第一章 4.1 一元二次函数-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

4.1　一元二次函数 　 第一章　§4　一元二次函数与一元二次不等式 学习目标 1.理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系，培养直观想象的核心素养.　 2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质，培养逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　一元二次函数的图象 1 任务二　一元二次函数的解析式 2 任务三　一元二次函数的性质 3 课时分层评价 6 任务四　一元二次函数在闭区间上的最值问题 4 随堂评价 5 任务一　一元二次函数的图象 返回 问题1.函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换得到？ 提示：函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了一元二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了一元二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”. 问题导思 1.抛物线 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a＋， 若设h＝____，k＝_________，则有y＝a(x－h)2＋k，通常把一元二次函数的图象叫作________. 2.一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移_______个单位长度，再向上(或向下)平移_______个单位长度而得到. 新知构建 － 抛物线 ｜h｜ ｜k｜ 在画二次函数的图象或利用图象解决问题时，应注意以下几点：(1)a决定函数图象的开口方向；(2)对应方程的判别式Δ决定函数图象与x轴是否有交点；(3)过定点(0，c)；(4)对称轴的位置. 微提醒 (链教材P34例1)函数y＝4x2＋2x＋1的图象可以由函数y＝4x2的图象经过怎样的变换得到？ 解：配方，得y＝4x2＋2x＋1＝4＋1＝4(x2＋x＋－)＋1＝4＋1＝4＋， 所以函数y＝4x2＋2x＋1的图象可以由函数y＝4x2的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到. 典例 1 　　任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示： 上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”. 规律方法 对点练1.(1)一次函数y＝ax－b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是 √ 若a＞0，则一次函数y＝ax－b(a≠0)为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向上，故可排除A；若a＜0，则一次函数y＝ax－b(a≠0)为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向下，故可排除D；对于C，由直线可知a＜0，b＞0，从而－＞0，而图中二次函数的对称轴在y轴的左侧，故应排除C.故选B. (2)将函数图象向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到的函数解析式为y＝2x2＋7x＋4，则原函数的解析式为 A.y＝2x2＋11x＋11 B.y＝2x2＋3x＋7 C.y＝2x2＋3x＋1 D.y＝2x2＋11x＋5 √ 将函数y＝2x2＋7x＋4的图象向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度可得到y＝2(x－1)2＋7(x－1)＋4＋2的图象，化简可得y＝2x2＋3x＋1.故选C. 返回 任务二　一元二次函数的解析式 返回 问题2.一元二次函数的解析式有几种形式？ 提示：三种不同形式.即一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 问题导思 一元二次函数的解析式 (1)一般式：_____________________； (2)顶点式：______________________； (3)两根式：__________________________. 新知构建 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) y＝a(x－h)2＋k(a≠0) y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 根据下列条件，求一元二次函数的解析式： (1)图象过点(1，1)，(0，2)，(3，5)； 解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题设知 所以函数解析式为y＝x2－2x＋2. 典例 2 (2)图象过点(1，4)，(－1，0)和(3，0)； 解：法一：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将(1，4)，(－1，0)，(3，0)分别代入上式， 得 所以函数解析式为y＝－x2＋2x＋3. 法二：设函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)， 将(1，4)代入上式，得4＝a(1＋1)(1－3)， 所以a＝－1，所以y＝－(x＋1)(x－3)， 即函数解析式为y＝－x2＋2x＋3. (3)图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且最大值为8. 解：法一：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题意，得 故函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 法二：因为函数图象过点(2，－1)，(－1，－1)， 所以抛物线的对称轴为直线x＝＝， 又因为函数最大值为8，所以y＝a＋8. 将(2，－1)代入，得a＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 故函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 利用待定系数法求一元二次函数解析式的步骤 规律方法 对点练2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象过点(0，3)，(3，0)， (－1，0)，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式. 解：依题意知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象过点(0，3)，(3，0)， (－1，0)， 所以则y＝－x2＋2x＋3. 返回 任务三　一元二次函数的性质 返回 问题3.你能找出一元二次函数y＝2(x－1)2＋5图象的对称轴和顶点坐标吗？你能找出函数值y随x的增大而减小，函数值y随x的增大而增大所对应的区间吗？你能求出函数的最值吗？ 提示：能.对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，5). 函数值y随x的增大而减小的区间是(－∞，1]，函数值y随x的增大而增大的区间是[1，＋∞). 当x＝1时，ymin＝5，无最大值. 问题导思 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质 新知构建   a＞0(开口向上) a＜0(开口向下) 图象     性 质 对称轴 直线______ 顶点坐标 ________ x＝h (h，k)   a＞0(开口向上) a＜0(开口向下) 性 质 x的取值范围 (－∞，＋∞)或R y的取值范围 [k，＋∞) (－∞，k] 函数值的 变化趋势 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而______，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而______ 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而______，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而______ 最值 x＝h时，y有最小值，ymin＝___ x＝h时，y有最大值，ymax＝___ 减小 增大 增大 减小 k k 在求一元二次函数的最值问题时常利用图象解决问题. 微提醒 (链教材P34例1)已知一元二次函数y＝x2－3x－. (1)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最 小值； 解：配方，得y＝x2－3x－＝(x－3)2－，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝3； 在区间(－∞，3]上，函数值y随x的增大而减小，在区间[3，＋∞)上，函数值y随x的增大而增大；函数在x＝3处取得最小值－，即ymin＝－，无最大值. 典例 3 (2)若x∈[1，4]，求函数值的取值范围. 解：由于3∈[1，4]，所以函数值在区间[1，3]上随x的增大而减小，在区间[3，4]上随x的增大而增大， 所以当x＝3时，ymin＝－， 当x＝1时，ymax＝×4－＝－， 所以当x∈[1，4]时，函数值的取值范围为. 研究一元二次函数在给定区间上的性质 　　一看开口方向，二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”.只需作出一元二次函数相关的部分简图，利用数形结合法就可以得到问题的解. 规律方法 对点练3.(1)已知二次函数y＝－2(x＋1)2＋3，下列结论正确的是 A.其图象的开口向上 B.图象的对称轴为直线x＝1 C.当x＞－1时，y随x的增大而减小 D.函数有最小值3 √ 对于A，二次函数y＝－2(x＋1)2＋3开口向下，判断错误；对于B，二次函数y＝－2(x＋1)2＋3图象的对称轴为直线x＝－1，判断错误；对于C，二次函数y＝－2(x＋1)2＋3，当x＞－1时，y随x的增大而减小，判断正确；对于D，当x＝－1时，函数有最大值3，该函数无最小值，判断错误.故选C. (2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A，对称轴为x＝－1，下面四个结论正确的为 A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＜0 D.5a＜b √ √ 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，所以2a－b＝0，故B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a＝b，即5a＜b，故D正确.故选AD. 返回 任务四　一元二次函数在闭区间上的最值问题 返回 已知二次函数的图象过点(1，4)，(0，1)，(3，4). (1)求二次函数的解析式； 解：设二次函数为y＝ax2＋bx＋c，a≠0， 因为二次函数的图象过点(1，4)，(0，1)，(3，4)，可得 所以二次函数的解析式为y＝－x2＋4x＋1. 典例 4 (2)若x∈，求此二次函数的最小值和最大值. 解：函数y＝－x2＋4x＋1，开口向下，对称轴方程为x＝2， 即函数y＝－x2＋4x＋1在[－1，2]上y随x的增大而增大，在[2，5]上y随x的增大而减小， 所以ymin＝f(－1)＝f(5)＝－4，ymax＝f(2)＝5. 　求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m，n]上的最值的步骤 第一步：配方，找对称轴； 第二步：判断对称轴与区间的关系； 第三步：求最值.若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]的端点处取得. 规律方法 对点练4.已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]上有最大值2，求a的值. 解：函数y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1， 对称轴为直线x＝a. 当a＜0时，函数在[0，1]上单调递减，ymax＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝ －1； 当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0， 所以a＝(舍去)； 当a＞1时，函数在[0，1]上单调递增，ymax＝a， 所以a＝2. 综上可知，a＝－1，或a＝2. 返回 课堂小结 任务 再现 1.一元二次函数解析式的三种形式. 2.一元二次函数的图象及变换. 3.一元二次函数的性质 方法 提炼 配方法与数形结合法 易错 警示 1.易忽视一元二次函数的开口方向. 2.二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论 随堂评价 返回 1.一元二次函数y＝－2x2＋2x＋1的顶点坐标是 A.(1，1) B.(－1，－3) C. D. √ y＝－2x2＋2x＋1＝－2＋，所以顶点坐标为.故选C. 2.将y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为 A.y＝(x＋2)2＋1 B.y＝(x－2)2＋1 C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x＋2)2－1 √ 将y＝x2的图象向右平移2个单位长度可得到y＝(x－2)2的图象，再向下平移1个单位长度可得到y＝(x－2)2－1的图象.故选C. 3.函数y＝x2－4x＋1在上的最小值是 A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 √ 由函数y＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，因为x∈，所以当x＝2时，函数取得最小值，最小值为ymin＝－3.故选C. 4.已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是_______. 1，2 由于y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为，所以1－3＋m＝0，所以m＝2，故x2－3x＋m＝(x－1)(x－2)＝0，解得x1＝1， x2＝2. 返回 课时分层评价 返回 1.函数y＝x2的图象大致形状是 A.开口向上的抛物线 B.开口向下的抛物线 C.直线 D.折线 √ 函数y＝x2的图象为开口向上的抛物线，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如果一元二次函数y＝5x2＋mx＋4的对称轴是x＝1，则当x＝1时，y＝ A.10 B.－10 C.－1 D.19 √ 对称轴为－＝1，解得m＝－10，则y＝5x2－10x＋4，所以当x＝1时，y＝5－10＋4＝－1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数图象与x轴交点的个数是 A.1 B.2 C.0 D.无法确定 √ 由于y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，所以a＜0，c＞0，故Δ＝b2－4ac＞0，因此函数图象与x轴的交点有2个.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，则该函数的函数值在区间(－3，1)上 A.随x的增大而增大 B.随x的增大而减小 C.随x的增大先增大后减小 D.随x的增大先减小后增大 √ y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，所以m＝0，此时y＝－x2＋3，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，函数值在区间(－3，1)上先增大后减小.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是 根据一次函数y＝bx＋c与二次函数y＝ax2在同一平面直角坐标系中的图象可判断出a＞0，b＞0，c＜0，则y＝ax2＋bx＋c图象开口向上，对称轴为x＝－＜0，D正确.故选D. √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是 A.a＋b＋c＞0 B.ac＞0 C.a－b＋c＝0 D.b2－4ac＞0 √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 对于A，由图可知，当x＝1时，y＞0，即a＋b＋c＞0， 故A正确；对于B，图象开口向下，a＜0，又对称轴 x＝－＞0，故b＞0，图象与y轴交点在x轴上方，故 c＞0，所以ac＜0，故B错误；对于C，D，二次函数 图象与x轴交于两点，故Δ＝b2－4ac＞0，故D正确；将代入解析式得a－b＋c＝0，故C正确.故选ACD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(开放题)请你写出一个对称轴为直线x＝2的函数解析式______________ ______________. 设y＝(x－2)2，则二次函数的对称轴为x＝2.故答案为y＝(x－2)2(答案不唯一). y＝(x－2)2 (答案不唯一) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.若函数y＝x2－2ax＋3在x∈上的最大值为6，则实数a＝_______. 因为y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，x∈，所以当a≤2时，x＝3，ymax＝9－6a＋3＝6，解得a＝1；当a＞2时，x＝1，ymax＝1－2a＋3＝6，解得a＝－1，又a＞2，故不成立.综上，a＝1. 1 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知二次函数的图象过点，图象向左平移2个单位长度后的对称轴是y轴，向下平移1个单位长度后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为__________________. 因为二次函数图象向左平移2个单位长度后的对称轴是y轴，再向下平移1个单位长度后与x轴只有一个交点，所以二次函数的图象的顶点坐标为，设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋1，又因为二次函数的图象过点，代入可得a＝，所以二次函数的解析式为y＝(x－2)2 ＋1. y＝(x－2)2＋1 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(15分)已知一元二次函数y＝－x2＋4x＋6. (1)指出它的图象可以由函数y＝－x2的图象经过怎样的变换而得到； 解：配方，得y＝－(x2－8x)＋6＝－(x2－8x＋16－16)＋6＝－(x－4)2＋14. 所以函数y＝－x2＋4x＋6的图象可以由y＝－x2的图象向右平移4个单位长度，再向上平移14个单位长度而得到. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最 小值. 解：由(1)可知：该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝4； 在区间(－∞，4]上，函数值y随x的增大而增大，在[4，＋∞)上，函数值y随x的增大而减小； 函数在x＝4处取得最大值14，无最小值. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知二次函数C1的图象的顶点坐标是，且截x轴所得线段的长度是4，将函数C1的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线C2的图象，则抛物线C2与y轴的交点是 A. B. C. D. √ 因为二次函数C1的图象的顶点为(2，2)，故C1的对称轴为直线x＝2，又C1的图象截x轴所得线段的长度是4，所以C1的图象与x轴的交点坐标为(0，0)和(4，0)，设y＝a(x－2)2＋2(a≠0)，将点(0，0)代入得a＋2＝0，解得a＝－，所以y＝－(x－2)2＋2，因为C2的图象是由C1的图象向右平移2个单位长度得到的，所以C2的解析式为y＝－＋2＝－＋2，令x＝0，则y＝－＋2＝－6，所以C2与y轴交点坐标为(0，－6).故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.当0≤x≤m时，函数y＝x2－2x＋3有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是 A.m≥－1 B.1≤m≤2 C.0≤m≤2 D.m≤2 √ 二次函数y＝x2－2x＋3图象的对称轴为x＝1，并且函 数图象的开口向上，因为x＝0时y＝3，x＝1时y＝2， x＝2时y＝3，所以若函数在上的最大值为3， 最小值为2，则1≤m≤2.故选B. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是直线x＝－1，且过点，下列说法正确的是 A.abc＜0 B.2a－b＝0 C.3a＋c＝0 D.，是抛物线上两点，y1＞y2 √ √ √ 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 由图知该抛物线开口向上，故a＞0，因为对称轴是直线 x＝－1，所以－＝－1，故b＝2a＞0，即2a－b＝0，故 B正确；因为抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以c＜0， 故A正确；由抛物线对称性得该函数图象必过， 可得a＋b＋c＝0，结合b＝2a，可得3a＋c＝0，故C正确；易知点，到对称轴距离相等，故y1＝y2，故D错误.故选ABC. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈R，a＞b＞c且a＋b＋c＝0. (1)证明：函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点； 解：证明：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则a＞0，c＜0， 所以－4ac＞0且b2≥0，所以Δ＝b2－4ac＞0， 则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)设函数y＝ax2＋bx＋c的图象截x轴所得线段的长为l，求t＝l2－4l的最 小值. 解：由a＞－a－c＞c及a＞0，得1＞－1－＞， 所以－2＜＜－， 不妨设函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点为(1，0)，(x1，0)，则x1＝＜0， 所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象截x轴所得线段的长l＝1－∈(，3)， 则t＝l2－4l的最小值是－4. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.已知二次函数y＝x2－2tx＋2t2－2t，则下列选项正确的是 A.二次函数的图象恒过点(0，0) B.二次函数的图象必与x轴有两个不同的交点 C.二次函数的最小值可能为－2 D.二次函数的最小值可能为－1 √ 对于A，当x＝0时，y＝2t2－2t不恒为0，所以二次函数的图象不恒过点，故A错误；对于B，当t＝0时，Δ＝4t2－4＝－4t2＋8t＝0，此时二次函数的图象与x轴只有1个交点，故B错误；对于C，D，y＝x2－2tx＋2t2－2t＝(x－t)2＋t2－2t，则二次函数的最小值为t2－2t＝(t－1)2－1≥－1，所以函数的最小值不可能是－2，可能为－1，故C错误，D正确.故选D. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(新定义)对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值等于2a，则称a为这个函数的H数.若二次函数y＝ax2＋4x＋c(a，c为常数且a≠0)有且只有一个H数1，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c－2的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是 A.0≤m≤2 B.1≤m≤3 C.2≤m≤3 D.2≤m≤4 √ 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 返回 由题意，令ax2＋4x＋c＝2x，则方程ax2＋2x＋c＝0的解为1，所以故可得y＝－x2＋4x－1－2＝－(x－2)2＋1，显然当x＝0时，y＝－3；当x＝2时，y＝1；当y＝－3时，x＝0或4.由题意可得2≤m≤4.故选D. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 4.1　一元二次函数 返回 $