第三单元 数学百花园（知识清单）数学北京版六年级下册

该小学数学知识清单系统梳理了第三单元“数学百花园”中黄金比的知识，涵盖定义、表示方法、应用领域及黄金图形等核心范畴，搭建了从概念理解到实际应用再到拓展延伸的递进式学习支架。 清单以“定义-应用-拓展”逻辑构建知识体系，重点标注应用领域，通过艺术、建筑、自然等实例帮助学生用数学眼光观察现实世界。结合例题与练习题，如人体比例计算、乐曲转折点设置，培养数学思维与应用意识，助力学生自主复习，教师可据此设计生活化教学活动，提升课堂实效。

第三单元 数学百花园 知识清单 知识一、黄金比的定义与核心概念 1.定义：黄金比又称黄金分割，是指将一条线段分成两部分，使较长部分与整体部分的比值等于较短部分与较长部分的比值，其比值约为0.618。 2.数学表达式：若线段AB被点C分成AC（较长部分）和CB（较短部分），则满足 其中点C称为线段AB的黄金分割点，黄金比的准确值为（约等于0.618）。 知识二、黄金比的表示方法 1.数值形式： (1)准确值： (2)近似值：0.618（实际应用中通常取此值计算）。 2.比例关系： (1)较长部分 : 整体部分 ≈ 0.618 : 1 (2)较短部分 : 较长部分 ≈ 0.382 : 0.618（因为1-0.618=0.382）。 知识三、黄金比的应用领域（重点） 1.艺术与美学 (1)绘画：经典画作（如《蒙娜丽莎》《最后的晚餐》）采用黄金矩形（宽:长≈0.618）构图，视觉平衡和谐。 (2)雕塑：古希腊雕塑（如《断臂的维纳斯》《大卫》）的人体比例符合黄金比，肚脐为身高的黄金分割点，膝盖为肚脐到脚底的黄金分割点。 2.建筑设计 (1)古埃及金字塔：塔高与底面正方形边长的比接近0.618。 (2)巴黎圣母院：正面宽度与高度的比例、窗户尺寸比例均符合黄金比。 (3)现代建筑：许多摩天大楼的楼层分布、门窗比例设计参考黄金比。 3.自然界规律 (1)植物生长：向日葵花盘种子的螺旋排列（顺时针与逆时针数量比为斐波那契数列，接近黄金比）、树叶在枝干上的间距分布。 (2)动物结构：蝴蝶翅膀的长宽比、蜗牛壳的螺旋线展开比例。 4.人体结构 (1)身高与肚脐到地面高度的比≈1:0.618； (2)手臂长度与手掌长度的比≈1:0.618； (3)面部比例：两眼间距与脸宽的比、鼻长与脸长的比等接近黄金比。 5.生活应用 (1)摄影构图：“九宫格构图法”的4个交叉点为黄金分割点，主体放置在交叉点处更具美感。 (2)产品设计：书籍、手机、电脑屏幕的长宽比（如16:10接近黄金矩形）、信用卡尺寸、汽车前脸比例。 (3)舞台设计：主持人站位通常在舞台宽度的0.618处，视觉效果最佳。 知识四、黄金图形（拓展知识） 1.黄金矩形 (1)定义：宽与长的比值为黄金比（≈0.618）的矩形。 (2)特性：从黄金矩形中截取一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍是黄金矩形（可无限分割）。 2.黄金三角形 (1)定义：底与腰的比为黄金比的等腰三角形（顶角36°，底角72°），或腰与底的比为黄金比的等腰三角形（顶角108°，底角36°）。 (2)特性：可分割出多个小黄金三角形，形成螺旋状图案。 题型一、黄金比及其应用 【例1】（24-25六年级下·河南信阳·期末）数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听，经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首80节的乐曲，转折点就设在“80×0.618≈49”处，也就是第49节处。如果一首60节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（用“四舍五入法”保留整数） 【答案】37 【分析】已知黄金比约为0.618∶1，乐曲总节数为60节，那么转折点的节数为：60×0.618＝37.08。用“四舍五入法”保留整数，因为37.08的十分位是0，0＜5，所以舍去十分位及后面的数，得到37。 【详解】60×0.618＝37.08（节） 37.08≈37 转折点应设在第37节处。 【练1】（24-25六年级下·山东聊城·期中）人体有一个理想的比例，越接近这个比例人看上去就越美观。它是以人的肚脐为分割点将人分为上半部和下半部，上与下两部分的比是0.618∶1，这时我们俗称“黄金分割点”。下面有位身高165.1厘米的阿姨，上半身长65.1厘米，她想要买一双高跟鞋，你觉得买哪一双比较合理。（为了计算方便，0.618∶1按0.62∶1来计算，用算式说明）。 【答案】5厘米；算式见详解 【分析】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可。身高－上半身长＝下半身长，设她买x厘米的高跟鞋比较合理，根据上半身长∶（下半身长＋鞋高）＝0.62∶1，列出比例解答即可。 【详解】165.1－65.1＝100（厘米） 解：设她买x厘米的高跟鞋比较合理。 65.1∶（100＋x）＝0.62∶1 0.62（100＋x）＝65.1 0.62（100＋x） ÷0.62＝65.1÷0.62 100＋x＝105 100＋x－100＝105－100 x＝5 答：她买5厘米的高跟鞋比较合理。 1．（2023六年级下·江苏宿迁·专题练习）你听说过“黄金比”吗？黄金比的比值约等于（    ）。 A．0.616 B．0.617 C．0.618 D．0.619 【答案】C 【详解】黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。从古希腊以来，一直有人认为把黄金比应用于造型艺术，可以使作品给人以最美的感觉，因此黄金比在日常生活中有着广泛的应用。 黄金比的比值约等于0.618。 故答案为：C 2．（2024·河南南阳·小升初真题）许多艺术作品都是按“黄金比”来设计的，当一个物体的两个部分之间的比大致符合“黄金比”——（    ）时，会给人一种优美的视觉感受。 A．0.518∶1 B．0.618∶1 C．1∶1 D．2∶3 【答案】B 【分析】黄金分割是指将一个整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引美感的比例，因此被称为黄金分割，也称“黄金比”。 【详解】许多艺术作品都是按“黄金比”来设计的，当一个物体的两个部分之间的比大致符合“黄金比”——（ 0.618∶1）时，会给人一种优美的视觉感受。 故答案为：B 3．（23-24六年级下·浙江杭州·期末）公元前500年，古希腊学者发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽最佳之比为1.618，这样的长方形看起来令人赏心悦目，这个比叫作黄金分割比。下面方格中的四个长方形，最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】由于长和宽的最佳之比为1.618，则长和宽的比值是1.618，根据比值的求法，用比的前项除以比的后项即可得到比值，即用长方形的长∶长方形的宽，求出比值，最接近1.618即可。 【详解】A．长是4，宽是2，即比值是：4∶2＝4÷2＝2，2－1.618＝0.382； B．长是5，宽是3，即比值是：5∶3＝5÷3≈1.67，1.67－1.618＝0.052； C．长是6，宽是4，即比值是6∶4＝6÷4＝1.5，1.618－1.5＝0.118； D．长是8，宽是5，即比值是：8∶5＝8÷5＝1.6，1.618－1.6＝0.018； 0.018＜0.052＜0.118＜0.382 所以最近接“黄金长方形”的是第四个。 故答案为：D 4．（21-22六年级下·河南南阳·期末）把下面的长方形变成一个宽和长的比为5∶8（接近黄金比0.618∶1）的新长方形。下面方法中（    ）正确。 （1）在它的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形 （2）在它的下面添一个长50厘米，宽5厘米的长方形 （3）在它的右侧添一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上边添一个长56厘米，宽5厘米的长方形 A．只有（1）（2） B．只有（1）（3） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】B 【分析】（1）在原长方形的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形，得到的新长方形的长是50－2＝48（厘米），宽是30厘米，宽与长的比是30∶48＝5∶8。 （2）在原长方形的下边添一个长50厘米、宽5厘米的长方形，得到的新长方形的长是50厘米，宽是30＋5＝35（厘米），宽与长的比是35∶50＝7∶10。 （3）在原长方形的右侧添上一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上面添上一个长56厘米，宽5厘米的长方形，得到的新长方形的长是56厘米，宽是35厘米，宽与长的比是35∶56＝5∶8。 【详解】（1）在原长方形的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形，如图： 50－2＝48（厘米） 这个长方形的宽与长的比是30∶48＝5∶8。 （2）在原长方形的下边添一个长50厘米、宽5厘米的长方形，如图： 30＋5＝35（厘米） 这个长方形的宽与长的比是35∶50＝7∶10。 （3）在原长方形的右侧添上一个长30厘米，宽6厘米的长方形，如图： 30＋5＝35（厘米）； 50＋6＝56（厘米） 这个长方形的宽与长的比是35∶56＝5∶8。 所以（1）（3）是正确的。 故答案为：B 【点睛】此题主要通过长方形的长和宽的变化，根据比的意义，求出它们之间的比。 5．（23-24六年级下·湖北鄂州·期末）数学中的黄金分割比（约为0.618∶1）应用广泛，一些音乐家在创作乐曲时将节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点处。按照这种做法，如果是89节的乐曲，就用89×0.618≈55，那么转折点就设在55处；如果是97节的乐曲，转折点应设在( )节处。（结果用“四舍五入”法保留整数） 【答案】60 【分析】将97节乘0.618，求出积。看积的十分位，十分位是9，那么根据“四舍五入”法保留整数时需向前进一。 【详解】97×0.618＝59.946（节）≈60（节） 所以，如果是97节的乐曲，转折点应设在60节处。 6．（2025六年级上·福建福州·专题练习）“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 【答案】 AB AD 【分析】依据是“五角星中存在‘较短线段∶较长线段≈0.618’的黄金比例关系”。先看第一个空，题目给出“AC∶（ ）＝0.618”，观察图形可知，AC是较短线段，而AB是比AC更长的线段，符合“较短线段∶较长线段”的黄金比结构，因此第一个空应填AB；再看第二个空“（ ）∶AC＝0.618”，此时AC成为较长线段，AD是比AC更短的线段，满足“更短线段∶较长线段”的黄金比规律，所以第二个空应填AD。 【详解】观察图形，AB是较长的线段，AC是较短线段，根据黄金比“较短线段∶较长线段≈0.618”，所以 AC∶AB≈0.618，因此填AB。AD是比AC更短的线段，此时“更短线段∶较短线段≈0.618”，所以 AD∶AC≈0.618，因此填AD。 7．（24-25六年级下·山东德州·期末）当人体的上半身和下半身的比值约为0.618时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金分割点”，有一位阿姨上半身长61.8cm，下半身长92cm，按此“黄金分割点”。她应该选择( )cm高的高跟鞋。 【答案】8 【分析】设她应该选择xcm高的高跟鞋，根据“黄金分割比”，用阿姨上半身的身长∶（阿姨下班身的身长＋高跟鞋的高度）＝黄金分割比，列出方程解答即可。 【详解】解：设她应该选择xcm高的高跟鞋。 61.8∶（92＋x）＝0.618 61.8÷（92＋x）×（92＋x）＝0.618×（92＋x） 0.618×（92＋x）＝61.8 0.618×（92＋x）÷0.618＝61.8÷0.618 92＋x＝100 92＋x－92＝100－92 x＝8 她应该选择8cm高的高跟鞋。 8．（23-24六年级下·安徽蚌埠·期末）把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的。这个神奇的比被称为“黄金比”。“黄金比”还应用于长方形，当宽与长的比值约是0.618时，能给人更美的视觉感受，我们称这样的长方形为“最美长方形”。如果一个长方形长或宽的长度为4厘米，你能根据“黄金比”，画一个“最美长方形”吗？（结果保留一位小数，在图上标出长或宽的长度） 【答案】见详解 【分析】先确定一个长方形的长为4厘米，长方形的宽∶长方形的长＝0.618∶1，即长方形的宽∶4＝0.618∶1；则宽＝4厘米×0.618，求出宽（保留一位小数），再画出长方形即可（答案不唯一）。 【详解】4×0.618＝2.472（厘米） 2.472≈2.5 如图： 9．（23-24六年级下·安徽蚌埠·期末）把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的。这个神奇的比被称为“黄金比”。法国的埃菲尔铁塔高300米，在距离地面57米、115米和276米处各有一个平台。请判断一下，哪个平台与塔身的比例大致符合“黄金比”，写出必要的计算过程。 【答案】115米；计算过程见详解 【分析】先计算不同平台处的比例。分别计算距离地面57米、115米和276米处平台与塔身的比例。比例等于平台距离地面高度与塔总高度的比值。再将这些比例与“黄金比”0.618∶1进行比较。看哪个比例最接近“黄金比”，据此解答。 【详解】（1）计算不同平台处的比例： 当平台距离地面57米时，比例为57÷300＝0.19 当平台距离地面115米时，比例为115÷300≈0.383 当平台距离地面276米时，比例为276÷300＝0.92 （2）与“黄金比”比较： “黄金比”为0.618：1，即0.618. 三个比例中，0.383与0.618相差较大；0.92与0.618相差也较小；而0.19与0.618相差最大，综上所述，115米处的平台与塔身的比例大致符合“黄金比”。 10．（24-25六年级下·四川南充·期末）把一条线段分成两部分，如果较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比，这个比就称为黄金比（约为0.618∶1）。气温和体温的比达到0.618∶1时人体感受最舒适。如果小林的体温是37摄氏度，那么他感受最舒适的温度是多少摄氏度？（用比例解，结果保留整数。） 【答案】23摄氏度 【分析】根据黄金比的定义，设小林感受最舒适的温度是x摄氏度，因为气温和体温的比要达到黄金比0.618∶1，小林的体温是37摄氏度，所以可列出比例式：x∶37＝0.618∶1，然后根据比例的基本性质解答即可。 【详解】解：设小林感受最舒适的温度为x摄氏度。 x∶37＝0.618∶1 x＝37×0.618 x＝22.866 22.866≈23 答：小林感受最舒适的温度是23摄氏度。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 数学百花园 知识清单 知识一、黄金比的定义与核心概念 1.定义：黄金比又称黄金分割，是指将一条线段分成两部分，使较长部分与整体部分的比值等于较短部分与较长部分的比值，其比值约为0.618。 2.数学表达式：若线段AB被点C分成AC（较长部分）和CB（较短部分），则满足 其中点C称为线段AB的黄金分割点，黄金比的准确值为（约等于0.618）。 知识二、黄金比的表示方法 1.数值形式： (1)准确值： (2)近似值：0.618（实际应用中通常取此值计算）。 2.比例关系： (1)较长部分 : 整体部分 ≈ 0.618 : 1 (2)较短部分 : 较长部分 ≈ 0.382 : 0.618（因为1-0.618=0.382）。 知识三、黄金比的应用领域（重点） 1.艺术与美学 (1)绘画：经典画作（如《蒙娜丽莎》《最后的晚餐》）采用黄金矩形（宽:长≈0.618）构图，视觉平衡和谐。 (2)雕塑：古希腊雕塑（如《断臂的维纳斯》《大卫》）的人体比例符合黄金比，肚脐为身高的黄金分割点，膝盖为肚脐到脚底的黄金分割点。 2.建筑设计 (1)古埃及金字塔：塔高与底面正方形边长的比接近0.618。 (2)巴黎圣母院：正面宽度与高度的比例、窗户尺寸比例均符合黄金比。 (3)现代建筑：许多摩天大楼的楼层分布、门窗比例设计参考黄金比。 3.自然界规律 (1)植物生长：向日葵花盘种子的螺旋排列（顺时针与逆时针数量比为斐波那契数列，接近黄金比）、树叶在枝干上的间距分布。 (2)动物结构：蝴蝶翅膀的长宽比、蜗牛壳的螺旋线展开比例。 4.人体结构 (1)身高与肚脐到地面高度的比≈1:0.618； (2)手臂长度与手掌长度的比≈1:0.618； (3)面部比例：两眼间距与脸宽的比、鼻长与脸长的比等接近黄金比。 5.生活应用 (1)摄影构图：“九宫格构图法”的4个交叉点为黄金分割点，主体放置在交叉点处更具美感。 (2)产品设计：书籍、手机、电脑屏幕的长宽比（如16:10接近黄金矩形）、信用卡尺寸、汽车前脸比例。 (3)舞台设计：主持人站位通常在舞台宽度的0.618处，视觉效果最佳。 知识四、黄金图形（拓展知识） 1.黄金矩形 (1)定义：宽与长的比值为黄金比（≈0.618）的矩形。 (2)特性：从黄金矩形中截取一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍是黄金矩形（可无限分割）。 2.黄金三角形 (1)定义：底与腰的比为黄金比的等腰三角形（顶角36°，底角72°），或腰与底的比为黄金比的等腰三角形（顶角108°，底角36°）。 (2)特性：可分割出多个小黄金三角形，形成螺旋状图案。 题型一、黄金比及其应用 【例1】（24-25六年级下·河南信阳·期末）数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听，经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首80节的乐曲，转折点就设在“80×0.618≈49”处，也就是第49节处。如果一首60节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（用“四舍五入法”保留整数） 【练1】（24-25六年级下·山东聊城·期中）人体有一个理想的比例，越接近这个比例人看上去就越美观。它是以人的肚脐为分割点将人分为上半部和下半部，上与下两部分的比是0.618∶1，这时我们俗称“黄金分割点”。下面有位身高165.1厘米的阿姨，上半身长65.1厘米，她想要买一双高跟鞋，你觉得买哪一双比较合理。（为了计算方便，0.618∶1按0.62∶1来计算，用算式说明）。 1．（2023六年级下·江苏宿迁·专题练习）你听说过“黄金比”吗？黄金比的比值约等于（    ）。 A．0.616 B．0.617 C．0.618 D．0.619 2．（2024·河南南阳·小升初真题）许多艺术作品都是按“黄金比”来设计的，当一个物体的两个部分之间的比大致符合“黄金比”——（    ）时，会给人一种优美的视觉感受。 A．0.518∶1 B．0.618∶1 C．1∶1 D．2∶3 3．（23-24六年级下·浙江杭州·期末）公元前500年，古希腊学者发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽最佳之比为1.618，这样的长方形看起来令人赏心悦目，这个比叫作黄金分割比。下面方格中的四个长方形，最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 4．（21-22六年级下·河南南阳·期末）把下面的长方形变成一个宽和长的比为5∶8（接近黄金比0.618∶1）的新长方形。下面方法中（    ）正确。 （1）在它的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形 （2）在它的下面添一个长50厘米，宽5厘米的长方形 （3）在它的右侧添一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上边添一个长56厘米，宽5厘米的长方形 A．只有（1）（2） B．只有（1）（3） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 5．（23-24六年级下·湖北鄂州·期末）数学中的黄金分割比（约为0.618∶1）应用广泛，一些音乐家在创作乐曲时将节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点处。按照这种做法，如果是89节的乐曲，就用89×0.618≈55，那么转折点就设在55处；如果是97节的乐曲，转折点应设在( )节处。（结果用“四舍五入”法保留整数） 6．（2025六年级上·福建福州·专题练习）“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 7．（24-25六年级下·山东德州·期末）当人体的上半身和下半身的比值约为0.618时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金分割点”，有一位阿姨上半身长61.8cm，下半身长92cm，按此“黄金分割点”。她应该选择( )cm高的高跟鞋。 8．（23-24六年级下·安徽蚌埠·期末）把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的。这个神奇的比被称为“黄金比”。“黄金比”还应用于长方形，当宽与长的比值约是0.618时，能给人更美的视觉感受，我们称这样的长方形为“最美长方形”。如果一个长方形长或宽的长度为4厘米，你能根据“黄金比”，画一个“最美长方形”吗？（结果保留一位小数，在图上标出长或宽的长度） 9．（23-24六年级下·安徽蚌埠·期末）把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的。这个神奇的比被称为“黄金比”。法国的埃菲尔铁塔高300米，在距离地面57米、115米和276米处各有一个平台。请判断一下，哪个平台与塔身的比例大致符合“黄金比”，写出必要的计算过程。 10．（24-25六年级下·四川南充·期末）把一条线段分成两部分，如果较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比，这个比就称为黄金比（约为0.618∶1）。气温和体温的比达到0.618∶1时人体感受最舒适。如果小林的体温是37摄氏度，那么他感受最舒适的温度是多少摄氏度？（用比例解，结果保留整数。） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $