1.1.2集合的基本关系课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等的概念理解，子集与真子集的求解及符号表示等核心知识点。通过班级学生集合、矩形与平行四边形等实例导入，衔接集合定义与元素特性旧知，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立集合间包含关系的认知基础。 其亮点在于融合数学史（如欧几里得、康托等数学家信息），以问题链驱动探究，通过典例（如含参集合关系的分类讨论）培养数学思维，借助Venn图、数轴等工具强化数学语言表达，有效提升学生抽象能力与应用意识，助力教师系统教学，激发学生学习兴趣与探究精神。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 预备知识 第1节 集合 1.2集合的基本关系 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解子集、真子集的概念 2、会求集合的子集和真子集 3、会用符号表示两个集合之间的关系 4、理解集合相等的概念 1、会求集合的子集和真子集 2、会用符号表示两个集合之间的关系 1、理解子集、真子集的概念 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、___________________________________________称为集合。 2、___________________________称为该集合的元素。 3、如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a______A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a_____A 4、集合中元素的三个特性: 5、自然数集记作_______. 正整数集记作__________ . 整数集记作_________. 有理数集记作__________. 实数集记作_________. 正实数集记作__________. 一般地，把指定的某些对象的全体 集合中每个对象 ∈  确定性、互异性、无序性 N Z R N+或N* Q R+ 3 新 知 引 入 韦 达 问题1、设某校高一（1）班全体35位同学组成集合A，其中女生组成 集合B，则有：若a∈B,则a_____A. 问题2、用C表示所有矩形组成的集合，D表示所有平行四边形组成的 集合，则有：若a∈C,则a_____D. 问题3、若a∈Q,则a______R. ∈ ∈ 集合B中的每一个元素都是A中的元素么？ 集合C中的每一个元素都是D中的元素么？ 集合Q中的每一个元素都是R中的元素么？ 是 是 是 ∈ 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集， 记作：A⊆B，读作“A包含于B”. 或B⊇A，读作“B包含A”. 子集 注意：1、 2、 3、 4、 定义中的关键词语：“任意一个”、“都” 符号“⊆”、“⊇”的开口朝向“较大”的集合。 A B 如果A⊆B可以用右面的图形表示（Venn图） 当集合B中存在不属于集合A的元素时，我们就说集合B不是集合A的子集，记作，读作“B不包含于A”。 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 子集的重要结论: 1、 2、 3、 4、 任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 问题1、设某校高一（1）班全体35位同学组成集合A，其中女生组成 集合B，则有：B______A 或 A_______B . 问题2、用C表示所有矩形组成的集合，D表示所有平行四边形组成的 集合，则有：C______D 或 D_______C . . 问题3、Q______R 或 R_______Q . . ⊆ ⊆ ⊆ ⊇ ⊇ ⊇ 对于集合A，B，C，如果A⊆B，且 B⊆C，那么A⊆C 集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，且集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A和集合B相等，记作：A=B 也就是说，若，且，则A=B 相等集合 7 学 习 新 知 真子集的重要结论: 1、 2、 3、 拉格朗日 空集是任何非空集合的真子集。 真子集 对于两个集合A与B，若AB ，且A≠B，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A⫋B , 读作“A真包含于B” 或 B⫌A , 读作“B真包含A” 若集合A是集合B 的真子集，则集合A中的元素都属于集合B，但集合B中存在元素不属于A。 集合A中含有n个元素，则A的真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 8 学 习 新 知 布 丰 常见数集的间的关系 9 学 习 新 知 伯努利 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同的 不同点 关系 都表示没有的意思 都是集合 都是集合 ∅是集合， 0是实数 ∅不含任何元素，{0}含有一个元素0 ∅不含任何元素，{∅}是一个集合，它是由集合组成的一个集合，含有一个元素，这个元素是∅ 0 ∉∅ ∅⫋{0} ∅⫋{∅} 或 ∅∈{∅} 10 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合格，若用A表示练习本用纸合格的产品组成的集合，B表示纸的密度合格的产品组成的集合，C表示纸的厚度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？ A⊆B, B⊆A, A⊆C, C⊆A 试用Venn图表示这三个集合的关系。 成立 不成立 成立 不成立 11 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、判断下列各组集合A是否是集合B的子集，说明理由。 (1)A={1，2，3}，B={| 是8的因数}； (2)A={| 是长方形}，B={| 是两条对角线相等的平行四边形} 解：因为3不是8的因数，所以集合A不是集合B的子集。 解：因为长方形的一个定义就是“对角线相等的平行四边形”， 所以A=B，当然有 12 典 例 引 路 柯 西 例2、写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。 解：子集：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}， 真子集：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2} 13 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、写出下列集合的所有子集， （1）{0} （2） 解：，{0} 解：{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1.2.3},. 14 典 例 引 路 牛 顿 例3、用适当的数学符号填空。 (1) _____ {} (2) 0 _____ {x|} (3) ∅ _____ {|} (4) {0，1} __________ N (5) {0} ___________ {} (6) {2,1} _____ {} ∈ ∈ = 或⫋ = 或⫋ 15 同 步 练 习 黎 曼 练3、用适当符号（、、、⊆、⊇）填空： （1）0________， {0}________， ________， {2}________， ________， （2）设是全体正方形组成的集合，是全体矩形组成的集合，是全体平行四边形组成的集合，则 = = ⫋ ⫋ ⫋ 16 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知集合A和B的关系为A=B，其中A={1,-1},B={}，求 解：由题意B中的元素也是1和-1， 因为a2≥0，所以a2=1， 则a=-1或1(舍) 综上，则a=-1 17 同 步 练 习 庞加莱 练4、已知集合，，且，求实数的值. 解：由BA，则a+2=3或a+2=a2 (1)若 a+2=3,则a=1,此时a2=1,与互异性矛盾。舍去 (2)若a+2=a2,则a=-1或a=2 a=-1时，a2=a+2=1,与互异性矛盾。舍去； a=2时，A={1,3,4},B={1,4},满足题意 综上，a=2 18 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},且BA，则实数m的取值范围是___________ 解：分两种情况考虑： ①若B为空集，符合题意，可得：2m-1＞m+1,解得m＞2 ②若B不为空集，可得：2m-1≤m+1,解得m≤2 因为BA 由图 所以2m-1≥-3且m+1≤4,解得-1≤m≤3 所以-1≤m≤2 综上所述m≥-1 -3 4 2m-1 m+1 19 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、设集合A={x|x≤-1或x≥1},B={x|t-2≤x≤t+2},且A⊇B,则实数t的取值范围是______________ 解：由图 可得t+2≤-1或t-2≥1 解得t≤-3或t≥3 -1 1 t-2 t+2 t-2 t+2 20 全 课 总 结 一、子集 二、真子集 三、集合相等 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $