所以,. 故答案为： 3．(2025·河南·模拟)已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即，则．故选：A． 4．(2023·宁夏·模拟)在数列中，，，则 . 【答案】 【详解】依题意，，，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以.故答案为： 5．(2024·内蒙古·模拟)已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A．110 B．200 C．65 D．155 【答案】B 【详解】因为，所以是以为公差的等差数列，又，所以， 故，所以，故选：B 6．(2025·辽宁·模拟)已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列，故.故选：D. 7．(2025·安徽江淮·模拟)已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 【答案】A 【详解】设的公差为，的公差为，，解得，所以，，因为数列也是等差数列， 所以，即，解得（舍去）或， 所以，.故选：A 8．(2026·黑龙江·模拟)（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【详解】因为，所以，又所以数列是首项为9,公差为-3的等差数列. 记公差为d,则,所以,.选项A：.所以选项A正确.选项B：因为公差为-3，所以数列是递减数列.所以选项B错误. 选项C：当，即.所以选项C正确.选项D：,所以在时单调递增，在时单调递减.因为,所以当或时，取得最大值，最大值为18.所以选项D正确.故选：ACD. 考向02 递推法求通项 在处理含，的式子求数列的通项时，可用公式构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）. 另外有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解 经典例题： 1．已知数列的前项和，，则 . 【答案】. 【详解】当时，，当时，， 故，综上所述.故答案为：. 2．(24-25·福建·模拟)设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列中，由，得，整理得，则，数列是以为首项，1为公差的等差数列，于是，即，而满足上式，因此，，，ABD错误，C正确.故选：C 3．(23-24·江西南昌·三模)已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．15 【答案】B 【详解】因为，且，则，化简可得，若，则，且，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，则，排除D；若，则，即，且，则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以，则，排除A；再由，计算，，即，解得或，取，，即，解得或，取，，即，解得或，取，，即，解得或，取，此时，排除C；故选：B 4．若数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， ，，；当时，，解得：，不满足，；当时，，又满足，.故选：D. 5．在数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，∴． ∵，∴，∴，∴是以1为首项，4为公比的等比数列． ∴．故选：D． 6．(23-24·浙江·二模)记为非零数列的前项和，若，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】，则.即.,， .故.故选：B. 7．设正数数列的前项和为，且，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．单调递增 D．单调递增 【答案】D 【详解】依题意可得：，.因为，所以当时，，即，解得，当时，，整理得：，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.从而， .因为当时，，当时，.也适合上式，所以，故选项A、B错误，选项D正确.因为，所以选项C错误.故选：D. 8．（2024·贵州贵阳·三模）设数列的前项之积为，满足，则（ ） A． B．4049 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，所以，所以是公差为的等差数列，因为，所以，所以，所以，故选：C. 变式训练： 1．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【详解】由，可得时，；当时，．此时，当时，，综上,． 故答案为：． 2．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【详解】由得，时，，两式相减得，所以当时，是公比为3的等比数列，而，则，由不满足上式，所以. 3．已知数列的前n项和为，且满足，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以，所以是等差数列，公差为3，又，所以，即.故答案为：. 4．已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，，当时，，两式相减得，解得，而，即满足上式，所以的通项公式为.故答案为： 5．(24-25·山东·模拟)已知数列的前项和为，且满足，则 【答案】 【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列，则，所以， 当，则，显然满足上式，所以.故答案为 6．(24-25·河南·模拟)已知数列的前n项和为，若和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作，，且，则 ． 【答案】 【详解】设，故， 两式相减可得，由于为公差的等差数列，故，结合，且，均不为0，故，所以，， 故，解得，故，故答案为. 7．(24-25·河南·三模)已知数列的前n项和是，若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】若，，则当时，，两式相减可得，当时，，解得，当时，，解得故选：D. 8．已知正项数列的前项和为，且，则（ ） A．4049 B．4047 C．2025 D．2024 【答案】A 【详解】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，即，则，当时，；所以.故选：A. 9．(24-25·河南·模拟)记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 ． 【答案】 【详解】由题设，可得，即，又为等比数列，若公比为，则，故，所以，则，所以.故答案为： 10．(25-26·陕西西安·二模)已知各项均不为零的数列的前项和为且，则（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【答案】A 【详解】当时，由，可得，因为各项均不为零，所以，可得，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以.故选A. 考向03 累加法求通项 遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验． 经典例题： 1．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列满足，且对任意，有，则 . 【答案】 【详解】依题意，，，，，……，，， 上述个式子相加得.故答案为： 2．已知在数列中，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】若中有一个为0，则得：，此时有，由，则，令带入中，得出，解得：与矛盾，所以，由得：，即，所以， ，，，，将上面式子累加得， 即,所以，所以，故答案为：. 3．(24-25·江西·模拟)已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，知，所以，即，故，又适合上式，故．故选：C. 4．已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当时，，两式相减得到，即，又，得到，所以数列是以，的等比数列， 所以，则，当时，， 所以，又时，满足，故选：A. 5．(24-25·重庆·模拟) （多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C．数列的前n项和的值可能为 D． 【答案】ACD 【详解】由题意得，累加得，也适合，故，则，A正确；，B错误；，设数列的前n项和为，所以，当时，，C正确；，D正确，故选：ACD. 变式训练： 1．已知，，则通项公式 . 【答案】 【详解】因为，即，故，，，，，以上各式相加得.又，所以，而也适合上式，故. 2．若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 . 【答案】 . 【详解】由题意可知，所以，又满足上式，所以 .故答案为： . 3．（多选）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以，解得，故A错误；当时，， 则，且也符合，故B正确；，故C正确；，则，故D正确.故选：BCD 4．已知数列满足，且，则 . 【答案】 【详解】由题得，当时，符合题意，所以，故答案为：. 5．（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（   ） A． B．是等差数列 C．为偶数 D． 【答案】ABD 【详解】根据题意，当时，，累加得，，易知也满足，所以，，故A正确；，故B正确；为奇数，故C错误；，，，，即，故D正确；故选：ABD. 6．（多选）南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式，后人经常利用“三角垛”解决现实中的堆垛问题．现有一堆货物，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，前n层货物的总数为，则下列说法正确的是（   ） A． B．集合中共有25个奇数 C．设，则的前100项和为2550 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，依题意，且，所以，当时，，从而，故A正确；对于B，当时，，此时为奇数；同理当时，为奇数；当时，为偶数；当时，为偶数，所以集合中共有24个奇数，故B错误；对于C，设的前n项和为，因为，则，故C正确；对于D，由，知故，所以，故D正确．故选：ACD． 考向04 累乘法求通项 遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验． 经典例题： 1．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【详解】在中，取，可得，代入解得，又由可得，于是， 故.故选：B. 2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以，所以，即①．又因为②，①②两式相乘，得．故选：A． 3．在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由于数列中，，前项和，所以当时，， 两式相减可得：，所以，，所以，所以，所以，符合上式，因此.故答案为： 4．设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即，因此； 因此，可得， 所以.故选：B 5．（多选题）已知数列满足，（且），则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，，当时，．A选项正确，当时，，两式相减得，即，即，B选项错误，，，…，，累乘得，C选项错误，．又符合上式，故，D选项正确.故选：AD 6．已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【详解】因为数列为正项等差数列，则，即， 可得，，，，累乘可得.故选：B. 7．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列数列的前n项和 ． 【答案】． 【详解】因为，所以，则，则， ，当时，，当时，，综上：，所以，所以数列的前n项和为：， 故答案为： 变式训练： 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为，，所以，，，…，，累乘得，，，所以，， 由于，所以，，，显然当时，满足，所以，，故答案为：. 3．（高三上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 【答案】 【详解】因，故有，即得，所以．故答案为：. 4．已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以，当时，，因为时，，所以，因此当或时，取得最小值，为.故答案为：. 5．已知数列满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．4045 D．4047 【答案】C 【详解】，，即，可得，.故选：C. 6．(24-25·浙江宁波·模拟)已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 7．已知数列的首项，前n项和，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，两式相减得， 所以，所以， 所以，所以，所以.故选：C. 8．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 【答案】n 【详解】∵，∴,当时，,当时，成立，∴，当时，，当时，满足上式， ∴.故答案为：n 9．已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【详解】当时，，即，，则，即，则有，，，，则，当时，，符合上式，故.故答案为：. 10．已知数列满足，．数列的通项公式是 ． 【答案】 【详解】，，当时，，当时， ，两式相减得：，即，， ，，，，累乘得：，所以，，， 故答案为：. 11．已知数列，，且，则 . 【答案】 【详解】且，， .故答案为：. 考向05 构造法求通项 遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式： （1）形如（其中均为常数且）型的递推式 ①若时，数列{}为等差数列； ②若时，数列{}为等比数列； ③若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题； （3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题． 经典例题： 1．(2025·甘肃·模拟)（多选）已知数列满足，则（    ） A．是等差数列 B．的前项和为 C．是单调递增数列 D．数列的最小项为4 【答案】BC 【详解】由，得，因为，所以，从而，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以，所以，所以A错误，B正确；由，易知是单调递增数列，C正确；当时，，当时，，D错误.故选：BC. 2．(2024·湖北·模拟)已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】，令，则，又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，得，所以，∴，由，解得.故选：B 3．(2025·江苏南京·模拟)（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得，所以数列是以为公差的等差数列，而，，所以，得，故A正确；所以，得，故B正确；令，解得，对于，为正，且依次递增；为负，且依次递增，所以，故C错误；，故D正确.故选：ABD 4．(2025·山东潍坊·模拟)（多选）已知数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】数列中，，，则，，整理得，而，因此数列是首项、公比均为的等比数列，B正确；，解得，对于A，，A错误；对于C，，则，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD 5．(2024·云南·模拟)记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【详解】由，得，则，又，则，则，，，，故答案为：. 6．(2024·江西·模拟)已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，由于，即，可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，因为数列是递增数列，可得，即对任意的正整数都成立．当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减，可得，则；当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增，可得，则；综上可得的取值范围是．故选：B ． 7．(2022·四川宜宾·模拟)在数列中，，，且满足，则 . 【答案】 【详解】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以，所以.故答案为 8．(2023·山东泰安·模拟)数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是 ． 【答案】 【详解】，，且，，是以为首项，为公比的等比数列．，．时，，且不满足上式，所以．故答案为. 9．(2024·广东深圳·模拟)已知正项数列的前项积为，且满足，则 . 【答案】 【详解】由题意，且，所以，又，且，所以，则，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，所以.故答案为：. 10．(2024·湖南衡阳·模拟)已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为 . 【答案】7 【详解】因为，两式相减得：，即.两边同除以可得，又，得，满足， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故，即，所以，因为，令，则，所以数列单调递增，因为，所以当时，，即；当7时，，即.所以的最小值为7. 变式训练： 1．已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，即，所以，解得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以． 故选：C. 2．(2023·四川乐山·模拟)已知数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】由得，又，所以，即是等比数列， 所以，即．故答案为：． 3．已知数列，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列，得，即， 故答案为： 4．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，易知，所以，即， 又，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，故，所以.故选：A. 5．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】将两边同时除以，得，即．由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故．故答案为：. 6．已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为，当时，，解得；当时，， 两式相减得，所以，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为： 7．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】数列中，，，显然，则有，即，而，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．故答案为： 8．已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 . 【答案】 【详解】由，则，即，又，则，故数列是以为首项，为公差的等差数列，即，则有，，，，且，故，即，显然均满足.故答案为：. 9．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【详解】因为，，则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列，则，即，可得 ，所以.故答案为：；. 10．(2025·河南·模拟)设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【答案】C 【详解】方法一：数列中，，当时，，两式相减得，即，则，而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即，于是，所以．故选：C 方法二：由题设，则，所以，则，又，则，所以是首项、公比均为的等比数列，则，所以，则. 故选：C 11．(2024·江苏徐州·模拟)已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】数列中，，当时，，则，整理得，即，而，即，因此数列是以为首项，公比为的等比数列，，则，由，知为奇数，此时是递增的，而，，所以正整数k的最小值为13.故选：C 12．（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【详解】由，得，于是，则，两边取对数得，因此，数列是常数列，则，即，所以，.故选：B 考向06 公式法求和 等差数列的前n项和公式：. 等比数列的前n项和公式： 经典例题： 1．(2026·甘肃·模拟)已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．13 B．14 C．16 D．20 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，，所以， ，故选：A 2．(2026·云南·模拟)已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．20 B．55 C．110 D．220 【答案】C 【详解】因为是等差数列，，所以,则．故选C． 3．(2026·四川·模拟)在等差数列中，是其前n项和，若，，则（    ） A． B．5 C．10 D．15 【答案】D 【详解】在等差数列中，，依题意，，即， 两式相减解得，代入得，因此.故选：D 4．(2026·江西·模拟)已知正项等比数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【详解】当公比为1，则，不符合题意，舍去；当公比不为1，，解得：，所以：．故答案为：. 5．(2025·黑龙江·模拟)等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则 ． 【答案】62 【详解】因为，成等差数列，所以，则，解得， 则.故答案为：62. 6．(2026·安徽·模拟)在等比数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，所以，，故，则数列是首项为2，公比为的等比数列，所以．故选A． 7．已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（   ） A．550 B．450 C．1100 D．900 【答案】A 【详解】由等差数列的性质知：，所以数列的前10项的和为: .故选：A. 8．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（    ） A．1033 B．2057 C．1034 D．2058 【答案】A 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列，得，由是以1为首项，2为公比的等比数列，得，因此，所以. 故选：A 9．(2026·广东·模拟)设数列满足，若，则数列的前8项和为（   ） A．255 B．256 C．511 D．510 【答案】A 【详解】因为，则，可得，等号两边取对数可得，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以的前8项和为．故选：A． 10．(2026·云南·模拟)（多选）记等差数列的公差为，前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可得：，解得，故A正确；因为，，所以，故D正确；且，，故BC错误.故选：AD 11．（多选）已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，两式相除得，A正确；又即可得，B正确；，C错误；根据选项A，可知为首相为，公比为的等比数列，所以.D正确. 故选：ABD 变式训练： 1．(2026·四川·模拟)已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．48 B．63 C．80 D．96 【答案】A 【详解】解：设等差数列的公差为，，，所以，解得， 所以，由等差数列前项和公式得.故选：A 2．(2026·陕西·模拟)记为等差数列的前项和.若，则 【答案】100 【详解】因为为等差数列的前项和，设等差数列的公差为.所以，故，又，故，所以.故答案为：100. 3．(2026·河北·模拟)已知数列为等差数列，为的前项和，若，则 ． 【答案】2027 【详解】由等差数列性质知，则．故答案为：2027 4．(2026·上海·模拟)等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，则，所以，整理得到，所以，故答案为：. 5．(2025·浙江·模拟)等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 【答案】15 【详解】由题意可得，解得，因为与的等差中项为，所以，则，得到，解得，故，由等比数列求和公式得. 故答案为：15. 6．(2025·江苏·模拟)已知递增等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】63 【详解】数列为等比数列，设公比为，因为，所以，化简得，解得或者.因为数列为递增的等比数列，所以，所以，将代入方程中解得.所以.故答案为：63. 7．(2026·浙江·模拟)已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，则，则，可得，所以，则，所以.故选：B. 8．(2026·广东·模拟)已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 【答案】A 【详解】依题意，，显然，，则，又，故，所以，由，得，则，解得，所以.故选：A 9．(2026·辽宁·模拟)等比数列满足，，记的前项和为，则（   ） A．510 B． C．或264 D．510或 【答案】D 【详解】等比数列满足，即， ∴，即，∴，当时，. 当时，.所以或.故选：D. 10．(2026·辽宁·模拟)（多选）公比为的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由已知等比数列的公比为，且，，则，解得， 所以，，故选：ABD. 11．(2026·广东·模拟)（多选）已知是等差数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．当或时，取最大值 D．的最小值为0 【答案】BC 【详解】∵，所以，故A错误；∵，∴，∴，，所以，故B正确；由，所以当或时，取最大值，即，故C正确；由，无最小值，故D错误；故选：BC. 考向07 分组转化求和 分组转化法求和的常见类型： （1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和； （2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和； （3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题． 经典例题： 1．在数列中，，则等于（    ） A．445 B．765 C．1080 D．3105 【答案】B 【详解】依题意由可得为定值，因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列，即可得，所以当时，，当时，， 所以. 故选：B 2．(2025·湖北·模拟)已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】D 【详解】设首项为，因为成等比数列，所以，则，解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，当时，，此时令，而其前2025项和为.故选：D 3．(2024·宁夏·模拟)在数列中，，，，则的前20项和（    ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 【答案】C 【详解】设，，则，.由已知可得，，即，所以为以2为首项，2为公差的等差数列，.，即，所以为以1为首项，2为公比的等比数列，.所以，的前20项和.故选：C. 15．（多选）已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（    ） A． B．数列是以2为公比的等比数列 C．对任意的， D．的最小正整数n的值为15 【答案】BD 【详解】由题设可得，因为，，故，所以，所以，所以，因为，故，所以，所以为等比数列，所以即，故，故A错，C错.又，故，所以，即是以2为公比的等比数列，故B正确.，， 故的最小正整数n的值为15，故D正确.故选：BD. 4．(2025·北京·模拟)已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．41 D．9 【答案】B 【详解】由可得，即，所以，两式相除可得；即，由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列，偶数项是以为首项，公比为2的等比数列，所以.故选：B 5．(2025·湖北·模拟)已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，，又，故数列的通项公式为，设数列的前项和为，则，，从到共项，两两一组，可分为组，.故选：. 6．(2025·辽宁·模拟)已知公比大于1的等比数列满足，.设，则当时，数列的前项和 . 【答案】 【详解】由题意可得：，解得或，注意到，则，可得，则，当时，则，即当时，.故答案为：. 7．(2024·浙江杭州·模拟)设数列满足．设为数列的前项的和，则（   ） A．110 B．120 C．288 D．306 【答案】A 【详解】.故选：A. 8．(2025·陕西西安·模拟)如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（    ） A．2290 B．2540 C．2650 D．2870 【答案】D 【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，记第n层球的个数为，则，得， 其中也适合上式，则，在第n堆中，， 当时，，解得.故选：D. 变式训练： 1．(2025·广东·模拟)已知数列满足，，则数列前2025项和为（   ） A．1013 B．-1011 C．1014 D．-1012 【答案】C 【详解】由题意可知，当为偶数时，，因此，数列前项和为.故选：C. 2．(2024·辽宁沈阳·模拟)已知数列，且，则数列的前2024项之和为（    ） A．1012 B．2022 C．2024 D．4048 【答案】C 【详解】当为奇数时，，所以数列的奇数项成首项为，公差为的等差数列.当为偶数时，，所以数列的偶数项成首项为，公差为的等差数列.所以前项和为.故选：C 3．(2023·湖南长郡·模拟)已知数列满足：.则的前60项的和为（    ） A．1240 B．1830 C．2520 D．2760 【答案】D 【详解】由，故，，，，….，故，，，….，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；，，，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.故.故选：D. 4．数列满足，前12项和为158，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以，，，，又，，，.故选：B 5．(2025·江苏常熟·模拟)已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 【答案】A 【详解】若为奇数，则是偶数，是奇数，则 ， ①，， ② ①②得：，所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列；所以.故选:A. 6．在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由可得， 故，设的公比为，则，即， 故，则． 由于时，，故随着的增大而增大，而，， 故满足的最小正整数的值为6．故选：B. 7．(2025·上海长宁·模拟)已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为 . 【答案】 【来源】上海市长宁区2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 【详解】设等差数列的公差为，则，因为、、成等比数列，则，即，即，因为，解得，所以，，所以，，对任意的，，，， ，所以，，因为，故数列的前项和为.故答案为：. 8．数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【详解】由得: ，故答案为. 9．(2025·河南漯河·模拟)数列满足，若为数列的前项和，则 . 【答案】 【详解】， .故答案为：. 10．(2025·浙江·模拟)北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设各层的小球个数为数列，由题意得，，，，因为，可得，， ，，则，因为前层小球总个数为，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个.故选：B. 考向08 裂项相消求和 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）． 经典例题： 1．已知数列的前项和，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当时，满足， 所以，所以数列的前项和为.故选：D. 2．(2025·江苏南京·模拟)已知等差数列的前和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等差数列，可得前项和为，又因为，所以，所以，即得，所以， 则.故选：A. 3．(2025·陕西宝鸡·模拟)等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，所以，因为，可得，所以，所以， 所以，，即数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 因此.故选：B. 4．已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，当时，，符合，所以数列的通项公式为.，，即，，……，又，累加法可得：，即，设数列的前项和为，则.故选：D 5．已知数列满足，，若成立，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为，整理得，且，可知是以首项为3，公差为1的等差数列，所以，可得，当时，可得，且符合上式，所以，则，解得，即的最大值为8．故选：B． 6．(2024·浙江·模拟)已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 【答案】15 【详解】因为，所以，因为，所以，整理得，所以，所以，令，解得.所以正整数的最小值为15. 故答案为：15 7．(2025·广东·模拟)已知数列的前项和为，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】由，当时，，即；当时，，即，所以数列为等比数列，首项为2，公比为2，则，，所以， 则.故答案为：. 8．(2024·山西·模拟)已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为，所以，即，即，则，与上式作差后可得，因为正项数列，所以，所以，因为，， 所以，所以实数的最小值为，故选：B. 9．(2025·山东·模拟)已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；当为偶数时，设，则，为偶数，所以，由数列的函数特性知为递减数列，又，所以，故选：C． 10．(2024·重庆·模拟)（多选）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（    ） A． B．数列中的最大项为 C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，由已知，当时，，即，，当时，，即，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，A选项错误；对于B，所以，，且数列单调递减，所以数列中的最大项为，B选项正确；对于C，，，所以，C选项错误；对于D，又，所以，即，D选项正确；故选：BD. 变式训练： 1．已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，由成等比数列，得，解得，所以，则， 则.故选：D. 2．(2023·河南·模拟)已知数列中，，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】∵，∴，∴．∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∴．∴，∴数列的前10项和．故选:C． 3．(2024·四川·模拟)设数列满足，若，则的前99项和为 . 【答案】/ 【详解】因为①，所以当时，②， 将①与②式相减得：，即，当时，也适用，所以，，所以， 故答案为：. 4．(25-26高三·江苏淮安·调研)已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 【答案】 【详解】由于，则，解得或，因为等比数列为递增数列，，所以，所以，故.因为，所以.故答案为： 5．已知等差数列的公差大于0且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，，，,解得.故选：B． 6．(2024·湖南·模拟)在的展开式中，若的系数为，则 . 【答案】 【详解】由二项式的展开式的通项公式可得第，令，可得：的系数为，所以，则，则.故答案为 7．(2024·山西·模拟)已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 ． 【答案】 【详解】因为，所以，故时，两式相减得， 即，因为，即，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以，     故答案为:. 8．(2024·云南昆明·模拟) （多选）已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为： C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列 【答案】ACD 【详解】因为，所以当时，， 两式相减得，所以，又因为当时，满足上式，所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，，所以，故C正确；因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，故D正确.故选:ACD. 考向09 错位相减求和 用错位相减法求和时的注意点： （1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 经典例题： 1．(2024·陕西铜川·模拟)已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】数列的前项和为，且点总在直线上，所以.当时，，两式相减得，，又，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列， ∴，∴，则，所以，两式相减得：.所以，所以数列的前项和.故答案为： 2．(2025·山西·模拟)数列满足，，，则数列的前n项和是 ． 【答案】 【详解】由，得：，化简得：，因，故是首项为1，公比为4的等比数列，则，由，用替代可得：，化简得：，又，可推得． 则，记数列的前n项和为，则，， 两式相减：，故， 故答案为：. 3．(2022·内蒙古·模拟)已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和 . 【答案】 【详解】当时，，当时，， 当时，，综上：，，所以，所以①，①×得：②，两式相减得：，所以.故答案为 4．(2022·内蒙古·模拟)已知数列满足，且，则 . 【答案】, 【详解】∵，∴，又∵，∴，∴数列是首项为,公比为的等比数列，∴，∴,∴， ∴，两式相减得： , ∴,故答案为：, 5．(2024·陕西西安·模拟)已知数列和数列，，.设，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】,,则，①， ②，两式相减得，即，变形化简可得.故答案为： 6．(2023·山东青岛·模拟)设表示不超过的最大整数（例如：，），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即，共有个.因为，故，设① 则②，①-②,得， ，所以. 所以.故选:B. 变式训练： 1．(2022·陕西汉中·模拟)已知数列满足，，则数列{}的前9项和为 ． 【答案】8149 【详解】由题可知：，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，设的前9项和为，的前9项和为，所以①，②， ①-②得，所以 ．故答案为：8149. 2．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得. 设①， 则②，①-②得， ，，.故选：C. 3．(2023·河南·模拟)已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】由可得当时，， 所以，满足，故，. 令，则， 两式相减得：， 所以.故答案为： 4．(2025·河北沧州·模拟)已知为数列的前项和，且，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以， ， ，则， 所以.故答案为：. 5．(2025·河北·模拟)已知数列满足，设为数列的前项和，则 ． 【答案】 【详解】由，得，又，所以是首项为1公差为1的等差数列，可得，所以，，，两式相减得，所以.故答案为：. 11．(2025·河北·模拟)已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 【详解】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故，而，故，故，而，故，符合该式，故，故，所以，所以，故， 故答案为： 12．(2025·安徽·模拟)已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】①，②，两式相减得：， 所以，经检验符合要求.则，则③，④， ③-④得：， 所以.故答案为： 考向10 综合解答 近三年新高考数列解答题在求通项和求和问题上，摒弃了单纯的死记硬背，转而以“新定义”或复杂递推式为载体，重点考查考生通过构造法、待定系数法求通项，以及运用错位相减、裂项相消等技巧进行运算求解和逻辑推理的综合能力。 经典例题： 1．设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 【详解】（1）数列满足 时, ∴ ,∴ 当时,,上式也成立,∴ （2） ∴数列的前n项和 2．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【详解】（1）因为， 当时，，即；当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ，两式相减得:， 即，． 3．(2026·甘肃·模拟)已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）由，得， 相减可得，故. 当时，，又，解得，所以， 因此对任意的，都有，故为等比数列，且公比为3， 故. （2）. 故. ， 所以数列的前项和为. 4．(2024·河北·模拟)已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【详解】（1）当时，. 当时，， 当时，也符合. 综上，. （2）由 则 ， 故的前项和. 5．在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【详解】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 6．(2026·新疆·模拟)已知正项数列满足，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列中第2项，第4项，，第项构成新数列，记的前项和为，求. 【详解】（1）因为，故为等差数列，设公差为， 又，所以，，， ，，成等比数列，故，解得或4， 由于为正项数列，所以，； （2）由题意，， . 7．(2026·江苏·模拟)已知数列的首项，且满足. (1)证明：是等差数列； (2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 【详解】（1）证明：因为，显然，所以， 所以，即， 又，所以是以2为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，所以， 所以，所以 因为，所以， 所以. 变式训练： 1．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【详解】（1）设的公比为，为的等差中项， ， ； （2）设的前项和为，， ，① ，② ①②得，， . 2．(2022·新高考全国I卷·真题)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列，∴,∴, ∴当时，，∴, 整理得：,即, ∴， 显然对于也成立，∴的通项公式； （2） ∴ 3．(2026·河北·模拟)已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【详解】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. 4．(2025·河北邯郸·模拟)已知正项数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）当时，由，即，解得：， 所以，则数列为首项为，公差为的等差数列； 所以，则， 当时，， 当时，满足条件， 所以的通项公式为 （2）由（1）知，， 所以， 故，即 5．(2026·四川成都·模拟)已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 【详解】（1）， 当时，，，，，， 当时，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证时也成立，； （2），，， 设，，，， . 6．(25-26高三上·广东江门·二模)已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）因， 则 即，从而是等比数列； （2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列. 则，从而 ，两式相减可得： 则； （3）由（2）， ，又，则. ，当时，易得， 当时，，. 即，当时，，则为递增数列，则. 即. 7．(2025·宁夏·模拟)已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知，所以， 所以，所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为，所以， 令，不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【详解】因为，，所以，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，所以.故选：C 2．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，利用累加法可得, 化简得，则.故选：C. 3．设为数列的前项和，且，则（ ） A． B．2024 C． D．0 【答案】D 【详解】由，且，显然，所以是以为首项，为公比的等比数列，，故.故选：D 4．数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列的前n项和，当时，，而满足上式，因此，，所以.故选：D 5．若数列满足，的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,当时，，，，；当时，，解得：，不满足，；当时，，又满足，.故选：D. 6．设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，当时，，当时，，两式相减可得：，所以，又时，，所以不满足，所以，设，数列的前项和，所以，设数列的前5项和为：.故选：D. 7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意及图得，，，当时，，， 以上各式累加得：，又，所以， 经检验符合上式，所以，所以，设数列的前项和为，则，所以，故选：A. 8．已知数列满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以由递推公式得，当时，等式两边分别相加，得 ，因为，则，而满足上式，所以，即，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，，当时，，因为，所以的最小值为.故选A. 二、多选题 9．已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【答案】ABD 【详解】因为，则，且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，则，即.对于选项A：，故A正确；对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确；对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列，所以不是等差数列，故C错误；对于选项D：，故D正确；故选：ABD. 10．已知数列满足，，，为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】在数列中，，，当时，，则，对任意的，由可得，上述两个等式作差可得，对于A选项，，A对；对于B选项，，可得，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，因此，D对.故选：ACD. 11．(2025·山东济宁·模拟) （多选）已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，即，所以，，解得，故A正确；由此可得，，，，……，所以当为奇数时，为偶数，为奇数，所以，，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，所以，故B错误；当为偶数时，为奇数，为偶数，则，，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，所以，故C正确；对于D，==，故D正确.故选：ACD. 三、填空题 12．已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】由可得：，又,，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.故答案为： 13．数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，由，得，即，而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此，即，所以数列的通项公式为.故答案为： 14．在首项为1的数列中，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，，， ， 以上各式相加得， 令①，② 错位相减：有，，即， 所以，又因为，所以有，所以, 检验时，符合上式，所以.故答案为： 四、解答题 15．记为数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）当时，， 当时，，， 两式相减得，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 故. （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 16．已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因，可得，解得， 故； （2）由（1）得，则，则. 因数列的项依次为：，而数列的项依次为：， 将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为. 则， 故数列的前项和为： . 17．已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $