精品解析：吉林省松原市部分学校2025-2026学年上学期期末测试八年级数学试题

八年上期末测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握“分式有意义的条件是分母不为零”是解题的关键．根据分式有意义的条件，分析分母的取值限制． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴， 故选：B． 2. 1个氧原子的直径大约为0.000 000 000 148m，将数据0.000 000 000 148用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用科学记数法表示绝对值小于1的数，其一般形式（为整数），其中，即可得到答案． 【详解】解：根据科学记数法的定义：（为整数）， ， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数时，一般形式（为整数），其中，解题的关键是：是确定的值． 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 5. 如图，已知 ，要使，则添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据全等三角形的判定条件，逐项判断即可． 【详解】解：A、已知 ， ，，则，所以A选项正确，不符合题意； B、由得到 ，结合 ， ，则，所以B选项正确，不符合题意； C、已知 ， ， ，则不能证明三角形全等，所以C选项错误，符合题意； D、已知 ， ， ，则，所以D选项正确，不符合题意； 故选：C． 6. 若关于x的多项式与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则，可表示为，根据乘积中不含x的一次项计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∵与的乘积中不含x的一次项， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先利用负指数法则和零次幂化简，然后再作差即可解答． 【详解】解：． 故答案为：3． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，灵活运用提取公因式法因式分解是解题的关键． 直接提取公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 若分式的值为0，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为0的条件，掌握分式为零的条件为分子为0、分母不为0是解题的关键． 分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴或 ，且， ∴ . 故答案为：． 10. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线 并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，过两把直尺的交点作，，则有，然后通过角平分线的判定即可求解，掌握角平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴点在平分线上， ∴射线就是的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 11. 如图， 是 的角平分线，于点，且，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到的面积的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：过点作于， ∵ 是 的角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 同理可证:， ∴， ∴， 解得，， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 13. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的知识点，熟练掌握因式分解的技巧方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式法进行分解即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可得． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 . 14. 如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：BC=ED． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】根据ASA只要证明△ABC≌△AED即可解决问题． 【详解】证明：∵∠1=∠2． ∴∠BAC=EAD 又∵AB=AE，∠B=∠AED， ∴△ABC≌△AED ∴BC=ED． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算（完全平方公式、平方差公式）及代数式求值，熟练掌握乘法公式的展开法则与合并同类项的方法是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开原式，再合并同类项进行化简，最后代入、的值计算． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点和点 均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，在 边上画点，使； （2）如图②，以为直角边画等腰直角，使 ； （3）如图③，在边上画点，使 ． 【答案】（1） 如图，点为所求； （2）如图，即为所求； （3） 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，网格中的等腰直角三角形构造与角度证明，熟练掌握“利用网格边长相等、直角的性质构造等腰直角三角形，进而得到特殊角度”是解题的关键． （1）利用网格构造等腰直角三角形，使 中 与某线段为腰，从而得到角； （2）取格点，连接 ，， 即为所求； （3）取格点，连接交 于，点即为所求． 【小问1详解】 解：由题意可得 ，且 ， ∴ 为等腰直角三角形 ∴； 【小问2详解】 解：∵由网格得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：取格点 、，连接、 、、 ， 由（）得 是等腰直角三角形， ， ∴ ， ∵，， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ 17. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解进行约分，得到最简形式后，代入 求值． 【详解】解： ， 当 时，． 18. 如图，点，在 内部，垂直平分 ， 垂直平分， ，作直线 ． （1）连接，，求证： ； （2）求证： 垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定； （1）连接 ，根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换，即可得证； （2）根据即可得出 垂直平分． 【小问1详解】 证明：如图连接 ， ∵垂直平分 ， 垂直平分， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴ 垂直平分． 19. 如图，在 中，，，是的中点．动点、从点 出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点 、终点．连接 、和 ．设点的运动时间为． （1）求证： 是等腰三角形； （2）若 是等腰三角形，直接写出的大小． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合等边对等角得，再由线段的中点得，即可证明，故 ，即可作答． （2）先得出 ，结合 是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等角进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵是的中点． ∴ ∵动点、从点 出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点 、终点． ∴ ， 则， 即 ， ∴， ∴ ， ∴ 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：连接， ∵，是的中点． ∴ ， 即 ， ∵，， ∴， 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴（舍去）； 综上： 是等腰三角形，则或． 20. 【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶． 素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶． 素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元． 素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元． 问题解决 任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？ 【答案】任务1：小红家茶行红茶采购30千克，红茶采购45千克；任务2：每千克绿茶的售价至少为225元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用． 任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购千克，根据素材1，素材2，列出方程，即可求解； 设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为元，根据素材3列出不等式，即可求解． 【详解】解：任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购千克，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：小红家茶行红茶采购30千克，绿茶采购45千克； 任务2：由任务1得：每千克红茶的进价为（元），每千克绿茶的进价为（元）， 设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：每千克绿茶的售价至少为225元． 21. 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为 的正方形，丙种纸片是长为 、宽为的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：___________． （2）利用（1）中的等式解决问题： ①若，则的值为___________． ②若满足，求的值． （3）如图3，将正方形 叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形 分成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 【答案】（1） （2）①62；②80 （3）11 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据正方形面积的两种计算方法即得答案； （2）①直接利用（1）中的公式计算即可；②把和看作整体，利用（1）的公式计算即可； （3）设正方形和正方形的边长分别为x和y，则阴影部分的面积为，长方形和长方形的面积均为，然后根据已知求得 ，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积既可以表示为，又可以表示为， 即． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①当时， ． 故答案为：62． ②， 当，时， ； 【小问3详解】 解：设正方形和正方形的边长分别为x和y， 则阴影部分的面积为，长方形和长方形的面积均为，且，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 即长方形的面积为11． 22. 是等边三角形，．点在射线上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点不与点 、点重合时，以为边向其上方作等边三角形，连接 、 交于点．设点的运动时间为． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）如图②，当点在点右侧时，求的大小； （3）在点的整个运动过程中，当以点、、、为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先根据等边三角形的性质证明可得，再说明，再运用即可证明结论； （2）先根据等边三角形的性质说明、、，易证可得，即，进而得到，再根据三角形外角的性质可得，再代入相关角度即可解答； （3）当点P在上和点P在C右侧两种情况，分别根据全等三角形的判定与性质、菱形的性质以及垂直平分线的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ 和是等边三角形， ， ， ， ． 在和 中， ， ， ． 又，，， ． 在 和中， ， ． 【小问2详解】 解：∵ 和是等边三角形， ， ，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解： 当点P在上，即时，如图：过C、D作直线 ， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵ ∴直线 是线段 的垂直平分线，即四边形是轴对称图形； 当点P在C右侧，当时，如图：连接， ∵， ∴，即， ∵ 和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 垂直平分 ， ∵ 、 交于点． ∴， ∴ 是四边形的对称轴，即四边形是轴对称图形． 综上，当以点、、、为顶点的四边形是轴对称图形时，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年上期末测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 1个氧原子的直径大约为0.000 000 000 148m，将数据0.000 000 000 148用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知 ，要使，则添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的多项式与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 8. 分解因式：______． 9. 若分式的值为0，则 的值为______． 10. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 11. 如图， 是 的角平分线，于点，且，，，则的面积为______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 因式分解： （1）； （2）． 14. 如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：BC=ED． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点和点 均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，在 边上画点，使； （2）如图②，以为直角边画等腰直角，使 ； （3）如图③，在 边上画点，使 ． 17. 先化简，再求值：，其中 ． 18. 如图，点，在 内部，垂直平分 ， 垂直平分 ， ，作直线 ． （1）连接，，求证： ； （2）求证： 垂直平分． 19. 如图，在 中，，，是的中点．动点、从点 出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点 、终点．连接 、和 ．设点的运动时间为． （1）求证： 是等腰三角形； （2）若 是等腰三角形，直接写出的大小． 20. 【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶． 素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶． 素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元． 素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元． 问题解决 任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？ 21. 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为 的正方形，丙种纸片是长为 、宽为的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：___________． （2）利用（1）中的等式解决问题： ①若，则的值为___________． ②若满足，求的值． （3）如图3，将正方形 叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形 分成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 22. 是等边三角形，．点在射线上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点不与点 、点重合时，以为边向其上方作等边三角形，连接 、 交于点．设点的运动时间为． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）如图②，当点在点右侧时，求的大小； （3）在点的整个运动过程中，当以点、、、为顶点的四边形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $