1.4.1一元二次函数（第1课时） 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次函数的三种形式、图像变换及性质，从初中基础出发，关联一元二次方程与不等式，结合数学史（如高斯等）激发兴趣，为后续函数学习搭建知识支架。 其亮点是融合数学史与知识讲解，通过典例引路（如配方、求解析式）和同步练习，落实三种形式的灵活应用，培养数学思维与表达。结构清晰，学生能系统掌握，教师可高效开展教学。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 预备知识 第4节 一元二次函数与一元二次不等式 4.1 一元二次函数 第1课时（共2课时） 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解由y=ax2到y=a(x+h)2+k的图象变换方法. 2、能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式. 3、掌握二次函数的性质. 1、二次函数的图像和性质性质. 1、体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中。 新 知 引 入 数学王子——高斯 在初中阶段，我们已经简单的学习了一元二次函数。 一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式有着紧密的联系，借助一元二次函数可以更加深刻的理解一元二次方程与一元二次不等式。 另外，一元二次函数也是一种最基本的函数，通过对一元二次函数的学习，我们可以知道学习函数要学哪些方面的知识，该怎么去学习函数，对今后学习其他函数也有很大的帮助。 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 一元二次函数表达式的三种形式 1、一般式：________________________ 2、顶点式：________________________ 3、两点式：________________________ y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 注意：1、 2、 3、 求一元二次函数的解析式,应选取最佳形式,利用待定系数法求解. 已知抛物线上任意三点时，设一般式; 已知抛物线的顶点坐标时，设顶点式; 已知抛物线与x轴的交点时，设两点式. 顶点式中（h,k)为图像的顶点，两点式中(x1,0),(x2,0)为图像与x轴的交点。 三种形式可以互化。如一般式可通过配方化为顶点式： 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 一元二次函数的图像（抛物线） 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. 注意：1、 2、 作图时常用描点法（五点法），其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来 a＞0 a＜0 图像 开口方向 对称轴 顶点坐标 开口向上 向上无限延伸 开口向下 向下无限延伸 直线 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 一元二次函数的图像（抛物线） 一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象可由y＝ax2图象经过适当的平移得到．具体平移过程有两种模式． 模式一：y=ax2 y=a(x+h)2 y=a(x+h)2+k 模式二：y=ax2 y=ax2+ y=a(x+h)2+k h决定了二次函数图像的左右平移：“左加右减” k决定了二次函数图像的上下平移：“上加下减” 注意：1、 2、 学 习 新 知 拉格朗日 y=ax2+bx+c 图像 定义域 值域 最值 对称性 增减性 a＞0 a＜0 一元二次函数的性质 R R [ ,+∞) (-∞, 当x=- 时，ymin= 当x=- 时，ymax= 关于直线x=- 对称 关于直线x=- 对称 在(-∞,- ]上递减 在[- ,+∞)上递增 在(-∞,- ]上递增 在[- ,+∞)上递减 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、将下列函数配方: (1)f(x)=3+5x-2x2 (2)f(x)=x2-2x (3)f(x)=3x2+6x-1 解：f(x)=3x2+6x-1=3(x2+2x+1)-3-1=3(x+1)2-4 解：f(x)=3+5x-2x2=-2(x2 - x + ) + + 3 =-2(x-)2 + 解：f(x)= x2-2x = (x2 - x + )- = (x- )2 - 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、将下列函数配方: (1)f(x)=x2-2x+3; (2)f(x)=-2x2+3x-2. 解：f(x)=x2-2x+3=（x2-2x+1)+2=（x-1)2+2 解：f(x)=-2x2+3x-2=-2(-x2-x+)+ -2=-2(x-)2 - 典 例 引 路 柯 西 例2、已知一元二次函数的图象过点(2,-1)和(-1,-1),且它的最大值为8,求一元二次函数的解析式. 解法1：设y=ax2+bx+c(a≠0),依题意得,得 ∴y= - 4x2+4x+7 解法2:由已知y+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设一元二次函数的解析式为 y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即y=ax2-ax-2a-1(a≠0). ∴ = 8解得 a= -4或 a=0(舍去). ∴ y= - 4x2+4x+7. 解法3：设一元二次函数的解析式为y=a(x+m)2+n(a≠0),依题意得： 抛物线的对称轴为x= = ,即 m= - 又函数的最大值为8，所以n=8,所以y=a(x-)2+8 因为一元二次函数过点（2，-1）所以a(2- )2 + 8 = -1,解得a= -4 ∴y= - 4x2+4x+7 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、一元二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),则这个一元二次函数的解析式为　　　　　　　　　　.  解:设y=f(x)=a(x-2)2+3, 则f(3)=a(3-2)2+3=a+3=1, 得a=-2, 得y=-2(x-2)2+3. 典 例 引 路 布 丰 例3、设abc＞0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是（ ） 解：A中，∵c＜0,∴ab＜0,故对称轴x= - ＞0,不正确 B中，∵c＞0,∴ab＞0,故对称轴x= - ＜0,不正确 同理检查C、D D 同 步 练 习 伯努利 练3、已知函数y=ax+b和y=ax2+bx+c(a≠0)，则它们的图像可能是( ) B 典 例 引 路 牛 顿 例4、二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数的图象，则　　　　，　　　　. 解：因为，所以顶点为(1，0). 根据题意把此抛物线反向平移，得抛物线的图象. 则点(1,0)向右平移2个单位长度，得点(3,0) 再向下平移3个单位长度得点(3,-3)， ∴抛物线的顶点为(3，-3)， ∴. ∴，. 同 步 练 习 黎 曼 练4、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个单位，所得到的抛物线是（ ） 　 A、y=3(x+3)²-2 B、 y=3(x+3)²+2 　 C、y=3(x-3)²-2 D、 y=3(x-3)²+2 解：y=3x²先向上平移2个单位得到函数y=3x2+2, 再向右平移3个单位得到函数y=3(x-3)²+2 D 典 例 引 路 狄利克雷 例5、已知一元二次函数. （1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； （2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值. 解：（1） 函数的图象 （2）函数图象开口向上， 对称轴为； 在区间上，函数值随自变量的增大而减小， 在区间上，函数值随自变量的增大而增大， 当时，函数取得最小值3，即. 同 步 练 习 庞加莱 练5、已知一元二次函数. （1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； （2）指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及最大值或最小值. 解：(1)， 所以函数的图象可由的图象向右平移4个单位长度，再向上平移10个单位长度得到. (2)该函数的的对称轴为，其图象开口向下， 在区间(-∞,4]上，函数值随自变量的增大而增大， 在区间[4,+∞)上，函数值随自变量的增大而减小， 函数在处取得最大值，即 典 例 引 路 皮 亚 诺 例6、若函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.{-3} B.(-3,+∞) C.(-∞,-3] D.[-3,+∞) 解:函数的对称轴为x=-(2a-1) 由函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减, 结合图象知-(2a-1)≥7,所以a≤-3. C 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、已知函数y=x2+(a+1)x+1在区间[-1,1]上为单调函数,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　.  解：由题意得 - ≤ -1或 - ≥1， 得a≥1或a≤ - 3 全 课 总 结 一、一元二次函数的表达式 二、一元二次函数图象及变换规律 三、一元二次函数的性质 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学