精品解析：湖北省武汉市黄陂区黄陂区十三校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

黄陂区部分学校九年级12月质量检测数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若一元二次方程，一次项的系数是（　　） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的标准形式，直接识别一次项的系数即可． 【详解】解：∵方程 中，一次项为， ∴一次项的系数是3， 故选：A． 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 在平面中，已知的半径为，，点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在上或外 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握：若点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系，通过比较与半径的大小进行判断． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴大于半径， ∴点P在外． 故选C． 4. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和为；利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：∵方程中，，， ∴． 故选：D． 5. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6. 用配方法解一元二次方程时可配方得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 7. 已知点，，在抛物线的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握抛物线开口方向向上、离坐标轴越远、函数值越大成为解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线开口方向向上、离坐标轴越远、函数值越大即可解答． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为， ∵，， ∴． 故选D． 8. 秋冬季节是流感高发期，有一人患了流感，经过两轮感染后共有81人患流感，按照这样的速度，第三轮传染后患流感的人数是（　　） A. 810 B. 729 C. 648 D. 1331 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮每个感染者传染人数为x，根据两轮后总感染人数为81，建立方程求解x，再计算第三轮后总人数即可． 【详解】解：设每轮每个感染者传染人数为x， 根据题意，得，即 ， 解得 （舍去负值）， ∴ ， 第三轮新感染人数为 ， ∴ 第三轮后总感染人数为 ． 故选：B． 9. 如图，四边形内接于，．若，则的半径是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 10. 如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，连接，则点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上，然后由等腰直角三角形的性质求得的长，再结合勾股定理求得半径的长． 【详解】解：连接，由个正方形的相框的位置关系，可知均在上，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，交于点，交于点，连接，如图所示： 是圆形的金属框的两条弦， 点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上， ， 由勾股定理可得，，， ， 则， ∴点为线段的中点， 即线段的中垂线过点， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 是线段的中垂线，，， ，， 则， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：B． 【点睛】本题考查中垂线性质、圆心的确定、正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用勾股定理求得三个正方形的对角线的长度． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特征，关于原点对称的点的坐标，横坐标和纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为______． 【答案】##24度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．先根据旋转前后图形的对应线段相等、对应角相等得到相关角的关系，再根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，最后在中利用三角形内角和得出关系式，计算可得结果． 【详解】解：， ， ， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 14. 如图，分别与相切于A，B两点，C为上异于A，B的一点，连接．若，则的大小是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，四边形的内角和定理的应用，求解是解本题的关键. 如图，连接利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接 （即）分别在优弧与劣弧上， ，分别与相切于，两点， 故答案为：或 15. 如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是且有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，当时，则t的取值范围为或其中正确的结论序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断，，的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；点和在抛物线上，要满足，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，即，再求解，进而判断⑤． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则， ， 又抛物线与轴的交点坐标是，即， ，即， ，故①正确； 抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， 另一个交点坐标为， 当时，，故②错误； ，在抛物线的图象上， ， 又， ， 即， ，即， ， 即， 当时，取得最大值，最大值为， ， ，故③正确； ，，， 即， ， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又， ， 当时，， 当时，恒成立，即有两个不相等实根，故④正确； 由于抛物线开口向下， 点和在抛物线上，要满足，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即， 分类讨论如下：当时：， 不等式化为：， 解得：， ； 当时：， 不等式化为：， 解得：， ； 当时：， 不等式化为：， 解得：， ； 因此，当时，的取值范围是或，故⑤错误； 故正确的有①③④， 故答案为：①③④． 16. 如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．则线段的最小值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】 过B作，使，连接、． 由，得，； 又，设，则． 由旋转性质，得，， ， ，故． 在中，， 由勾股定理得，在中， 代入、，化简得： 当时，取最小值24，故，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形、勾股定理、二次函数最值．解题关键为将线段最值转化为代数表达式的最值，结合取值范围求解．注意全等三角形的对应关系混淆，或代数化简时计算错误． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， 即，． 18. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到，使得，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，再结合，可推出结果． 【详解】解：将绕点旋转到， ， ， 又， ， ， ∴． 19. 抛物线 如图所示，回答下列问题 （1）方程的解是___________； （2）关于的不等式的解集是___________； （3）当时，y的取值范围是___________； （4）若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【小问1详解】 解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． 【小问4详解】 解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 20. 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，因为是的切线，所以． 又，故，得． 因为，所以，因此，即平分． （2）5 【解析】 【分析】考查切线的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理．解题关键为（1）连接半径；（2）作垂线构造矩形，建立半径的方程．易错点为构造辅助线时遗漏矩形的性质，或列方程时线段关系错误． （1）连接，通过切线性质得，结合得，进而证明角相等； （2）作构造矩形，将已知线段长度转化为与半径相关的线段，利用勾股定理列方程求解半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过O作于F，连接，则四边形是矩形，故，． 由，得，又． 又∵， 是等腰三角形， ∵， ， ． 在中，，即，解得． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图（1）中，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画出所有的点D，使； （2）在图（2）中，E 、F是圆与格线的交点，画出的角平分线，再画弦，使． 【答案】（1）图形见解析 （2）图形见解析 【解析】 【分析】本题考查圆的圆心确定（垂直平分线的性质）、弦长相等的作图、角平分线的网格作图．解题关键利用无刻度直尺的“连接格点、作直线”功能，结合网格的几何特征（对称、垂直、等长）．易错点忽略网格的对称性，导致圆心或点的位置找错． （1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可； （2）如图所示：找到格点，连接与交于点，连接并延长与圆交于点，连接，即为所求；连接并延长与圆交于点，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，相交于点O， 由网格可得，， 由网格的特点可得， ∵点A，C，B，在同一个圆上 ∴ ∴点和即为所要求作的D点； ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心， ∴点O即为所求作的点； 【小问2详解】 解：如图所示：找到格点，连接与交于点，连接并延长与圆交于点，连接，即为所求；连接并延长与圆交于点，连接，即为所求； 由网格特点可知为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为的角平分线， 故即为所求； 由格点性质可知垂直平分， ∴， ∴， 故即为所求； 22. 小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出．在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（a，b为常数）图像的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图像经过点，．球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（）之间近似满足一次函数的关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（p，m为常数）图像的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为___________（直接写出结果）． 【答案】（1） （2）经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米 （3） 【解析】 【分析】考查二次函数解析式求解、二次函数的最值、一次函数的应用、不等式的求解．解题关键准确代入已知点列方程；掌握二次函数对称轴公式；建立变量间的转化关系．易错点解方程组时计算错误；混淆x与t的对应关系；解不等式时符号处理失误． （1）求函数关系式：将已知点代入二次函数，解方程组得到系数，确定解析式． （2）求最大高度及时间：先通过一次函数建立x与t的关系，再利用二次函数对称轴公式求最值对应的x，转化为时间t． （3）求p的范围：先确定新函数经过的点，代入得到参数关系，再根据时的y的条件列不等式，求解得p的范围． 【小问1详解】 将图像经过的点、代入，列方程组： ， 解得，因此函数关系式为． 【小问2详解】 由时，设，将代入得，即． 对于，因，开口向下，对称轴为． 当时，最大高度米； 此时，解得秒． 【小问3详解】 当时，，代入原函数得，即击球点为． 将代入，得，解得． 当时，，代入得： 化简解得． 故答案为：． 23. 问题背景：将线段绕点A顺时针旋转到，点D是线段延长线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，交射线于点P． 操作与思考：如图1，当时，画出点P，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想； 迁移与运用：如图（2）当，，时，直接写出线段的长为___________． 【答案】（1）图见解析，，证明见解析，（2） 【解析】 【分析】操作与思考：根据题目要求即可画出点P，．延长到F，使，连接，证明，再证，最后根据平行线分线段成比例定理即可证得； 迁移与运用：延长到F，使，连接，过点E作于，过点作于，在上取一点，使得，，，，根据勾股定理，得，，，最后通过求得结果． 【详解】操作与思考：解：如图点P即是所求的点，．理由如下： 延长到F，使，连接， ， 是等边三角形，， ，， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 迁移与运用：解：延长到F，使，则，连接，过点E作于，过点作于，在上取一点，使得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由辅助线的作法，可知， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理，得， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识点，构造辅助线，证三角形全等是解题的关键． 24. 如图（），抛物线交轴于两点（点在左边），交轴于点． （1）直接写出，两点的坐标； （2）是轴左侧的抛物线上的一点，直线轴交直线于点，当是等腰三角形时，直接写出点的横坐标，并只对其中的一种情况写出求解过程． （3）过点作不与轴平行且与抛物线只有一个公共点的直线，平移直线交抛物线于两点（都在右侧），求证：的内心在轴上． 【答案】（1） （2）；过程见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题综合考察了二次函数的解析式求解、抛物线与坐标轴交点的计算，等腰三角形存在性的分类讨论，直线与抛物线的位置关系(相切)判定，韦达定理在二次函数与一次函数联立中的应用，以及三角形内心的性质和角平分线的证明，同时涉及一次函数解析式求解、勾股定理、直线垂直的几何关系等几何与代数结合的知识点． （）先代入轴交点的坐标求出抛物线参数，确定解析式；再令解一元二次方程，结合的位置关系确定两点坐标； （）先借助韦达定理建立点横坐标与直线与系数的关联，再分别针对三种情况，结合线段相等、勾股定理等几何性质求出的值，最后代入公式算出点的横坐标； （）先求出过点且与抛物线相切的直线解析式，再设直线的解析式，联立抛物线后用韦达定理表示其截距，最后结合直线垂直的几何关系推导相关坐标关联，证明轴平分， 进而得出的内心在轴上． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于点 ∴将代入解析式得：， ∴抛物线， ∴令，则： 即：， 解得， ∵点在左边， ∴； 【小问2详解】 点的横坐标： ，理由如下： 设交轴于，设解析式于,则 由 ， 解得：，，得 ①当时， ， ②当时， 即：， 解得：， ， ③当时， ， 则，， ， 综上，当是等腰三角形时，点的横坐标： ， 【小问3详解】 设直线l的解析式为， 由得， ∵抛物线与直线l只有一个公共点，， ∴，解得， 设的横坐标分别为，直线分别交轴于, 设直线解析式为， 由得， ，所以 ， 设直线解析式为， 同理可得 设直线解析式为， 由得， ， ∵， ∴， 因此， ∴ ， ∴， ∵， ∴，轴平分， 所以的内心在轴上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄陂区部分学校九年级12月质量检测数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若一元二次方程，一次项的系数是（　　） A. 3 B. C. 5 D. 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 3. 在平面中，已知的半径为，，点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在上或外 4. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. 3 B. C. 4 D. 5. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程时可配方得（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，在抛物线的图象上，则（ ） A. B. C. D. 8. 秋冬季节是流感高发期，有一人患了流感，经过两轮感染后共有81人患流感，按照这样的速度，第三轮传染后患流感的人数是（　　） A. 810 B. 729 C. 648 D. 1331 9. 如图，四边形内接于，．若，则的半径是（ ） A. B. C. D. 5 10. 如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ___________． 12. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为______． 13. 埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 14. 如图，分别与相切于A，B两点，C为上异于A，B的一点，连接．若，则的大小是___________． 15. 如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是且有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，当时，则t的取值范围为或其中正确的结论序号是___________． 16. 如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．则线段的最小值为 ___________． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到，使得，求的度数． 19. 抛物线 如图所示，回答下列问题 （1）方程的解是___________； （2）关于的不等式的解集是___________； （3）当时，y的取值范围是___________； （4）若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 20. 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图（1）中，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画出所有的点D，使； （2）在图（2）中，E 、F是圆与格线的交点，画出的角平分线，再画弦，使． 22. 小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出．在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（a，b为常数）图像的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图像经过点，．球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（）之间近似满足一次函数的关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（p，m为常数）图像的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为___________（直接写出结果）． 23. 问题背景：将线段绕点A顺时针旋转到，点D是线段延长线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，交射线于点P． 操作与思考：如图1，当时，画出点P，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想； 迁移与运用：如图（2）当，，时，直接写出线段的长为___________． 24. 如图（），抛物线交轴于两点（点在左边），交轴于点． （1）直接写出，两点的坐标； （2）是轴左侧的抛物线上的一点，直线轴交直线于点，当是等腰三角形时，直接写出点的横坐标，并只对其中的一种情况写出求解过程． （3）过点作不与轴平行且与抛物线只有一个公共点的直线，平移直线交抛物线于两点（都在右侧），求证：的内心在轴上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $