期末专题： 大题分类提升训练 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

期末专题： 大题分类提升训练 （一）特殊的平行四边形证明与计算 1．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 2．如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF为平行四边形． （2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°． ①当AE＝　 　 cm时，四边形CEDF是矩形． ②当AE＝　 　 cm时，四边形CEDF是菱形． 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 4．如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝2，AC＝2，求四边形ABCD的面积． 5．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF． （1）求证：∠HEA＝∠CGF； （2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形． （二）一元二次方程的实际应用 6．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 7．7至9月份“铁岭莲花湿地公园”迎来了荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了湿地周边的餐饮服务业的发展；“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与其价格x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表： x（元） 180 260 280 300 y（间） 100 60 50 40 （1）请求出y与x的函数关系式； （2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元；当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？ 8．某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？ 9．如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个1m宽的门． （1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为80m2？ （2）为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ （三）相似的证明与计算、作图 11．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD． （1）求证：CD2＝BC•AD； （2）点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF＝∠DBF，求证：． 12．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H． （1）求证：△HCD∽△HDB． （2）求DH长度． 13．如图，在直角坐标系xOy中，边长为2的等边三角形AOC的顶点A、O都在x轴上，顶点C在第二象限内，△AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD． （1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　 　 个长度单位；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　 　 ；△AOC绕原点O顺时针方向旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　 　 度． （2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数． 14．如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）． （1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′； （2）写出点A′，B′，C′的坐标： A′（ 　 　 ），B′（ 　 　 ），C′（ 　 　 ）； （3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（ 　 　 ）． 15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）求t＝15时，△PEF的面积； （2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似． （四）概率与统计 16．如图，小刚用同种材料自制了A，B两个可以自由转动的转盘，把A转盘分成了三等份，每份分别标有数字﹣1，2，3，把B转盘分成两等份，每份分别标有数字1，﹣2，小刚先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． （1）小刚转动A转盘时，停止后指针所指区域的数字是﹣1的概率为　 　 ； （2）请用画树状图法或列表法求ab＜0的概率． 17．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张． （1）请用树状图或列表法等方法列出各种可能出现的结果； （2）求两次抽到的卡片上的数字之和等于5的概率． 18．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个 科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场40名考生的两科考试成绩的数据统计如下表所示． 等级 A B C D E 人数（数学与逻辑） 3 10 15 4 8 人数（阅读与表达） 3 15 12 6 4 （1）若等级A，B，C，D，E分别对应50分，40分，30分，20分，10分，请以平均分为依据，判断该考场考生“数学与逻辑”、“阅读与表达”这两个科目哪个成绩更好； （2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率． 19．平度市某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表（单位：人）： 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 （1）从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加音乐社团，又参加美术社团的6名同学中，有4名男同学A1、A2、A3、A4，两名女同学B1、B2，现从这4名男同学和两名女同学中各随机选取1人，求A1未被选中但B1被选中的概率． 20．一个不透明的布袋中装有若干个球，它们除颜色不同外，其余完全相同，其中有1个白球和若干个红球． （1）如果摸一次球，摸到白球的概率是，求红球的个数． （2）在（1）的条件下，如果从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两个球都是红色的概率是多少？请画树状图或列表分析． （五）反比例函数的综合 21．如图，已知反比例函数y（k≠0）的图象与一次函数yx+n的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）、B（8，b），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出x+n的解集． 22．如图，点B（2，n）是直线y＝k1x（k1≠0）上的点，如果直线y＝k1x（k1≠0）平分∠yOx，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C． （1）求k1的值； （2）如果反比例函数y（k2≠0）的图象与BC、BA分别交于点D、E，求证：OD＝OE； （3）在（2）的条件下，如果四边形BDOE的面积是△ABO面积的，求反比例函数的解析式． 23．如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表 x（cm） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 （1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点； （2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； （3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 24．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与BC边交于点E． （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积为． 25．如图①，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y经过C、D两点． （1）求k的值； （2）点P在双曲线y上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； （3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图③），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 参考答案 1．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF； （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 2．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BF， ∴∠DEG＝∠CFG， ∵G是CD的中点， ∴GD＝GC， 在△GED和△GFC中， ， ∴△GED≌△GFC（AAS）， ∴DE＝CF， 又∵DE∥CF， ∴四边形CEDF是平行四边形， （2）解：①当AE＝7.5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下： 作AP⊥BC于P，如图所示： ∵AB＝6cm，∠B＝60°， ∴∠BAP＝30°， ∴BPAB＝2.5cm， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝5cm，AD＝BC＝10cm， ∵AE＝7.5cm， ∴DE＝AD﹣AE＝2.5cm＝BP， 在△ABP和△CDE中， ， ∴△ABP≌△CDE（SAS）， ∴∠CED＝∠APB＝90°， ∴平行四边形CEDF是矩形， 故答案为：7.5； ②当AE＝5cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下： ∵AE＝5cm，AD＝10cm， ∴DE＝AD﹣AE＝5（cm）， ∵DC＝5cm，∠CDE＝∠B＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴DE＝CE， ∴平行四边形CEDF是菱形， 故答案为：5． 3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AD＝AB＝BC＝10， ∵EC＝4， ∴BE＝10﹣4＝6， 在Rt△ABE中，AE， 在Rt△AEC中，AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∴OEAC． 4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∴OB1， ∴BD＝2OB＝2， ∴▱ABCD的面积AC•BD22＝2． 5．证明：（1）连接GE， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠CGE， ∵GF∥HE， ∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠HEA＝∠CGF； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠A＝90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴HG＝HE， 在Rt△HAE和Rt△GDH中， ， ∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）， ∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°， ∴∠DHG+∠AHE＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴菱形EFGH为正方形； 6．解：（1）设每次下降的百分率为x 根据题意得：50（1﹣x）2＝32 解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去） 答：每次下降20% （2）设涨价y元（0＜y≤8） 6000＝（10+y）（500﹣20y） 解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去） 答：每千克应涨价5元． 7．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 把（180，100），（260，60）分别代入解析式，得 ， 解得， 所以y与x的函数关系式为yx+190（180≤x≤300）； （2）由题意可知： （x﹣100）（x+190）﹣60[100﹣（x+190）]＝8450， 整理得：x2﹣420x+44100＝0， 解得x1＝x2＝210． 答：当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元， 8．解：设道路宽为x米． （32﹣x）（20﹣x）＝135×4， 整理，得 x2﹣52x+100＝0， 解得：x1＝2，x2＝50， ∵x＜20， ∴x＝2． 答：道路宽为2米 9．解：（1）设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为（26﹣2x）m． 依题意，得x（26﹣2x）＝80， 解得x1＝5，x2＝8． 当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去）， 当x＝8时，26﹣2x＝10＜12． 答：矩形猪舍的长为10m，宽为8m． （2）若以房墙的长为矩形猪舍一边的长， 则26﹣2x＝12，解得x＝7， ∴垂直于房墙的一边长为7m， ∴矩形猪舍的面积为：12×7＝84（m2）， ∴矩形猪舍硬底化的造价为：84×60＝5040（元）． 答：矩形猪舍硬底化的造价是5040元． 10．解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x， 由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200， 即：（x﹣10）（x﹣20）＝0， 解，得x1＝10，x2＝20， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2）假设能达到，由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1500， 整理，得2x2﹣60x+700＝0， Δ＝602﹣2×4×700＝3600﹣5600＜0， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元， 由题意，得y＝（40﹣x）（20+2x）， ＝800+80x﹣20x﹣2x2， ＝﹣2（x2﹣30x+225）+450+800， ＝﹣2（x﹣15）2+1250， 当x＝15元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 11．证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， 又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB＝∠CBD+∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠CBD， ∴△ACD∽△DBC， ∴， 即CD2＝BC×AD； （2）方法一： ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF， ∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF， ∵∠ABG＝∠DBA， ∴△ABG∽△DBA， ∴， ∴， 又∵△ABG∽△DBA， ∴， ∴AB2＝BG•BD， ∴， 方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF， ∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF， ∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA， ∴（）2， 而，∴． 12．解：（1）证明：∵DH∥AB， ∴∠A＝∠HDC， ∵∠CBD＝∠A， ∴∠HDC＝∠CBD，又∠H＝∠H， ∴△HCD∽△HDB； （2）∵DH∥AB， ∴， ∵AC＝3CD， ∴， ∴CH＝1， ∴BH＝BC+CH＝3+1＝4， 由（1）知△HCD∽△HDB， ∴， ∴DH2＝4×1＝4， ∴DH＝2（负值舍去）． 答：DH的长度为2． 13．解：（1）△AOC沿数轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是2个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是y轴；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度至少是120°度， 故答案为：2；y轴；120； （2）∵△AOC和△DOB是能够重合的等边三角形， ∴AO＝DO，∠AOC＝∠COD＝60°， ∴OE⊥AD， ∴∠AEO＝90°． 14．解：（1）如图所示：四边形TA′B′C′即为所求； （2）A′（3，5），B′（5，5），C′（7，3）； 故答案为：（3，5），（5，5），（7，3）； （3）在（1）中，∵A（2，3），B（3，3），C（4，2）， A′（2×2﹣1＝3，2×3﹣1＝5），B′（2×3﹣1＝5，2×3﹣1＝5），C′（2×4﹣1＝7，2×2﹣1＝3）； ∴D（a，b）为线段AC上任一点， 则变化后点D的对应点D′的坐标为（2a﹣1，2b﹣1）． 故答案为：（2a﹣1，2b﹣1）． 15．解：（1）∵EF∥OA， ∴∠BEF＝∠BOA 又∵∠B＝∠B， ∴△BEF∽△BOA， ∴， 当t＝15时，OE＝BE＝15，OA＝40，OB＝30， ∴， ∴S△PEFEF•OE（平方单位）； （2）∵△BEF∽△BOA， ∴， ∴， 整理，得t2﹣30t+240＝0， ∵Δ＝302﹣4×1×240＝﹣60＜0， ∴方程没有实数根． ∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值； （3）当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA， ∴，即， 解得t＝12； 当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB， ∴，即， 解得． ∴当t＝12或时，△EOP与△BOA相似． 16．解：（1）转动转盘可以得到3种等可能结果，其中停止后指针所指区域的数字是﹣1的结果有一种， ∴停止后指针所指区域的数字是﹣1的概率为， 故答案为：； （2）小刚先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示，列表如下： 结果 ﹣1 2 3 1 ﹣1 2 3 ﹣2 2 ﹣4 ﹣6 由表格可知：共有6种等可能结果，其中乘积为负数的有3种， ∴ab＜0的概率为． 17．解：（1）画树状图得： （2）由（1）可知两次抽到的卡片上的数字之和等于5的概率为：． 18．解：（1）该考场考生“数学与逻辑”的平均分为：29， 该考场考生“阅读与表达”的平均分为：31.75， ∵31.75＞29， ∴“阅读与表达”科目成绩更好； （2）∵两科考试中，共有6个A，又恰有两人的两科成绩均为A， ∴还有2人只有一个科目成绩为A， 设这4人分别为：甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩均为A的考生， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果数，其中两人恰好两科成绩均为A的结果为2种， ∴这两人的两科成绩均为A的概率． 19．解：（1）设“至少参加一个社团”为事件A； 从45名同学中任选一名有35种选法，∴基本事件数为35； 通过列表可知事件A的基本事件数为6+4+5＝15； 这是一个古典概型，∴P（A）； （2）从4名男同学中任选一个有4种选法，从2名女同学中任选一名有2种选法； 从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人的选法有4×2＝8，即基本事件总数为8； 设“A1未被选中，而B1被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为3； 这是一个古典概型，则P（B）． 20．解：（1）设红球的个数为x，根据题意得： ， 解得：x＝2， 经检验x＝2是原方程的解， 答：红球的个数是2个； （2）根据题意列表如下： 白 红 红 白 （白，白） （红，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （红，红） （红，红） 所有等可能的情况有9种，其中恰好为两个红球的情况有4种， 则两个球都是红色的概率是． 21．解：（1）∵点A（a，4）， ∴AC＝4， ∵S△AOC＝4，即， ∴OC＝2， ∵点A（a，4）在第二象限， ∴a＝﹣2， ∴A（﹣2，4）， 将A（﹣2，4）代入y得：k＝﹣8，代入yx+n得：n＝3， ∴反比例函数的关系式为：y，一次函数的解析式为yx+3； （2）由图象可以看出x+n的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8． 22．解：（1）∵直线y＝k1x（k1≠0）平分∠yOx，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C， ∴AB＝BC；又B（2，n）， ∴AB＝BC＝2； ∴B（2，2）， ∴2＝2k1， ∴k1＝1． （2）∵反比例函数y（k2≠0）的图象与BC、BA分别交于点D、E， ∴D（，2），E（2，）； ∴OD，OE； ∴OD＝OE． （3）由题意，可得△BOD≌△BOE， ∴S△BOES四边形BDOE； 又S四边形BDOES△AOB， ∴S△BOES△AOB， 即BE•OAAB•OA， ∴BEAB； ∴AE， ∴E（2，）， ∴， 解得k2， ∴y． 23．解：（1）如图所示： （2）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数， ∴设 y（k≠0）， 把x＝10，y＝30代入得：k＝300， ∴y， 将其余各点代入验证均适合， ∴y与x的函数关系式为：y； （3）把y＝24代入y 得：x＝12.5， ∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm． 24．解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2， ∴B（3，2）， ∵F为AB的中点， ∴F（3，1）， ∵点F在反比例函数y（k＞0）的图象上， ∴k＝3， ∴该函数的解析式为y； （2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，）， ∴S△EFAAF•BEk（3k）， kk2 ∵△EFA的面积为． ∴kk2． 整理，得 k2﹣6k+8＝0， 解得k1＝2，k2＝4， ∴当k的值为2或4时，△EFA的面积为． 25．解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点， ∴xD＝1， 设D（1，t）， 又∵DC∥AB， ∴C（2，t﹣2）， ∴t＝2t﹣4， ∴t＝4， ∴k＝4； （2）∵由（1）知k＝4， ∴反比例函数的解析式为y， ∵点P在双曲线上，点Q在y轴上， ∴设Q（0，y），P（x，）， ①当AB为边时： 如图1，若ABPQ为平行四边形， 则0， 解得x＝1， 此时P1（1，4），Q1（0，6）； 如图2，若ABQP为平行四边形， 则， 解得x＝﹣1， 此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）； ②如图3，当AB为对角线时， AP＝BQ，且AP∥BQ； ∴， 解得x＝﹣1， ∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）； 故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）； （3）结论：的值不发生改变， 理由：如图4，连NH、NT、NF， ∵MN是线段HT的垂直平分线， ∴NT＝NH， ∵四边形AFBH是正方形， ∴∠ABF＝∠ABH， 在△BFN与△BHN中， ， ∴△BFN≌△BHN（SAS）， ∴NF＝NH＝NT， ∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN， 四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN， 所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°， 所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°． ∴MNHT， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/29 22:09:23；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $