精品解析：福建省“龙岩一中、三明二中、永春一中”三校协作2025-2026学年高一上学期12月联考质量检测数学试题

“三明二中、永春一中、龙岩一中”三校协作 2025-2026学年第一学期联考 高一数学试题 命题人：三明二中 李琳，永春一中 张隆亿，龙岩一中 刘晓生 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025°是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数零点存在的区间为（ ） A B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（ ） （参考数据，） A. 22.1 B. 22.3 C. 22.5 D. 22.7 8. 已知函数，设，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设为实数，且，则 B. 弧长和面积均为的扇形的半径为2 C. 若是第二象限角，则是第四象限角 D. 函数的零点是 10. 给出以下四个判断，其中正确是（ ） A. 已知函数值域为 B. 关于“不等式有解”的一个必要不充分条件是 C. 函数，定义域，值域，则满足条件的有27个 D. 若函数，存在实数a使得 11. 已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若，则实数________． 13. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为________． 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． （3）已知，试用表示． 16. 已知幂函数在区间上单调递减． （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求a的取值范围． 17. 已知函数分别为定义在R上奇函数和偶函数，且满足． （1）若，令函数，求的值域； （2）当时，讨论关于x的方程的根的个数． 18. 已知函数． （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 19. 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意x，都有，则称具有“互倒性”．设． （1）判断函数是否具有“互倒性”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数n的值； （3）当时，设，已知在区间上有两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “三明二中、永春一中、龙岩一中”三校协作 2025-2026学年第一学期联考 高一数学试题 命题人：三明二中 李琳，永春一中 张隆亿，龙岩一中 刘晓生 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025°是（ ） A 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断象限角. 【详解】因为，终边在第三象限， 所以是第三象限角. 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】设，由，得，则， 所以， 所以， 故选：B. 3. 函数零点存在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性和零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上单调递增， 的零点所在区间为， 故选:B． 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C 5. 已知命题的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，命题：为真命题，分和，两种情况讨论即可求解. 【详解】由题意可知，命题：为真命题． ①当时，则不成立，则不符合题意； ②当时，则，令，则， 所以，当时，，则．综上所述，实数a的取值范围是． 故选：A 6. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据基本不等式“1”的代换求出，进而得到，进而求解即可. 【详解】因为，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：D． 7. 火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（ ） （参考数据，） A. 22.1 B. 22.3 C. 22.5 D. 22.7 【答案】C 【解析】 【分析】首先将条件中的数据代入速度公式求，再估算，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，， 代入题目公式，可得：，， ，， 代入值可得：，， 需装载的推进剂的吨数约为. 故选：C 8. 已知函数，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和复合函数的单调性来确定函数值的大小. 【详解】由恒成立，故的定义域为， ， 由，故为偶函数，则， 又，， 故，当时，，令， 令，由对勾函数性质可得该函数在上单调递增， 而函数在定义域内单调递增， 所以在上单调递增， 则，． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设为实数，且，则 B. 弧长和面积均为的扇形的半径为2 C. 若是第二象限角，则是第四象限角 D. 函数的零点是 【答案】ABC 【解析】 【分析】用作差法计算不等式判断选项A，利用扇形面积公式求解选项B，利用象限角的概念判断选项C，利用零点的概念判断选项D． 【详解】对于A，，，故，，故A正确； 对于B，扇形面积公式，又扇形的弧长和面积均为，即，解得，故B正确； 对于C，是第二象限角，即， ，即是第四象限的角，故C正确； 对于D，函数零点是使的自变量的值，令，解得， 函数的零点是，不是点，故D错误． 故选：ABC． 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 已知函数的值域为 B. 关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C. 函数，定义域，值域，则满足条件的有27个 D. 若函数，存在实数a使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用函数单调性即可判断；对于B，将问题等价于即可求解；对于C，定义域列举即可求解，对于D，求出，解方程即可求解. 【详解】对于A，在上单调递增，故其值域为，故A正确； 对于B，关于“的不等式有解”等价于， 即，可得是充分条件不是必要条件，故B错误； 对于C，函数，值域，由，解得：, 由，解得：，由，解得：, 所以定义域的情况有种， 则函数，定义域，值域，则满足条件的有27个，故C正确； 对于D，，故， 若，即，则，矛盾，故D错误． 故选：AC 11. 已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为奇函数，令，可判断B，由，令可判断A，由是偶函数，通过方程组法可判断C，由对称性的概念可判断D. 【详解】由为奇函数，得， 令，得，B正确． 对于， 令，得，A错误． 因为是偶函数，所以， 对于，以代替x得①， 则②，所以，C正确． ①与②相减得， 即，则的图象关于直线对称，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若，则实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】解：由得，解得或， 而， 可得，故， 故答案：1 13. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数性质可得，分析判断函数的单调性，结合单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 则定义域关于原点对称，可得，解得， 所以函数的定义域为． 由于函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递减， 因为，则或，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，依题设，由图得，，则，借助于对勾函数的单调性求出其范围即得. 【详解】作出的图象如下： 对于， 不妨设，因为， 由得，则， 由得， 则，令， 则 又因为在单调递减，故， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． （3）已知，试用表示． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数、对数的运算求解； （2）利用根式、指数幂的运算求解即可； （3）利用对数的运算求解即可. 【小问1详解】 由题意得 ； 【小问2详解】 由题意得. 【小问3详解】 由，得①， 由，得②， 由①②得， 所以， 所以． 16. 已知幂函数在区间上单调递减． （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的性质结合函数单调性求出解析式，再利用奇偶性的定义判断函数奇偶性； （2）利用函数单调性及解析式，结合函数不等式分类讨论求a的取值范围． 【小问1详解】 是幂函数， ，即，解得或， 又幂函数在区间上单调递减，指数，解得， 综上可得， ， 又， 为奇函数． 【小问2详解】 ， ， 函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，a的取值范围是． 17. 已知函数分别为定义在R上奇函数和偶函数，且满足． （1）若，令函数，求的值域； （2）当时，讨论关于x的方程的根的个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先结合奇偶性将代入关系式并化简，解方程即得两个函数，再利用解出参数，得到函数，最后利用换元，结合二次函数的值域，即得到的值域； （2）先化简方程得到，验证不是根，再分离参数构造函数，根据图象变换画出图像，进行数形结合即得到结果. 【小问1详解】 因为函数分别为定义在R上奇函数和偶函数， 且，则，可得， 联立方程，解得， 又因为，即，解得或， 当或时，均有， 且， 则， 设，， 则， 可得，且在上单调递增， 则在上的最小值为时，最大值为， 可得值域为，所以值域为. 【小问2详解】 因为为奇函数， 且，在定义域内单调且单调性相同，则在定义域内单调， 若， 则，可得， 当时，式子为，显然不成立，故不是方程的根； 当时，， 该函数图象是由对勾函数向上平移4个单位后保留x轴及x轴上侧部分， 将x轴下侧部分对称到x轴上侧，再将整个图象将右平移一个单位得到，如图所示， 结合图象可知： 当时，函数有两个不同交点，所以原方程有两个不等根； 当时，函数有四个不同交点，所以方程有四个不等根； 当时，函数有三个不同交点，所以原方程有三个不等根； 当时，函数有两个不同交点，所以方程有两个不等根； 当时，函数有三个不同交点，所以原方程有三个不等根 当时，函数有四个不同交点，所以方程有四个不等根； 综上所述，当时，原方程有两个不等根； 当时，原方程有三个不等根； 当时，原方程有四个不等根． 18. 已知函数． （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元以及指数函数的单调性，化简函数，根据二次函数的性质，可得答案； （2）利用换元以及指数函数的单调性，化简函数，根据二次函数的性质，解得分类讨论，可得答案； （3）由函数解析式以及参变分离，整理不等式，利用基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 设， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 故函数在上单调递增，所以， 故所求值域为. 【小问2详解】 函数的最小值为， 令，则， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在上单调递增，无最小值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 由题意可得，解得或（舍去）. 综上，. 【小问3详解】 由题意，有实数解， 即，可得， ，当且仅当时取等号， 在上恒成立， 有实数解，，有实数解 解得，即实数a的取值范围为． 19. 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意x，都有，则称具有“互倒性”．设． （1）判断函数是否具有“互倒性”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数n的值； （3）当时，设，已知在区间上有两个零点，证明：． 【答案】（1）函数具有“互倒性”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）假设具有“互倒性”，由此求解判断即可； （2）将函数与的图象恰有一个交点转化为恰有一根求解； （3）用反证法证明即可 【小问1详解】 函数定义域为，对， 则， 若，则， 整理得：， 若函数具有“互倒性”，则方程中各项系数为0， 即，解得， 即存在，使函数具有“互倒性”． 【小问2详解】 当时，， 由函数与的图象恰有一个交点， 则方程有且仅有一个解， 令，则， 方程变为：，即， 令， 对，由均值不等式，当且仅当，即时取等号， 对，当时其最小值为， 所以当时，取得最小值， 因为方程有且仅有一个解，所以． 【小问3详解】 当时，， 设是的两个零点，则①， ②， 得， 整理得， 假设，则，所以， 又，所以，而与同号， 所以与同号， 与矛盾， 所以假设不成立，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $