5.5一次函数与二元一次方程 讲义2025-2026学年苏科版数学八年级上册

本讲义聚焦一次函数与二元一次方程的内在联系这一核心知识点，前承一次函数概念与二元一次方程解法，后启图像法解方程组的应用，通过预习巩固概念、探究活动发现关系、例题示范转化方法、分层检测强化应用，搭建完整学习支架。 以“观察-归纳-应用”探究链为主线，如课堂探秘中通过一次函数图像观察二元一次方程解的对应关系，培养几何直观（数学眼光）与推理意识（数学思维）。课堂检测融入综合题（如直线相交求参数），强化模型意识（数学语言）。课中助力教师引导学生主动建构，课后知识清单与分层作业帮助学生梳理体系，查漏补缺。

2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第五节一次函数与二元一次方程》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解二元一次方程与一次函数的内在联系，明确 “ 以二元一次方程的解为坐标的点都在对应一次函数图象上，一次函数图象上所有点的坐标都是对应二元一次方程的解 ” 。 2.能熟练将二元一次方程转化为一次函数y=kx+b（k ≠ 0）的形式，掌握利用一次函数图象解决二元一次方程相关问题的方法。 3.体会数形结合思想的应用价值，提升 “ 以形助数、以数解形 ” 的数学思维能力，感受数学知识的连贯性。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.二元一次方程与一次函数的对应关系推导与理解。 2.二元一次方程与一次函数的相互转化，以及图象法在二元一次方程问题中的应用。 （二）难点 1.深刻理解 “ 二元一次方程的解 ” 与 “ 一次函数图象上的点坐标 ” 之间的一一对应关系。 2.灵活运用数形结合思想，解决与两者相关的综合问题。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 一次函数的一般形式是________（其中k、b为常数，且k ≠ 0）；二元一次方程的一般形式是________（其中A、B不同时为0）。 2. 将二元一次方程2x - 3y = 6转化为y=kx+b的形式，结果为________。 3. 二元一次方程x + y = 4有________个解，写出其中一个正整数解为________。 4. 若点(m, 5)在一次函数y=2x + 1的图象上，则m的值为________，该点坐标也是二元一次方程________的一个解。 5. 以二元一次方程3x + 2y = 10的解为坐标的所有点，组成的图形是一次函数________的图象。 ) 四．课堂探秘 探究一：二元一次方程与一次函数的关系 观察下图中一次函数y=2x-3的图像,你能发现它与二元一次方程2x-y-3=0的解有什么关系? 【归纳】：一次函数与对应二元一次方程的关系 一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解;以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上. 探究二：利用一次函数图象分析二元一次方程的解 【讨论】二元一次方程组的解与一次函数y=2x-3和y=x-的图像有怎样的关系? 【归纳】：如果两个一次函数的图像有一个交点,那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. （三）利用一次函数图象求二元一次方程（组）的解。 例1.已知一次函数y＝2x﹣3和y＝2x+1． （1）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （2）根据图象回答，方程组的解存在吗？ 例2.直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）． （1）求b、m的值，并结合图象求关于x、y的方程组的解． （2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为2，求a的值． 【归纳】：图像法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)把二元一次方程化成一次函数的形式;  (2)在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图像;  (3)标出交点; (4)交点坐标就是方程组的解.  总结如下:变函数——画图像——找交点——写结论. 五．课堂检测 （一）选择题 1．以方程的解为坐标的点组成下列哪个函数的图象（     ） A． B． C． D． 2.下面四条直线,其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(　　) AB C D 3．已知一次函数 y = 3x - 1 与 y = 2x 图象的交点是（1，2），求方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（  ） A． B． C． D． 6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+b与直线y=-3x+6相交于点A,则关于x,y的二元一次方程组的解是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 7.若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+b-1上,则常数b=(　　) A. B.2　　　　C.-1　　　　D.1 8．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法： ①方程组的解为 ②为直角三角形； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． 其中正确的说法个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 （二）填空题 9.将二元一次方程5x - 2y = 10转化为y=kx+b的形式是________。 10.二元一次方程x - 3y = 6对应的一次函数图象与y轴的交点坐标为________。 11.若一次函数y=kx + 4的图象经过点(2, 0)，则对应的二元一次方程为________。 12.以二元一次方程2x + y = 7的解为坐标的所有点组成的图象，与x轴的交点坐标为________。 13．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 14．直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 15．如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是    16．若函数为常数)与函数为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，则关于、的二元一次方程组的解是 . 17．如图，直线l1：y＝2x＋b与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，3），则关于x，y的方程组的解为 __________________． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在直线上．若，则点C的坐标为 ． （三）解答题 19．已知直线，. （1）在同一坐标系中，作出它们的图象； （2）根据图象写出方程组的解； （3）根据图象指出当x为何值时，；当x为何值时，； （4）求这两条直线与x轴围成的三角形的面积. 20．在数学活动中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，依据“两点确定一条直线”，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．    【解决问题】 （1）已知，，，则点　　　　（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图中两个图象，它们的交点坐标为　　　　，由此得出二元一次方程组的解是　　　　． 【拓展延伸】 （3）已知点,在二元一次方程的图象上，试求a，b的值． （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M，当点M在第一象限时，请求出m的取值范围． 21.在同一平面直角坐标系中画出一次函数y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4的图象，并根据图象解答下列问题： （1）直线y1＝﹣2x+2、y2＝x﹣4与y轴分别交于点A、B，请写出A、B两点的坐标； （2）根据图象写出方程组的解； （3）若y1与y2相交于点P，求△PAB的面积． 22．如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． (1)求直线l2的函数表达式； (2)试说明CD＝CE． (3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.以二元一次方程的解为坐标的点，都在该方程对应的______图象上；反之，一次函数图象上任意一点的坐标，都适合该函数对应的______。 2.二元一次方程2x - y = 3可变形为一次函数______的形式。 3.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的______坐标，就是这两个函数对应的二元一次方程组的解。 4.若二元一次方程组无解，则它对应的两条一次函数直线的位置关系是______；若方程组有无数组解，则对应的两条直线______。 5.解二元一次方程组的方法除了代入消元法、加减消元法，还有______，其中______得到的是近似解，准确解通常用前两种方法求解。 6.已知一次函数y = 3x + 1与y = -2x + 6的图象相交于点P，则点P的坐标是方程组______的解。 7.若直线y = k1x + b1与直线y = k2x + b2平行，则关于x，y的方程组的解的情况是______。 8.方程kx + b = 0的解，对应一次函数y = kx + b的图象与______轴交点的______坐标。 （二）强化训练 一．选择题 1．如图直线、交于点.观察图象，点的坐标可以看做是下列哪个方程组的解（ ）    A．， B．， C．， D．， 2．如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 3.函数与函数的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将沿x轴翻折得到，使点B刚好落在y轴正半轴的点C处，过点C作交于点D，则的长为（   ） A． B． C．5 D．4 5．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 6．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（　　） A． B． C．1 D．3 8．平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点、，若点在的内部，则的取值范围为（       ） A．或 B． C． D． 二．填空题 9．平面直角坐标系中两直线与如图，则方程组的解是______． 10．如图，直线：y=ax（a≠0）与：y=kx+b（k≠0）相交于点A则关于x，y的二元一次方程的解为 ． 11．已知直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（2，b），则关于x，y的方程组的解是 ． 12．如图，函数和的图象交于点，那么关于，的二元一次方程组的解为 13．已知二元一次方程组 的解是 则在同一平面直角坐标系中，直线y=x﹣5与直线y=﹣x+1的交点坐标为 ． 14．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 15．一次函数与的图像交点坐标为______． 16．若一次函数与的图象交点恰好在一次函数的图象上，则方程组的解为________． 17．如图，直线与直线交于P，则方程组的解是____． 18．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则方程组的解为_____________． 三．解答题 19．如图，过点C（0，1）的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P（a，2）． (1)求直线l1的解析式； (2)求四边形PAOC的面积． 20．若一次函数y＝kx+b的图像平行于直线y＝﹣x+2，且经过点(﹣2，0)． (1)试求k、b的值； (2)求一次函数y＝kx+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积． 21．如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴正半轴交于点A，与一次函数y＝2x﹣3的图像交于点B（m，1），且OA＝4 (1)求k，b的值； (2)求一次函数y＝kx＋b，y＝2x﹣3的图像与x轴所围成的三角形的面积． 22．如图，已知直线：与直线平行，与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 23．如图，一次函数的图像与轴相交于点，与过点的一次函数的图像相交于点． (1)求一次函数图像相应的函数表达式； (2)求的面积． 24．一次函数的图像经过点和两点． (1)求出该一次函数的表达式； (2)判断是否在这个函数的图像上？ (3)求出该函数图像与坐标轴围成的三角形面积． 25．25.如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,如图①,点A的坐标为(-1,1). (1)点B,点C的坐标分别为　　　　　　　　　　　　　　　　;  (2)若一个关于x,y的二元一次方程有两个解是和请写出这个二元一次方程,并检验说明点C的坐标值是不是它的解; (3)任取(2)中方程的一个解(不与(2)中的解相同),将该解中x的值作为点D的横坐标,y的值作为点D的纵坐标,在图①中描出点D; (4)在图①中作直线AB与直线AC,则直线AB与直线AC的位置关系是　　　　,点D与直线AB的位置关系是　　　　.  (5)若把直线AB叫做(2)中方程的图像,类似地,请在图②中画出二元一次方程组中两个方程的图像,并用一句话来概括二元一次方程组的解与图像之间的关系. 图① 图② ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第五节一次函数与二元一次方程》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解二元一次方程与一次函数的内在联系，明确 “ 以二元一次方程的解为坐标的点都在对应一次函数图象上，一次函数图象上所有点的坐标都是对应二元一次方程的解 ” 。 2.能熟练将二元一次方程转化为一次函数y=kx+b（k ≠ 0）的形式，掌握利用一次函数图象解决二元一次方程相关问题的方法。 3.体会数形结合思想的应用价值，提升 “ 以形助数、以数解形 ” 的数学思维能力，感受数学知识的连贯性。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.二元一次方程与一次函数的对应关系推导与理解。 2.二元一次方程与一次函数的相互转化，以及图象法在二元一次方程问题中的应用。 （二）难点 1.深刻理解 “ 二元一次方程的解 ” 与 “ 一次函数图象上的点坐标 ” 之间的一一对应关系。 2.灵活运用数形结合思想，解决与两者相关的综合问题。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 一次函数的一般形式是________（其中k、b为常数，且k ≠ 0）；二元一次方程的一般形式是________（其中A、B不同时为0）。 【 答案 】 ：y=kx+b；Ax+By+C=0 2. 将二元一次方程2x - 3y = 6转化为y=kx+b的形式，结果为________。 【 答案 】 ：y= x - 2 3. 二元一次方程x + y = 4有________个解，写出其中一个正整数解为________。 【 答案 】 ：无数； ，答案不唯一 4. 若点(m, 5)在一次函数y=2x + 1的图象上，则m的值为________，该点坐标也是二元一次方程________的一个解。 【 答案 】 ：2；2x - y + 1 = 0 5. 以二元一次方程3x + 2y = 10的解为坐标的所有点，组成的图形是一次函数________的图象。 【 答案 】 ：y=- x + 5 ) 四．课堂探秘 探究一：二元一次方程与一次函数的关系 观察下图中一次函数y=2x-3的图像,你能发现它与二元一次方程2x-y-3=0的解有什么关系? 解:(1)一次函数y=2x-3可以写成二元一次方程2x-y-3=0的形式,反过来,二元一次方程2x-y-3=0可以写成一次函数y=2x-3的形式. (2)点P(4,5)在函数y=2x-3的图像上,x=4,y=5是方程2x-y-3=0的解; x=2,y=1是方程2x-y-3=0的解,点(2,1)在函数y=2x-3的图像上. (3)一次函数y=2x-3的图像上的点的坐标都是二元一次方程2x-y-3=0的解;以二元一次方程2x-y-3=0的解为坐标的点都在一次函数y=2x-3的图像上. 【归纳】：一次函数与对应二元一次方程的关系 一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解;以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上. 探究二：利用一次函数图象分析二元一次方程的解 【讨论】二元一次方程组的解与一次函数y=2x-3和y=x-的图像有怎样的关系? 解:画出一次函数y=2x-3和y=x-的图像. 一次函数y=2x-3和y=x-的图像交于点P（1，-1）. （1）二元一次方程组的解是；一次函数y=2x-3和和y=x-的图像交于点P的坐标. （2）一次函数y=2x-3和y=x-的图像交点的坐标是二元一次方程组的解. 【归纳】：如果两个一次函数的图像有一个交点,那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. （三）利用一次函数图象求二元一次方程（组）的解。 例1.已知一次函数y＝2x﹣3和y＝2x+1． （1）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （2）根据图象回答，方程组的解存在吗？ 解：（1）如图： （2）根据图象得到直线y＝2x﹣3与直线y＝2x+1平行，所以方程组无解． 例2.直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）． （1）求b、m的值，并结合图象求关于x、y的方程组的解． （2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为2，求a的值． 解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝2x+1上，∴b＝2×1+1＝3；∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上，∴3＝m+4，∴m＝﹣1．∴关于x、y的方程组的解为； （2）当x＝a时，yC＝2a+1；当x＝a时，yD＝4﹣a．CD＝2， ∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝2，得：a＝或a＝．∴a的值为或a＝． 【归纳】：图像法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)把二元一次方程化成一次函数的形式;  (2)在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图像;  (3)标出交点; (4)交点坐标就是方程组的解.  总结如下:变函数——画图像——找交点——写结论. 五．课堂检测 （一）选择题 1．以方程的解为坐标的点组成下列哪个函数的图象（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：3y=－2x+5，∴，故以方程的解为坐标的点组成的图象．故选D． 2.下面四条直线,其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(　　) AB C D 【答案】D　 【解析】∵2x-3y=6,∴y=x-2,当x=0时,y=-2;当y=0时,x=3,∴一次函数y=x-2的图像与y轴交于点(0,-2),与x轴交于点(3,0),∴选项D符合要求.故选D. 3．已知一次函数 y = 3x - 1 与 y = 2x 图象的交点是（1，2），求方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求方程组的解就是一次函数与函数的交点. 即： 故选C. 4．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图知，设经过（1，1）、（0，-1）的直线解析式为y=ax+b（a≠0）.将（1，1）、（0，-1）两点坐标代入解析式中，解得 故过（1，1）、（0，-1）的直线解析式y=2x-1，对应的二元一次方程为2x-y-1=0.设经过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=kx+h（k≠0）. 将（0，2）、（1，1）两点代入解析式中，解得 故过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=-x+2，对应的二元一次方程为x+y-2=0.因此两个函数所对应的二元一次方程组是故选D 5．如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵直线与直线交于点，∴方程组的解为．即：方程组的解为．故选：A． 6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+b与直线y=-3x+6相交于点A,则关于x,y的二元一次方程组的解是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】B　 【解析】由图像可得两直线的交点坐标是(1,3),∴方程组的解为故选B. 7.若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+b-1上,则常数b=(　　) A. B.2　　　　C.-1　　　　D.1 【答案】B　 【解析】y=-x+b-1两边同乘2,得2y=-x+2b-2,变形为x+2y-2b+2=0,因为以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+b-1上,所以-b=-2b+2,解得b=2,故选B. 8．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法： ①方程组的解为 ②为直角三角形； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． 其中正确的说法个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】直线与直线都经过，方程组的解为：，故①正确；把代入直线，可得 令，则把，代入直线，可得 解得：直线令，则 ，故③错误；，， ，， 为直角三角形，故②正确；点A关于轴对称点为设过点，的直线为，则 解得：令，则当的值最小时，点P的坐标为，故④正确故选C． （二）填空题 9.将二元一次方程5x - 2y = 10转化为y=kx+b的形式是________。 【答案】：y=x - 5） 【解析】：移项得-2y=-5x + 10，两边同时除以-2得y=x - 5。 10.二元一次方程x - 3y = 6对应的一次函数图象与y轴的交点坐标为________。 【答案】：(0, -2)） 【解析】：将方程转化为y=x - 2，与y轴交点的横坐标为0，代入得y=-2，因此交点坐标为(0, -2)。 11.若一次函数y=kx + 4的图象经过点(2, 0)，则对应的二元一次方程为________。 【答案】：2x + y - 4 = 0） 【解析】：将(2, 0)代入y=kx + 4得0=2k + 4，解得k=-2，函数表达式为y=-2x + 4，转化为二元一次方程为2x + y - 4 = 0。 12.以二元一次方程2x + y = 7的解为坐标的所有点组成的图象，与x轴的交点坐标为________。 【答案】：(3.5, 0) 【解析】：对应的一次函数为y=-2x + 7，与x轴交点的纵坐标为0，令y=0，得0=-2x + 7，解得x=3.5，因此交点坐标为(3.5, 0)。 13．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】x＝−2 【解析】从图象可看出当x＝−2时，ax＋b＝kx，方程ax＋b＝kx的解是x＝−2，故答案为：x＝−2． 14．直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 【答案】4 【解析】令x＝0，则y＝﹣4，令y＝0，则x＝﹣2，故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴的交点分别为（0，﹣4）、（﹣2，0），故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积＝×|﹣4|×|﹣2|＝4．故答案为4． 15．如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是    【答案】 【解析】把代入，得，解得，所以点坐标为，所以关于的二元一次方程组的解是．故答案为：． 16．若函数为常数)与函数为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，则关于、的二元一次方程组的解是 . 【答案】 【解析】因为函数y=x-a(a为常数)与函数y=-2x+b(b为常数)的图象的交点坐标是(2，1)， 所以方程组 的解为 ．故答案为． 17．如图，直线l1：y＝2x＋b与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，3），则关于x，y的方程组的解为 __________________． 【答案】 【解析】∵由二元一次方程组与一次函数的关系可知，两条直线的交点坐标即为关于x，y的二元一次方程组的解，反之，成立，∴关于x，y的方程组的解为：故答案为： 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在直线上．若，则点C的坐标为 ． 【答案】 【解析】过点B作直线轴，过点B作交于点D，过点A，D作直线l的垂线，垂足分别为E，F，如图所示：∵点，∴， 在中，由勾股定理得：，在中，， 由勾股定理得：，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵直线l，直线l，∴， ∵，∴，在△BDF和中，，∴， ∴点D的横坐标为，设点D的纵坐标y，由两点间的距离公式得：，∴，解得：， ∴点D的坐标为或，①当点时，由两点间的距离公式得：，∴点，符合题意，②当时，由两点间的距离公式得：，∴点不符合题意，舍去， 设直线的表达式为，将点，点代入得：，解得：，∴直线的表达式为：，解方程组，得：， ∴点C的坐标为．故答案为：． （三）解答题 19．已知直线，. （1）在同一坐标系中，作出它们的图象； （2）根据图象写出方程组的解； （3）根据图象指出当x为何值时，；当x为何值时，； （4）求这两条直线与x轴围成的三角形的面积. 解：（1）图象如图： （2）由图象可知：方程组的解为； （3）由图象可得：当时，；当时，． （4）令，得；令，得．则所求三角形面积． 20．在数学活动中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，依据“两点确定一条直线”，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．    【解决问题】 （1）已知，，，则点　　　　（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图中两个图象，它们的交点坐标为　　　　，由此得出二元一次方程组的解是　　　　． 【拓展延伸】 （3）已知点,在二元一次方程的图象上，试求a，b的值． （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M，当点M在第一象限时，请求出m的取值范围． 解：（1）把已知，，分别代入方程中，，，，∴点A，B不在方程的图象上，点C在方程的图象上，故答案为：C； （2）二元一次方程的图象如下图：    由图可知交点坐标为，则的解为：，故答案为：，； （3）点,在二元一次方程的图象上， ，解得：； （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M， ，解得：，，点M在第一象限， ，，解得： 21.在同一平面直角坐标系中画出一次函数y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4的图象，并根据图象解答下列问题： （1）直线y1＝﹣2x+2、y2＝x﹣4与y轴分别交于点A、B，请写出A、B两点的坐标； （2）根据图象写出方程组的解； （3）若y1与y2相交于点P，求△PAB的面积． 解：画出函数的图象如图：（1）∵直线y1＝﹣2x+2、y2＝x﹣4与y轴分别交于点A、B， ∴x＝0时，y1＝2，x＝0时，y2＝﹣4，∴A（0，2）、B（0，﹣4）； （2）如图所示：直线y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4的交点P的坐标为（2，﹣2），∴方程组的解为； （3）△PAB的面积为：×AB×2＝（2+4）×2＝6． 22．如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． (1)求直线l2的函数表达式； (2)试说明CD＝CE． (3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标． 解：（1）将C（1，0）和D（0，2）代入直线l2：y＝kx+b得，，解得∴直线l2：y＝-2x+2；（2）当-2x+2= x﹣4时，x=2∴E(2，-2)∴∴∴CD＝CE； （3）∵∠POB=∠BDE，∴OP∥DE，∴点P在l1上有两个位置，①当点P在点B上方时，如图，∵OP∥DE，∴直线OP的函数解析式为y=-2x，∴-2x=x-4∴∴∴②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1为点P'，∴∴直线OQ的解析式为：y=2x∴2x= x-4∴x=-4∴y=-8∴P'（-4，-8）综上所述：或（-4，-8）． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.以二元一次方程的解为坐标的点，都在该方程对应的______图象上；反之，一次函数图象上任意一点的坐标，都适合该函数对应的______。 2.二元一次方程2x - y = 3可变形为一次函数______的形式。 3.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的______坐标，就是这两个函数对应的二元一次方程组的解。 4.若二元一次方程组无解，则它对应的两条一次函数直线的位置关系是______；若方程组有无数组解，则对应的两条直线______。 5.解二元一次方程组的方法除了代入消元法、加减消元法，还有______，其中______得到的是近似解，准确解通常用前两种方法求解。 6.已知一次函数y = 3x + 1与y = -2x + 6的图象相交于点P，则点P的坐标是方程组______的解。 7.若直线y = k1x + b1与直线y = k2x + b2平行，则关于x，y的方程组的解的情况是______。 8.方程kx + b = 0的解，对应一次函数y = kx + b的图象与______轴交点的______坐标。 【答案】 1.一次函数；二元一次方程 2.y = 2x - 3 3.交点 4.平行；重合 5.图像法；图像法 6.  7. 无解 8. x；横 （二）强化训练 一．选择题 1．如图直线、交于点.观察图象，点的坐标可以看做是下列哪个方程组的解（ ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】设直线l1的解析式是y=k1x-1，设直线l2的解析式是y=k2x+5，∵把A（-4，1）代入l1得：k1=，∴直线l1的解析式是y=x-1，∵把A（-4，1）代入l2得：k2=1，∴直线l2的解析式是y=x+5，∵A是两直线的交点，∴点A的坐标可以看作方程组的解，故选C． 2．如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于直线l1经过点（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直线l1的解析式为y=﹣x﹣1；同理可求得直线l2的解析式为y=﹣2x+4；因此直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解．故选A． 3.函数与函数的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：解得 故函数与函数的交点坐标是 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将沿x轴翻折得到，使点B刚好落在y轴正半轴的点C处，过点C作交于点D，则的长为（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【解析】：当时， ，∴点B的坐标为；当时，，解得， ∴点A的坐标为．在中，，． 由折叠可知，，．， ．故选：A． 5．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【解析】一次函数,当x=0时，y=6； 当y=0时，x=3．∴图象与坐标轴的交点为(0,6)，(3,0)，∴图象与两坐标轴围成的三角形的面积为：，故选：B． 6．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程组的解为，直线与直线的交点坐标为，故选：D． 7．设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】当x=0时，y=5×0+6=6，∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为（0，6）；当y=0时，5x+6=0，解得：x=，∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为（，0），当x=0时，y=6×0+6=6，∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为（0，6）；当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1，∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为（-1，0）．∴S5=BD•OA=×|-1-（）|×6=，故选：A． 8．平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点、，若点在的内部，则的取值范围为（       ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】当中y=0时，得x=-9；x=0时，得y=12，∴A（-9，0），B（0，12），∵点的坐标为，当m=1时，P（3，0）；当m=2时，P（6，-4），设点P所在的直线解析式为y=kx+b，将（3，0），（6，-4）代入，∴，∴点在直线上，当x=0时，y=4，∴C（0，4），，解得，∴E（-3，8）， ∵点在的内部，∴，∴-1<m<0，故选：C． ． 二．填空题 9．平面直角坐标系中两直线与如图，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】由题意知二元一次方程组的解为直线与直线的交点的横、纵坐标∴由图象知方程组的解为． 10．如图，直线：y=ax（a≠0）与：y=kx+b（k≠0）相交于点A则关于x，y的二元一次方程的解为 ． 【答案】 【解析】根据图象可得，关于x，y的二元一次方程的解为， 故答案为：． 11．已知直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（2，b），则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【解析】∵直线y=x+1经过点P（2，b），∴b=2+1，解得b=3，∴P（2，3），∴关于x的方程组的解为，故答案为：． 12．如图，函数和的图象交于点，那么关于，的二元一次方程组的解为 【答案】 【解析】∵函数和的图象交于点，，∴关于，的二元一次方程组的解为，故答案为：． 13．已知二元一次方程组 的解是 则在同一平面直角坐标系中，直线y=x﹣5与直线y=﹣x+1的交点坐标为 ． 【答案】（3，﹣2） 【解析】联立 ，上式化为 ，∴方程组的解为 ， ∴直线y=x﹣5与直线y=﹣x+1的交点坐标为（3，﹣2）故答案为（3，﹣2） 14．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【解析】∵直线经过点，∴，解得，∴，∴关于x，y的方程组的解为，故答案为：． 15．一次函数与的图像交点坐标为______． 【答案】 【解析】联立方程组，得：，解得， ∴一次函数与的图像交点坐标为（）故答案为：． 16．若一次函数与的图象交点恰好在一次函数的图象上，则方程组的解为________． 【答案】 【解析】由解得，∴一次函数y=3x与一次函数y=2x-2的交点的坐标为（-2，-6），∴方程组的解为．故答案为：． 17．如图，直线与直线交于P，则方程组的解是____． 【答案】 【解析】∵直线与直线交于P，∴方程组的解为：，故答案为：. 18．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】∵函数与的图像交于点∴方程组即的解为：．故答案是： 三．解答题 19．如图，过点C（0，1）的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P（a，2）． (1)求直线l1的解析式； (2)求四边形PAOC的面积． 【答案】(1)y＝﹣x+1(2) 【解析】(1)∵点P（a，2）在直线y＝2x+4上，∴2a+4＝2，∴a＝﹣1，则P的坐标为（﹣1，2），设直线l1的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+1； (2)∵l1与x轴相交于B点，∴B的坐标为（1，0），∵直线l2与x轴相交于A点，∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，∴S四边形PAOC3×21×1． 20．若一次函数y＝kx+b的图像平行于直线y＝﹣x+2，且经过点(﹣2，0)． (1)试求k、b的值； (2)求一次函数y＝kx+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)k=-1，b=-2；(2)2 【解析】（1）∵一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=-x+2，∴k=-1，∴把点（-2，0）代入y=-x+b得，0=-（-2）+b，解得b=-2，∴k=-1，b=-2； （2）由（1）得k=-1，b=-2，∴一次函数的解析式为y=-x-2，∵函数y=-x-2与x轴、y轴的交点分别为（-2，0）和（0，-2），∴所围成的三角形的面积=． 21．如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴正半轴交于点A，与一次函数y＝2x﹣3的图像交于点B（m，1），且OA＝4 (1)求k，b的值； (2)求一次函数y＝kx＋b，y＝2x﹣3的图像与x轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 点B（m，1）在一次函数y＝2x﹣3的图像上，解得m=2， B（2，1），OA＝4，A在x轴上， A（4，0）， A（4，0），B（2，1）两点在一次函数y＝kx＋b的图像上， ，解得， (2)如图1，直线BC：y＝2x﹣3， C（，0）， A （4，2），B（2，1）， ．答：图像与x轴所围成的三角形的面积为． 22．如图，已知直线：与直线平行，与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)y=-x+4(2)7 【解析】（1）∵直线l1：y=kx-2与直线y=x平行，∴k=1，∴直线l1为y=x-2，∵点E（3，m）在直线l1上，∴m=3-2=1，∴E（3，1），设直线l2的解析式为y=ax+b，把C（0，4），E（3，1）代入得， 解得：，∴直线l2的解析式为y=-x+4； （2）在直线l1：y=x-2中，令y=0，则x-2=0，解得x=2，∴A（2，0），在直线l2：y=-x+4中，令y=0，则-x+4=0，解得x=4，∴D（4，0），∴S△COD=×4×4=8，S△AED=（4-2）×1=1， ∴S四边形ABCE=S△COD-S△AED=8-1=7．故四边形AOCE的面积是7． 23．如图，一次函数的图像与轴相交于点，与过点的一次函数的图像相交于点． (1)求一次函数图像相应的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【解析】(1)∵在：的图像上，∴； 设一次函数图像相应的函数表达式为，把点，代入得：，解得， ∴的解析式为：； (2)过点作轴于点，如下图所示：令中，得到，∴ ∴，，∴． 24．一次函数的图像经过点和两点． (1)求出该一次函数的表达式； (2)判断是否在这个函数的图像上？ (3)求出该函数图像与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)；(2)点不在这个函数的图象上，理由见解析；(3)． 【解析】(1)设一次函数的表达式为，代入点和点得， 一次函数的表达式为； (2)把代入中得即点不在这个函数的图象上； (3)由（1）知一次函数的表达式为令令 25.如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,如图①,点A的坐标为(-1,1). (1)点B,点C的坐标分别为　　　　　　　　　　　　　　　　;  (2)若一个关于x,y的二元一次方程有两个解是和请写出这个二元一次方程,并检验说明点C的坐标值是不是它的解; (3)任取(2)中方程的一个解(不与(2)中的解相同),将该解中x的值作为点D的横坐标,y的值作为点D的纵坐标,在图①中描出点D; (4)在图①中作直线AB与直线AC,则直线AB与直线AC的位置关系是　　　　,点D与直线AB的位置关系是　　　　.  (5)若把直线AB叫做(2)中方程的图像,类似地,请在图②中画出二元一次方程组中两个方程的图像,并用一句话来概括二元一次方程组的解与图像之间的关系. 图① 图② 【答案】（1）(-2,2)；(0,0). （2）见解析 （3）见解析 （4）直线AB与直线AC重合,点D在直线AB上.（5）见解析 【解析】　(1)∵点A的坐标为(-1,1),∴点B的坐标为(-2,2),点C的坐标为(0,0). (2)∵和是关于x,y的二元一次方程的解,∴这个二元一次方程为x+y=0, ∵0+0=0,∴点C的坐标值是它的解. (3)点D的坐标为(1,-1),如图.(答案不唯一) 图1 (4)如图1,直线AB与直线AC重合,点D在直线AB上. (5)如图2: 图2 直线x+y=4与直线x-y=-2的交点为(1,3).将x=1,y=3代入知,是方程组的解,因此二元一次方程组的解是方程组中两个方程的图像的交点坐标. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $