期末总复习：相似三角形的存在性 讲义 2025-2026学年沪教版九年级数学上册

该初中数学讲义以“相似三角形的存在性”为核心，通过知识探索模块构建系统框架，明确“先找一组对应角相等，再分‘找另一组角相等’或‘讨论夹边成比例’”的解题思路，结合例题解析呈现知识内在联系，突出分类讨论这一重难点。 讲义亮点在于分层设计的例题与习题，题型涵盖函数图像与几何图形综合（如例1二次函数背景下的相似存在性）、动点问题（如例2运动过程中的相似判定），通过具体案例培养学生推理意识与几何直观，基础题帮助掌握方法，综合题提升探究能力，助力教师实施精准复习，支持学生自主构建解题思维。

沪教版九年级数学上册（专项提升——例题精讲、好题精练 ） 相似三角形的存在性 策略分析 存在性问题是中考中的热点问题，所涉知识点多，难度较大，也是学生比较荆手的问题，但它也是有解题方法可循的。关于二次函数中探求相似三角形的存在性，一般情况下先找一组对应角相等，接下来有两个思路： ①探求一组角相等； ②讨论夹边是否成比例，如探求△ABC与△DEF是否相似时若已知∠A=∠D，分两种情况讨论求解. 切记：如果遇到三角形相似，要先看角，再算边。 例题精讲 【题型1】探求一组角相等 例1（23-24九年级下·四川达州·月考）如图，一次函数与轴、轴分别交于、 两点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【解析】（1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；（过程见解析版）； （2）以点、、为顶点的三角形与相似，已知，则需讨论或，根据正切值求解即可； 【详解】存在，理由： 在中，，，则， ∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或2， ∵点在轴的负半轴上 即点或； 【点睛】本题属于二次函数及相似三角形的综合题，分类讨论是本题求解的关键． 例2（24-25九年级上·江苏扬州·月考）如图1，在中，，，，．如果以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为秒． (1)点坐标_____ (2)_____，_____（用的关系式表示） (3)是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）先利用勾股定理求出，再用的面积求出，据此可得答案（具体过程见解析版）； （2）根据题意求出，进而求出即可得答案；（具体过程见解析版）； （3）已有一对角相等，则需分当时，如图3，此时，当时，如图4，此时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，理由如下： 分两种情况： ①当时，如图3，此时， ∴，即， 解得； ②当时，如图4，此时， ∴，即， 解得； 综上所述，存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，此时t的值为或． 【题型2】讨论夹边是否成比例 例3（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为，，所以当时，则，解方程即可求解；（具体过程见解析版）； （2）过点作于点，则，根据得，利用可求出函数关系式（具体过程见解析版）； （3）分和两种情况讨论． 【详解】（3）存在以M，P，A为顶点的三角形与相似，分两种情况： ①当时，， 即， 解得：； ②当时，， 即， 解得：． 综上所述，当或时，以M，P，A为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 例4（24-25九年级上·上海·月考）如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形是正方形，求该正方形的边长； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该正方形的边长为； (3)存在，点坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解；（具体过程见解析版） （）设点的坐标为，由四边形为正方形，则，即，然后解方程并检验即可求解为；（具体过程见解析版） （）由、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论当，即，当，即，分别求出的长即可． 【详解】（3）解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论： 当，即， 解得， 当，即， 解得， 作轴，垂足为， 当，，点坐标为； 当，，点坐标为； 综上所述：点坐标为或． 好题精练 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　） A．， B．， C．，， D．， 6．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在等腰直角中，，已知、，M为中点． (1)求点的坐标： (2)求的大小； (3)在x轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 9．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． (1)若平分，求t的值； (2)当时，求点E的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25九年级上·广东河源·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (1)______；______；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示点的坐标． (3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 12．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．      (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（25-26九年级上·上海·期中）已知一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象向下平移个单位长度所得的图象交轴于点，连接、，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，在轴是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·上海·月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 15．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求面积的最大值； (3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 16．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）阅读与思考： 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 在中，是线段上一点，且，过点作交于点，使以为顶点的三角形与相似，求的长．    (1)写出正确的比例式及后续解答． (2)指出另一个错误，并给出正确解答， (3)如图，已知矩形的边长，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．    17．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 18．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由． 19．（2025·陕西西安·三模）如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和的值； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 20．（2023·山东烟台·一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版九年级数学上册（专项提升——例题精讲、好题精练 ） 相似三角形的存在性 策略分析 存在性问题是中考中的热点问题，所涉知识点多，难度较大，也是学生比较荆手的问题，但它也是有解题方法可循的。关于二次函数中探求相似三角形的存在性，一般情况下先找一组对应角相等，接下来有两个思路： ①探求一组角相等； ②讨论夹边是否成比例，如探求△ABC与△DEF是否相似时若已知∠A=∠D，分两种情况讨论求解. 切记：如果遇到三角形相似，要先看角，再算边。 例题精讲 【题型1】探求一组角相等 例1（23-24九年级下·四川达州·月考）如图，一次函数与轴、轴分别交于、 两点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【分析】（1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案； （2）以点、、为顶点的三角形与相似，已知，则需讨论或，根据正切值求解即可； 【详解】（1）对于，当时，，即点， 令，则，即点. ∵抛物线的对称轴为直线，则点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 设二次函数表达式为：， ∵抛物线过点， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 在中，，，则， ∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或2， ∵点在轴的负半轴上 即点或； 【点睛】本题属于二次函数及相似三角形的综合题，分类讨论是本题求解的关键． 例2（24-25九年级上·江苏扬州·月考）如图1，在中，，，，．如果以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为秒． (1)点坐标_____ (2)_____，_____（用的关系式表示） (3)是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，再用的面积求出，据此可得答案； （2）根据题意求出，进而求出即可； （3）已有一对角相等，则需分当时，如图3，此时，当时，如图4，此时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∴， 故答案为：；； （3）解：存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，理由如下： 分两种情况： ①当时，如图3，此时， ∴，即， 解得； ②当时，如图4，此时， ∴，即， 解得； 综上所述，存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，此时t的值为或． 【题型2】讨论夹边是否成比例 例3（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 【分析】（1）因为，，所以当时，则，解方程即可求解； （2）过点作于点，则，根据得，利用可求出函数关系式； （3）分和两种情况讨论． 【详解】（1）解：如图所示： ∵在中，，，． ∴根据勾股定理，得． ， 当时，则， 解得：， ∴当时，； （2）过点作于点，则． ∴ ∴， 即， ∴， ， ∴， 即； （3）存在以M，P，A为顶点的三角形与相似，分两种情况： ①当时，， 即， 解得：； ②当时，， 即， 解得：． 综上所述，当或时，以M，P，A为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 例4（24-25九年级上·上海·月考）如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形是正方形，求该正方形的边长； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该正方形的边长为； (3)存在，点坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）设点的坐标为，由四边形为正方形，则，即，然后解方程并检验即可； （）由、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论当，即，当，即，分别求出的长即可． 【详解】（1）解：将、、，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴， 即， 解得，（舍去）， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论： 当，即， 解得， 当，即， 解得， 作轴，垂足为， 当，，点坐标为； 当，，点坐标为； 综上所述：点坐标为或． 好题精练 5．（18-19九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　） A．， B．， C．，， D．， 【答案】D 【详解】解：设抛物线的对称轴交轴于点，由题可知， ，，，，，，， ∵，，∴，， 又，∴，， 则①当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， ②当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， 综上，在轴上有两点，，满足题意．故选D． 【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解． 6．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在等腰直角中，，已知、，M为中点． (1)求点的坐标： (2)求的大小； (3)在x轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）作轴于．证明，利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）过点作轴，垂足为点．根据平行线等分线段定理证得是中点，再求出坐标即可解决问题； （3）在中，，得，证得平分，再由与相似，根据相似的性质求出点坐标即可； 【详解】（1）过点作轴，垂足为点．    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又 ∴， ∵， ∴． ∴，， ∴ （2）设点的坐标为， 过点作轴，垂足为点．    ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ （3）存在点，分两种情况：    ∵在中， ∵， ∴ 当点在轴时， ∵， ∴当与相似．有或 ∴或 ∴， 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 7．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)或时，与相似 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定； （1）由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长度； （2）当时，，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论，当时，利用建立方程求解；当时，利用建立方程求解. 【详解】（1）解：∵在中，是的中点，厘米， ∴，厘米， ∴在中，厘米 （2）解：由题意得：， ∵厘米，厘米 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： （3）解：当时，， ∴ 解得： 当时，， ∴ 解得：. 综上所述：或时，与相似. 8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)存在，秒或秒 【分析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，由题意得，，，先求得矩形的面积，再根据的面积等于矩形面积的，得到关于的一元二次方程求解； （2）由题意得，，，再分、两种情况，分别得到关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，， ∴，，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， ∴， 解得：，， 答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的； （2）由题意得，，， 若， 则有， ∴， 解得：， 若， 则有， ∴， 解得：， 答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题，利用相似三角形的性质求解，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 9．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． (1)若平分，求t的值； (2)当时，求点E的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可． 【详解】（1）解：当平分时，， ∴是等腰直角三角形， （2）∵， 又 ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； （3）存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下： 当点在点上方时，如图1， 若时， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：(不合题意舍去)， ∴； ∴点； 当点在点下方时，如图2， ①若时， 又∵， 则， 解得：(不合题意舍去)， ②若，则， 整理得：， ∴这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 10．（24-25九年级上·广东河源·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 11．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (1)______；______；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示点的坐标． (3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或见解析 【分析】（1）由点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，得，，得到 ，，解答即可． （2）延长交于点G，利用矩形的判定和性质，结合三角函数得，根据点的坐标的意义，描述即可． （3）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动， ∴，，， ∴， 故答案为：，． （2）解：延长交于点G， ∵矩形，， ∴， ∴矩形，矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点． （3）解：存在，理由如下： 根据问2证明，得，， ∴， 当时，得， ∴， 解得； 当时，得， ∴， 解得； 综上所述，当或时，结论成立． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数，三角形相似是解题的关键． 12．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．      (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②存在， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解． （1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定义，求解即可； ②分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线是黄金抛物线， ， 所求抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ； ②存在， 过点作，垂足为，   抛物线与轴交于点， 点的坐标为，   点的坐标为， ，   ， 点的坐标为，   ， ， ， ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 ①， 又，， ∴与全等，相似比为1，不合题意，舍去； ②， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为． 13．（25-26九年级上·上海·期中）已知一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象向下平移个单位长度所得的图象交轴于点，连接、，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，在轴是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）将代入求出，再将代入即可得反比例函数的表达式； （2）联立一次函数与反比例函数求出点B坐标，根据平移前后解析式求出点A和点D坐标，根据两点间距离公式表示出，时，，由勾股定理得，由此求出m的值即可； （3）根据题意画出示意图，分，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得：， ， 将代入，得：， 解得， ， （2）解：联立得， 解得，， 将代入，得：， ， 令，得， ， 的图象向下平移个单位长度所得的图象的解析式为：， 令，得， ， ，，， ，，， 当时，， ， ， 解得； （3）解：存在，点E的坐标为或． 如图，设平移后的一次函数图象与轴交于点， 由（2）知， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 当点在点左侧，时， ， ∵， ， ， ， ； 当点在点右侧，且在点左侧，时，如图， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴以，，为顶点的三角形不与相似， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，一次函数的平移，勾股定理，相似三角形的性质，坐标系内两点间距离公式等，综合应用上述知识点是解题的关键． 14．（24-25九年级上·上海·月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 【答案】(1)，， (2)2 (3)存在； 【分析】（1）根据抛物线解析式，分别令，解方程，即可求解； （2）过点 作 轴于点 ，即 ．证明，得出，设 ，，则 ．即 ． 代入抛物线解析式，求得 ，进而勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解； （3）以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或，根据（2）的结论，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点 ∴当时，， 解得： ∴，， 当时，， ∴ （2）∵， ∴ 过点 作 轴于点 ，即 ． ， ． ， ． ， ， 设 ，，则 ．即 ． 把点 坐标代入二次函数解析式，得 解得：或（舍去） ． ，， ． ，， ． 在 中， ． （3）解：∵在抛物线的对称轴上，，， ∴ 设直线的解析式为，代入， 得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ ∵，而， ∴以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或， 如图所示， 当， ∴ ∴ ∵在抛物线的对称轴上，，则 ∴ ∴，即 当时， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，求抛物线与坐标轴交点，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 15．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求面积的最大值； (3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，面积有最大值，为 (3)、或 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案； （3）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得， ，， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由得：， 设直线：，将，代入得，解得， 直线：， 在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时； 当在轴之间时，如图所示： ，， ， ，， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 当在轴右边时，过作轴，如图所示： ，， ， ，对称轴为，， 抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为； ， 当时，面积有最大值，为； （3）解：由（1）知，当时，，解得或， ， 当在上方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或（舍去）； 当在下方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与三角形相似、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键． 16．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）阅读与思考： 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 在中，是线段上一点，且，过点作交于点，使以为顶点的三角形与相似，求的长．    (1)写出正确的比例式及后续解答． (2)指出另一个错误，并给出正确解答， (3)如图，已知矩形的边长，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)，见解析 (2)没有进行分类讨论，见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）根据三角形相似的性质得到，再进行计算； （2）根据题意可知另一个错误在于未进行分类讨论，进而解答即可； （3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 正确的比例式是， ； （2）解：另一个错误在于未进行分类讨论，如图，过点作 ，则， ， ， 综上所述，为或． （3）解：当时，设，则， 则由得， ， 解得：； 当时， 则由得， 解得： 综上所述，当或时以为顶点的三角形与相似． 17．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 18．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）用待定系数法，将B、C两点的坐标代入二次函数解析式求解，再将一次函数与二次函数的解析式联立方程组并求解，即可得到点E的坐标； （2）若存在这样的点P，根据相似三角形的判定，与应均为等腰直角三角形，所以有两种可能情况，即，或，由此画出对应的图形并求解，即可得到答案． 【详解】（1）、两点均在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， 直线经过点， ， ， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得，， 点E的坐标为； （2）存在点，坐标为或． 理由：若存在这样的点P，使得以、、为顶点的三角形与相似， 如图所示，由于是等腰直角三角形，则存在两种情况，即，或， 当时，， ， ， 点的坐标为； 当时，， ， ， ， 点的坐标为； 所以满足题意的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识与方法，画出符合条件的图形是解答本题的关键． 19．（2025·陕西西安·三模）如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和的值； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识与方法，画出符合条件的图形是解答本题的关键． （1）用待定系数法，将B、C两点的坐标代入二次函数解析式求解，再把代入即可得答案； （2）若存在这样的点P，根据相似三角形的判定，与应均为等腰直角三角形，所以有两种可能情况，即，或，由此画出对应的图形并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 把代入， 得， ； （2）解：把代入，得， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 由于点在轴上，设，则， 若∽， 得，即， 解得， 点的坐标为， 若∽， 得，即， 解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 20．（2023·山东烟台·一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2),当时，有最大值 (3)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的性质及相似三角形的判定及性质； （1）将，，代入，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点E和点G的坐标，从而得出EG再根据解直角三角形求得EF，根据二次函数的最值即可得出答案； （3）分和两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点G的坐标． 【详解】（1）由题意得， ∴ ∴； （2）设直线的表达式为， ∵过点，， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）存在 ∵，，的坐标为，， ∴①当时，， 即， 解得， 此时的坐标为， ②当时，， 即， 解得， 此时的坐标为， 综上，点坐标为或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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