专题1 等差数列与等比数列 【讲】二轮模块整合【通用版】

该高中数学讲义聚焦等差数列与等比数列专题，覆盖定义、公式、性质及综合应用等高考核心考点，依据课标要求构建“概念-性质-应用”的知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练和分层练习的教学流程，帮助学生突破基本量计算、性质应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学思维和数学语言为导向，创新采用“真题情境化”教学，如结合古代建筑举架结构抽象等差数列模型培养数学眼光。通过整体代换求公比、构造新数列证等差等策略，配合分层练习和即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题1 等差数列与等比数列 【讲】 2025年课标要求 考查频率 高考典例 命题预测 使学生认识等差数列和等比数列这两种数列模型，掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并能利用它们解决一些实际问题.通过揭示数列与函数的关系，加深对函数的认识. 5年9考 2025年新高考1卷第13题 2025年新高考2卷第9题 2025年新高考2卷第7题 2024年新高考2卷第12题 2025年新高考1卷第16题 2023年新高考2卷第8题 2024年新高考1卷第19题 2023年新高考2卷第18题 2022年新高考2卷第17题 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现. 2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 1、等差数列的有关概念、公式及性质 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）. （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有. （3）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是. （4）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和. （5）等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和. ①通项公式的推广：. ②在等差数列中，当时，. 2、等比数列的有关概念、公式及性质 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为. （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项. 即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式. 推广形式： （4）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解. ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解. ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数. （5）等比中项的推广. 若时，则，特别地，当时，. 3、整合 1：等差数列、等比数列与不等式交汇 利用数列的单调性、前n项和的表达式或通项公式构造不等式，进而求解参数范围、最值或证明不等关系. 整合2：等差数列、等比数列与导数交汇 将数列通项或前n项和视为离散函数，借助连续函数（如构造辅助函数）及其导数研究其单调性、极值或不等式性质. 考向1：等差数列基本量计算及求和公式 【高考典例1】（2025年新高考2卷第7题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 【解题技法】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略 （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【举一反三】（2026·天津河东·月考） 1. 等差数列与的前项和分别为、，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式和等差数列的性质得到，，从而得到. 【详解】∵与均为等差数列， ∴，， 则. 故选：C. 【高考典例2】（2024年新高考2卷第12题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【思路分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 【解题技法】 等差中项角标和性质 如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值． 【举一反三】（2026·山西晋中·月考） 2. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 【高考典例3】（2022年新高考2卷第3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 【答案】D 【思路分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解解析】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 【解题技法】 将实际情境（如古建筑举架）抽象为等差数列模型，设未知数并结合几何/物理关系列式（如典例3中设首项为x，利用斜率建立方程）. 【举一反三】（2026·天津和平·月考） 3. “二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺． 【答案】40 【解析】 【分析】把对应的十二节气分别对应成等差数列的前项，相当于已知，求解. 【详解】设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长以此成等差数列，设公差为，则所以，则，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为 故答案为： 考向2：等比数列基本量计算及求和公式 【高考典例1】（2025年新高考1卷第13题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 【答案】 【思路分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 【解题技法】 解决等比数列基本量运算的思想方法 (1)方程思想:等比数列的基本量为首项和公比，通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含，，，，五个量，可“知三求二”. (2)整体思想:当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用，表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解. (3)分类讨论思想:若题目中公比未知，则运用等比数列前项和公式时要对分和两种情况进行讨论. 【举一反三】（2026·天津和平·月考） 4. 已知为数列的前项和，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，， 所以， 故选：A 【高考典例2】（2025年新高考2卷第9题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【思路分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算思路分析即可. 【详解解析】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 【解题技法】 等比数列角标和性质 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度． 【举一反三】（2026·江苏徐州·月考） 5. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及求和公式，即可求解判断. 【详解】设等比数列的公比为， 则根据等比数列的性质可得：， 即得， 根据公比不为1的等比数列的求和公式得： . 故选：B. 【高考典例3】（2023年新高考2卷第8题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【思路分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【解题技法】 等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，， 一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． （2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类 讨论：当时，；当时， ． 【举一反三】（2026·江西南昌·月考） 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前项和公式和通项公式分析计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为. 当时， ，不满足，舍去； 当时，， 所以， 所以，解得. 所以. 故选：C. 考向3：等差数列和等比数列的综合应用 【高考典例1】（2025年新高考1卷第16题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【思路分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解解析】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 【解题技法】 方法 解读 适合题型 定义法 为同一常数 ⇔是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立⇔是等差数列 通项公式法 为常数对任意的正整数都成立⇔是等差数列 选择、填空中 的判定问题 前n项和公式法 验证为常数)对任意的正整数都成立⇔是等差数列 【举一反三】（2026·河北衡水·月考） 7. 已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）变形为，进而利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 【高考典例2】（2023年新高考2卷第18题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【思路分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【解题技法】 分组求和与奇偶分类讨论 当涉及含绝对值、符号变化或混合数列时，按 n 的奇偶性分别求和（如典例2中对 按奇偶讨论） 【举一反三】（2026·天津滨海新·月考） 8. 已知数列中， （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 【答案】（1），， （2） 证明：依题意，设， 则 ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）由数列的递推关系，令、和即可求出答案； （2）由递推公式求出，再利用等比数列定义判断作答. （3）利用（2）的结论求出的通项公式，再结合递推关系得到的表达式，最后借助分组求和法求和作答. 【小问1详解】 由， 令，则；令，则， 令，则， 所以，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 因此， 当时，，又， 则， ， 因此 . 【高考典例3】（2024年新高考1卷第19题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【思路分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解解析】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【解题技法】 数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【举一反三】（2026·河北承德·月考） 9. 若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，其中常数． （1）当时，写出的值； （2）证明：是等比数列； （3）设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 【答案】（1）， （2） 由，得， 则， 又因为．所以． 又，所以4．所以是以为首项，2为公比的等比数列． （3），等差数列，等比数列 【解析】 【分析】（1）根据数列递推公式，直接求出结果即可. （2）根据数列通项公式，直接求出数列的递推公式，进而根据等比数列的定义，证明新数列为等比数列. （3）根据数列的递推公式，和数列的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出数列的前项和，根据“等差等比混合数列”的概念，求出参数值和数列的通项公式. 【小问1详解】 当时，， 所以由，得，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知． 又因为，所以． 所以． 因为为“等差等比混合数列”，又因为，所以． 从而只有，此时． 所以， 所以可拆分成一个等差数列，一个等比数列． 解题策略 使用场景 注意问题 方程思想 利用通项公式、求和公式列方程（组），实现“知三求二” 基本量计算（首项、公差/比、项数、某项、和） 整体代换 将复杂表达式视为整体（如），简化运算 已知部分和求公比（如2025新高考Ⅰ卷第13题） 分类讨论 对等比数列公比与分情况讨论 涉及前项和且公比未知时 角标和性质 等差：； 等比： 快速转化项间关系，减少计算量 函数视角 将 、视为的函数，结合单调性、图像分析 求最值、比较大小、不等式证明 构造法 构造新数列（如 ​）、构造函数 证明等差/等比、处理递推关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 等差数列与等比数列 【讲】 2025年课标要求 考查频率 高考典例 命题预测 使学生认识等差数列和等比数列这两种数列模型，掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并能利用它们解决一些实际问题.通过揭示数列与函数的关系，加深对函数的认识. 5年9考 2025年新高考1卷第13题 2025年新高考2卷第9题 2025年新高考2卷第7题 2024年新高考2卷第12题 2025年新高考1卷第16题 2023年新高考2卷第8题 2024年新高考1卷第19题 2023年新高考2卷第18题 2022年新高考2卷第17题 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现. 2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 1、等差数列的有关概念、公式及性质 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）. （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有. （3）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是. （4）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和. （5）等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和. ①通项公式的推广：. ②在等差数列中，当时，. 2、等比数列的有关概念、公式及性质 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为. （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项. 即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式. 推广形式： （4）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解. ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解. ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数. （5）等比中项的推广. 若时，则，特别地，当时，. 3、整合 1：等差数列、等比数列与不等式交汇 利用数列的单调性、前n项和的表达式或通项公式构造不等式，进而求解参数范围、最值或证明不等关系. 整合2：等差数列、等比数列与导数交汇 将数列通项或前n项和视为离散函数，借助连续函数（如构造辅助函数）及其导数研究其单调性、极值或不等式性质. 考向1：等差数列基本量计算及求和公式 【高考典例1】（2025年新高考2卷第7题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 【解题技法】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略 （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【举一反三】（2026·天津河东·月考） 1. 等差数列与的前项和分别为、，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【高考典例2】（2024年新高考2卷第12题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【思路分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 【解题技法】 等差中项角标和性质 如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值． 【举一反三】（2026·山西晋中·月考） 2. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【高考典例3】（2022年新高考2卷第3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 【答案】D 【思路分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解解析】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 【解题技法】 将实际情境（如古建筑举架）抽象为等差数列模型，设未知数并结合几何/物理关系列式（如典例3中设首项为x，利用斜率建立方程）. 【举一反三】（2026·天津和平·月考） 3. “二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺． 考向2：等比数列基本量计算及求和公式 【高考典例1】（2025年新高考1卷第13题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 【答案】 【思路分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 【解题技法】 解决等比数列基本量运算的思想方法 (1)方程思想:等比数列的基本量为首项和公比，通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含，，，，五个量，可“知三求二”. (2)整体思想:当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用，表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解. (3)分类讨论思想:若题目中公比未知，则运用等比数列前项和公式时要对分和两种情况进行讨论. 【举一反三】（2026·天津和平·月考） 4. 已知为数列的前项和，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【高考典例2】（2025年新高考2卷第9题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【思路分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算思路分析即可. 【详解解析】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 【解题技法】 等比数列角标和性质 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度． 【举一反三】（2026·江苏徐州·月考） 5. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【高考典例3】（2023年新高考2卷第8题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【思路分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【解题技法】 等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，， 一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． （2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类 讨论：当时，；当时， ． 【举一反三】（2026·江西南昌·月考） 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 考向3：等差数列和等比数列的综合应用 【高考典例1】（2025年新高考1卷第16题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【思路分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解解析】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 【解题技法】 方法 解读 适合题型 定义法 为同一常数 ⇔是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立⇔是等差数列 通项公式法 为常数对任意的正整数都成立⇔是等差数列 选择、填空中 的判定问题 前n项和公式法 验证为常数)对任意的正整数都成立⇔是等差数列 【举一反三】（2026·河北衡水·月考） 7. 已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【高考典例2】（2023年新高考2卷第18题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【思路分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【解题技法】 分组求和与奇偶分类讨论 当涉及含绝对值、符号变化或混合数列时，按 n 的奇偶性分别求和（如典例2中对 按奇偶讨论） 【举一反三】（2026·天津滨海新·月考） 8. 已知数列中， （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 【高考典例3】（2024年新高考1卷第19题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【思路分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解解析】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【解题技法】 数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【举一反三】（2026·河北承德·月考） 9. 若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，其中常数． （1）当时，写出的值； （2）证明：是等比数列； （3）设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 解题策略 使用场景 注意问题 方程思想 利用通项公式、求和公式列方程（组），实现“知三求二” 基本量计算（首项、公差/比、项数、某项、和） 整体代换 将复杂表达式视为整体（如），简化运算 已知部分和求公比（如2025新高考Ⅰ卷第13题） 分类讨论 对等比数列公比与分情况讨论 涉及前项和且公比未知时 角标和性质 等差：； 等比： 快速转化项间关系，减少计算量 函数视角 将 、视为的函数，结合单调性、图像分析 求最值、比较大小、不等式证明 构造法 构造新数列（如 ​）、构造函数 证明等差/等比、处理递推关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $