第17讲 一次函数的应用（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年苏科版八年级数学上册满分全攻略备课系列

本讲义聚焦一次函数的应用这一核心知识点，系统梳理建立一次函数模型解实际应用题的方法，涵盖分配方案、最大利润等常见应用类型，同时衔接一次函数与二元一次方程、方程组的关系，构建从建模到综合应用的完整知识支架。 该资料以多样化题型巩固为特色，通过分配方案、行程问题等真实情境培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，结合分层强化练习提升运算与推理意识，图象法解方程组等内容强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后学生可通过题型分类与分层练习查漏补缺，深化知识理解与应用能力。

第17讲 一次函数的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.建立一次函数模型解实际应用题 2.利用一次函数解决实际问题的常见类型 3.一次函数与二元一次方程 4.一次函数与二元一次方程组 题型巩固 一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三、行程问题(一次函数的实际应用) 四、梯度计价问题 五、其他问题(一次函数的实际应用) 六、一次函数与几何综合 七、两直线的交点与二元一次方程组的解 八、图象法解二元一次方程组 九、求直线围成的图形面积 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（6） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.建立一次函数模型解实际应用题 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题. 常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的表达式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的表达式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点2.利用一次函数解决实际问题的常见类型 一次函数是刻画现实世界中数量间关系的最为简单的一个模型，其应用非常广泛，如天平、杠杆、弹簧秤以及测量气压、血压、温度等的有关仪器，它们都是应用一次函数的实例. 利用一次函数的图象还可以解决如利润最大、成本最小、话费最少、运费最省以及是否合算等问题，这些问题我们都可以利用一次函数的图象和性质进行求解. 知识点3.一次函数与二元一次方程 一次函数与二元一次方程的对应关系 知识点4.一次函数与二元一次方程组 1. 一次函数与二元一次方程组的对应关系 2. 两直线的位置关系与二元一次方程组解的情况的关系 两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况 相交 有唯一解 平行 无解 重合 有无数组解 3. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)变函数：把方程组化为一次函数y＝与 (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的 图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 题型巩固 题型一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是 ． 【答案】x＞300 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 3．A城有肥料，B城有肥料，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费元用分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两乡运肥料分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料，设A城运往C乡的肥料为x吨，运往C乡肥料的总运费为，运往D乡肥料的总运费为； (1)写出关于x的函数关系式以及关于x的函数关系式并指出自变量的取值范围； (2)怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案； (3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了a元，如何调度才能使总运费最少？最少运输费是多少？（用含a的式子表达） 【答案】(1)， (2)从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元 (3)时，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，；当时，从A城运往C乡200吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡40吨，运往D乡260吨，此时总运费最少， 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）直接根据题意分别列出函数关系式即可； （2）设总运费为y元，列出y与x之间的函数关系，然后根据一次函数图像的性质作答即可； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）据题意得：， ． （2）设总运费为y元， 根据题意可得，y与x之间的函数关系为： ， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元． （3）根据题意可知，改善后的总运费为∶ ， ∵， ∴． ①当，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，， ②当，即时，y随x的增大而减小， ∴当时，， ③当时，即时，无论x去何值，y的值为． 综上，时，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，；当时，从A城运往C乡200吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡40吨，运往D乡260吨，此时总运费最少，． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，能够将运费问题转化为一次函数的问题是解题的关键． 题型二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．某超市以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.3元，直至全部售完．销售金额y与售出西瓜的千克数x之间的关系如图所示，那么超市销售这批西瓜一共赚了（　　） A．20元 B．32元 C．35元 D．36元 【答案】B 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】通过审题，发现题目中不知道购进的西瓜重量，而问题一共赚了多少元，由出售的总价格-进货的总价格=赚了多少和右图所示出售的总价格是72元，那么可以用一次函数求出购进的西瓜重重，就可以求出进货的总价格； 【详解】解：由图可求：60÷40=1.5元， 由于后来每千克降价0.3元，可以求后来的出售的西瓜重量：（72-60）÷（1.5-0.3）=10 （千克） 所有进货的总重量：10+40=50 （千克）； 所以进货总进价：50×0.8=40 （元） 赚了：出售总价格-进货总价格=72-40=32 （元） 故选B． 【点睛】考查一次函数的应用，经济问题相关公式，看图分析问题能力；要理解题目意思和看懂图中的信息，易错点是：看懂图中的信息，把两次不同价格出售的西瓜重量加起来． 5．某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 千克． 【答案】30 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意可设AB段的解析式为，OC段的解析式为，再结合图象利用待定系数法求出解析式，最后根据该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即，可列出关于x的等式，解出x即可． 【详解】根据题意可设AB段的解析式为：，且经过点A(0，240)，B(60，480)， ∴ ， 解得：， ∴AB段的解析式为：； 设OC段的解析式为：，且经过点C(60，720)， ∴， 解得：， ∴OC段的解析式为：． 当该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即， ∴， 解得：． 所以这天的产量是30千克． 故答案为：30． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 【答案】(1)，，且为整数； (2)66000元，生产A产品60件，B产品30件． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意列出函数关系式即可； （2）根据题意可得出，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意得： ，且，为整数； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵，随的增大而增大， ∴当时，获利总额最大，最大总额为：（元）， ∴生产A产品60件，B产品30件，获利总额最大，最大总额为元． 题型三、行程问题(一次函数的实际应用) 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲车；④当甲、乙两车相距时，或或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得， A，B两城相距，故①正确，符合题意； 乙车比甲车晚出发，却早到，故②正确，符合题意； 甲车的速度为：，乙车的速度为， 乙车出发后行驶的路程为：，此时甲车行驶的路程为：，故③错误，不符合题意； 当甲、乙两车相距时，设甲车行驶的时间为t小时， 乙车没有出发，则，得； 乙车出发后，两车相遇之前：，得； 两车相遇之后，乙车未到达B城：，得； 乙车到达B城后：，得； 由上可得，当甲、乙两车相距时，或或或，故④错误，不符合题意； 故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设良马t天追上驽马， ， 解得，， 20天良马行走的路程为（里）， 故点P的坐标为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 题型四、梯度计价问题 10．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差 元． 【答案】 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的应用，本题中应分三段进行计算，第一段是当时，费用相差(元)；第二段时当时，费用相差最大为 元；第三段当时，根据函数图象列出两种收费方式的收费与时间之间的函数关系式，根据关系式求出所收费用的差距． 【详解】解：设元包时方式的费用为，元包时方式的费用为， 由函数图象可知， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，，费用相差(元)， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，，当，费用相差最大：(元)， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，， 费用相差： (元)， 这两种方式所收的费用最多相差元． 故答案为： ． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)该户居民用水20立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； （2）解：∵， ∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米， 则， 解得， 答：该户居民用水20立方米． 题型五、其他问题(一次函数的实际应用) 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图是某游乐场每天的利润y（票价总收入减去运营成本）与每天售出的门票张数x的函数图象．目前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，下列图象中能表示采取措施后的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，从降低运营成本、提高票价两种措施结合函数图象，逐项分析判断，即可求解． 【详解】根据直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，故CD选项，不合题意， 直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了降低成本而保持票价不变，故B选项不合题意； 综上所述，乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，只有A选项中的图象符合题意， 故选：A． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）某市的出租车收费标准：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租车行驶的距离为 x 千米，则需付费用 y（元）与x（千米） 之间的关系为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、函数解析式 【分析】本题主要考查了列函数关系式，分当时和当时两种情况，然后根据题意分别列出y关于x的函数关系式即可． 【详解】解：根据题意可知：当时， 当时，则， 故需付费用y（元）与x（千米）之间的关系为， 故答案为： 15．（25-26八年级上·江苏南通）某水果批发站购进苹果和梨共100箱，其中苹果每箱40元，梨每箱45元． (1)若设苹果箱数为x箱，总费用为y元，试用x的代数式来表示总费用y； (2)若购进的100箱水果中，苹果箱数不小于30箱，且不大于90箱，试求该水果批发站此次购入水果的总费用的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据总费用=苹果的费用+梨的费用求解即可； （2）根据一次函数的性质求出总费用y的最大值和最小值，即可求解． 【详解】（1）解∶根据题意，得 ∴； （2）解∶∵， ∴随的增大而减小， 又， ∴当时，有最大值为4350；当时，有最小值为4050， ∴该水果批发站此次购入水果的总费用的范围． 题型六、一次函数与几何综合 16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，k的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．先求解，的解析式，再结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 当为直线时， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴此时该直线与线段有交点时，则， 当为直线时， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴此时该直线与线段有交点时，则， ∴或． 故选D 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的临界值是解题的关键．要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的临界值即可． 【详解】解：∵， ∴直线过定点． 当直线经过点时， 解得： 当直线经过点时， 解得： 或 故答案为：或． 18．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为：． (2)M的坐标为：或． 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的几何问题，熟练掌握基本性质和三角形面积公式是解题关键； （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）分两种情况，当分别在点的上方和下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为：， ∵点、的坐标分别为、， ∴， 解得， 故直线的函数表达式为：． （2）解：∵直线的函数表达式为：，的图像交坐标轴于、两点，且直线、相交于点． ∴， ∴联立解得， ∴， 如图， 当在点下方时，要使得的面积是的面积的2倍， 则点为的中点， ∴； 当在点上方时， ∵， ， 又∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵在直线上， ∴， ∴， ∴, 故M的坐标为：或． 题型七、两直线的交点与二元一次方程组的解 19．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键． 利用一次函数和二元一次方程（组）的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴一次函数与的图象交于点， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 20．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）函数与的图像如图所示，则 ． 【答案】2 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两条直线相交问题，先把代入一次函数中，可求得交点坐标为，然后把代入求得k值即可． 【详解】解：对于， 当时，， ∴交点坐标为， 把代入，得， ∴， 故答案为：2． 21．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，求直线和的交点坐标．（要写过程） 【答案】直线和的交点坐标为 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】本题考查了求两直线解析式及两直线交点坐标的方法，分别找出每条直线所经过的两个“格点”，利用“两点法”列方程组求函数关系式，联立两函数关系式解方程组求两直线的交点． 【详解】解：设直线解析式为，由图可知，直线经过点 则， 解得 ∴直线解析式为； 同理可得直线解析式为yx； 联立， 解得， ∴直线和的交点坐标为． 题型八、图象法解二元一次方程组 22．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】一次函数与的交点为P（、4） 解得 点P的坐标为（2、4） 的解为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解． 23．已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ； 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得． 【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系． 24．（2024八年级上·江苏·专题练习）利用一次函数的图象解二元一次方程组：． 【答案】 【知识点】画一次函数图象、图象法解二元一次方程组 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点． 先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：如图， 两个一次函数y与的交点坐标为； 因此方程组的解． 题型九、求直线围成的图形面积 25．已知直线y＝−x+6，它与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A．6 B．10 C．25 D．30 【答案】D 【知识点】求直线围成的图形面积 【详解】试题解析：∵当y=0时，x=10； 当x=0时，y=6， ∴直线与坐标轴的交点分别为（10，0），（0，6）． 故直线y＝−x+6与坐标轴围成的面积为：×10×6=30． 故选D． 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 26．若点A（8，0），B（0，n），且直线AB与坐标轴围成的三角形面积为12，则n＝ ． 【答案】±3 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】先分别求出点A、点B到坐标轴的距离即OA、OB，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点A（８，0），B（0，n）， ∴OA=8，OB=｜n｜， ∵直线AB与坐标轴围成的三角形面积等于12， ∴×8×｜n｜=12， 解得：n=±3， 故答案为：±3． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质，会利用点的坐标求图形的面积的方法是解答的关键． 27．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值； (2)根据图象，求的面积． 【答案】(1)； (2)9． 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，坐标与图形面积． （1）把代入可得的值，再把的坐标代入可得的值，从而可得答案； （2）先求解的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得：， ∴点的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， ∴， ∴； 分层强化 一、单选题 1．直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与直线关于y轴对称，直线与x轴交于点C，的面积为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由直线的解析式为即可求得、的坐标，然后根据轴对称求得的坐标，由此即可求出． 【详解】解：∵已知直线的解析式为与y轴交于点A，与x轴交于点B， ，， 直线与直线关于y轴对称，直线与x轴交于点C， ， 如图所示： ∴的面积=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴围成图形面积和轴对称图形性质．根据解析式求出与坐标轴交点AB坐标是解题关键． 2．如图，观察图象可知方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组等知识点，关键是能根据函数图象的交点解方程组． 观察函数的图象的交点即可求解． 【详解】解：通过直线交点， 方程组的解为， 故选：C． 3．弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是设出函数关系式，利用待定系数法求出的值． 根据图象，设出直线解析式为，把，代入函数解析式，可得函数关系式为：，求直线与 y 轴交点即可． 【详解】解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， 则函数关系式为：， 当时，． 故选：B． 4．张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与时间的关系．当两人相距时，时间是（   ） A．10 B．10或29.5 C．29.5或35.5 D．10或29.5或35.5或38 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键. 根据速度路程时间和路程速度时间分别求出甲，乙距起点的距离与出发时间的关系，当两人相距时，分别列关于的方程并求解即可． 【详解】 甲的速度为, ∴甲距起点的距离与出发时间的关系为， 当时, 乙的速度为, ∴当时，乙距起点的距离与出发时间的关系为； 当时, 乙的速度为 ∴当时, 乙距起点的距离与出发时间的关系为； 当时, 当两人相距时, 得, 解得； 当时, 当两人相距时, 得， 解得或； 当时, 当两人相距时, 得, 解得 ； ∴当两人相距时, 出发的时间是或，，. 故选: D． 5．小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（    ） A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解．求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A说法错误，不符合题意； B．当时，设所在直线的函数表达式为：， 则， 解得， ∴，故选项B说法错误，不符合题意； C．当石块下降的高度为时，即时，， 此时石块所受浮力是，故选项C说法错误，不符合题意； D．当弹簧测力计的示数为时，， 解得， 石块距离水底的距离为，故选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m），过点P作OP的垂线交函数（k＞1）的图象于点Q．若Q的横坐标为1，且OP2﹣PQ2＝6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据点P（m，m）可得均为等腰直角三角形，根据OP2﹣PQ2＝6得出，求出m值即可求得k的值． 【详解】解：作，， P（m，m）， ， ， ， 均为等腰直角三角形， ， ， ， 即， 解得：， , 点的纵坐标为， ， 将点Q代入中， 得：， 故选:B． 【点睛】本题主要考查一次函数函数图像，等腰三角形以及勾股定理，根据已知条件求出m的值是解题的关键． 7．定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，一次函数动点问题等知识，解题的关键是正确分类讨论． 根据等边三角形的性质和勾股定理求出，，然后根据题意分4种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】解：∵点，点、在轴上 ∴当时，点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∵是等边三角形，，点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图所示，过点P作于点D 当时， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴此时动点与等边的“点图距” ∴当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴ ∴； 当时，动点与等边的“点图距”为的长度 ∴ 综上所述，． 故选：B． 二、填空题 8．已知直线与的图像如图所示，则二元一次方程组的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程，满足解析式的点就在函数的图像上，在函数的图像上的点，就一定满足函数解析式．两函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点就是二元一次程组的解，可直接得到答案． 【详解】与的图像交于点， 二元一次方程组的解为， 故答案为：． 9．甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当乙追上甲时，甲加工零件的时间为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的应用． 先求出当时甲的函数解析式，再求出时x的值，由函数图像可知乙追上甲时两人分别加工100个零件，据此作答即可． 【详解】解：当时， ∵甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件， ∴甲的函数解析式为（）， ∴当时，， 解得， ∵甲、乙两人同时完成任务，由图可知，乙追上甲时两人分别加工100个零件， ∴当乙追上甲时，甲加工零件的时间为4小时， 故答案为：4． 10．将“”和“”按如图所示的方式有规律地排列．设图中“”的个数为x，“”的个数为y，写出y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式、图形的变化类，分别写出3个图中x与y的值，找到它们的变化规律并判断函数类型，从而利用待定系数法求出其函数关系式即可． 【详解】解：图（1）中，； 图（2）中，； 图（3）中，， ∴x增加1，y增加2， ∴y与x之间是一次函数的关系， 设y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）， 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 11．如图，已知a，b，c分别是的三条边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是，则c的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到c的值． 【详解】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上， ，即， ∵分别是的三条边长，，的面积为， ∴，， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）． 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点P沿路线运动．当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求得直线的解析式，求出的面积，进而求出的面积，进而求出点的纵坐标，再分两种情况，代入直线解析式中即可得出结论． 【详解】解： 点的坐标为， 设直线的解析式为， 点在直线上， ， ， 直线的解析式为； 令， ， ， ， ， 的面积是的面积的， ， 设的纵坐标为， ， ， ， 直线的解析式为， 当点在上时，， ，， 当点在上时，， ， 即：点，或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 13．如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ，， ， 设，， ， ， 则， ，即． 直线， ， 点 ， 在中，由勾股定理得：， 则的坐标是， 设直线的解析式是， 把代入得：， 即直线的解析式是， 组成方程组 解得： 点，， 故答案为：，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度． 三、解答题 14．利用图象求方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点与二元一次方程的关系，将方程组内的每一个方程转化为用x表示y的式子，即函数关系式，再画出两条直线，从而确定交点，从而得解，正确绘图是解题的关键． 【详解】解：由得：， 画出两个一次函数的图象图下：    由图象知：是原方程组的解． 15．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 16．伴随着网络媒体技术的持续迭代与迅猛发展，其影响力不断渗透至社会经济的各个层面．在此背景下，直播间带货作为一种创新且高效的网络营销模式，成为当下商业营销领域的重要力量．如图所示的折线反映了某主播在直播期间的在线观看人数y（万人）与其直播时间t（h）之间的函数表达式． (1)求y与t之间的函数表达式； (2)当直播期间的在线观看人数大于20万人时，求时间t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，通过函数图象灵活运用数形结合来解答问题是解题的关键． （1）分两段，利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据直播期间的在线观看人数大于20万人，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 函数图象经过点， ， 解得：， ； 当时，设， 函数图象经过点和点， ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得：， 此时， 当时，， 解得， 此时， 故当时，直播期间的在线观看人数大于20万人． 17．如图，过点的直线与直线交于． (1)求直线对应的表达式． (2)直接写出方程组的解． (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把代入求出得到点坐标为，然后把点，代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值即可得到直线的表达式； （2）根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可直接得到答案； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入得， 则点坐标为； 把，代入得： ，解得， 所以直线的表达式为； （2）因为直线与直线交于点， 所以方程组的解为； （3）交轴于，交轴于， ，， 四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与一次函数的图像交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)结合图像，当时，请直接写出x的取值范围； (3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，与一次函数的图像交于点E．当时，求DE的长． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式； （2）根据函数图像，结合B点的坐标即可求得x的取值范围； （3）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），由CE＝3CD求出m，即可得DE的长． 【详解】（1）解：当x＝3时，y＝x+2＝4， ∴B点坐标为（3，4）． 直线y1＝kx+b经过A（5，0）和B（3，4）， 则， 解得：， ∴一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式为y1＝﹣2x+10； （2）解：由图像以及B（3，4）可知，x＜3时，y1＞y2； （3）解：设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2）， ∴CE＝m+2，CD＝2m﹣10， ∵CE＝3CD， ∴m+2＝3（2m﹣10），解得m＝6． ∴D（6，﹣2），E（6，6）， ∴DE＝8． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键． 19．在准备“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费元，免费市话通话时间分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为（元），B套餐每月市话话费为（元），月市话通话时间为x分钟．（） (1)分别写出与x的函数关系式． (2)月市话通话时间为多长时，两种套餐收费一样？ (3)小明爸爸每月市话通话时间为分钟，请说明选择哪种套餐更合算？ 【答案】(1)， (2) (3)B套餐 【分析】本题考查一次函数的应用，将实际问题抽象为数学问题是解决问题的关键． （1）根据A、B套餐的收费标准，分别写出函数的解析式即可； （2）令解方程，即可求出收费一样的x值； （3）计算出当时两种方案的收费，比较即可解答． 【详解】（1）解： ，； （2）令，则， 解得， 故月市话通话时间为150分钟长时，两种套餐收费一样； （3）当时， 元，元， ， ∴小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，选择B套餐更合算． 20．甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 【答案】(1)60，120 (2) (3)或或 【分析】本题考查了实际问题的函数图像，一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （1）根据速度路程时间求解即可； （2）用返回时行驶的速度表示即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别列出算式或方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，乙车的速度是（千米/时）， 甲车从A地到B地的速度是（千米/时）， 甲车返回时的速度是（千米/时）； （2）解：根据题意得，， （小时）， ∴（小时）， ∴自变量的取值范围是； （3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，（小时）； 当4小时时，甲车到达B地， 当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260千米时，（小时）； 当甲返回时，， 解得（小时）， 综上所述，出发或或小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米． 21．在数字时钟精准到毫秒的今天，鲜有人记得，千年前的华夏大地上，古人已用智慧构建起精妙的计时系统——铜壶滴漏．我国现存最完整的成组型滴漏是元代仁宗延佑三年（公元1316年）铸造，全组由4个安放在阶梯上的漏壶组成，最上层称日壶，第二层称月壶，第三层称星壶，最底下一层称受水壶．受水壶铜盖中央插一把铜尺，尺上刻有12时辰的刻度，铜尺前插一木制浮剑，木剑下端是一块木板，叫浮舟．水由日壶按次沿龙头滴下，受水壶中的水随时间的推移而逐渐增加，浮剑逐渐上升，从而读出时间． 铜壶滴漏作为我国古代重要的计时工具，为何通常由四个壶构成？为探寻其中奥秘，科学兴趣小组分别制作了单壶模型与三壶补偿模型展开深入探究． 记录了当实验时间为t（单温：分钟）时，单壶模型受水壶水位（单位：厘米）和三壶补偿模型受水壶水位（单位：厘米），部分数据如下： t 0 10 20 30 40 50 60 0 1.5 2.8 3.9 4.8 5.5 6.0 0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与t，与t的关系，回答下列问题： (1)可以看作是关于t的正比例函数，解析式为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当时，单壶模型与三壶补偿模型受水壶水位之差约为________（结果保留小数点后一位）； ②实验发现三壶补偿模型计时与标准时间基本一致，每小时受水壶水位上升．当受水壶水位为时，用单壶模型计时比标准时间________（填写“快或慢”）________分钟（结果取整数）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②慢，7． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求函数解析式、画函数图象、从函数图象获取信息等知识点，根据函数图象获取所需信息是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）根据描点、连线的步骤画图即可； （3）①先求得时，；再观察图象可得，然后作差并取近似数即可解答；②先求得当，三壶补偿模型（标准时间）：分钟；再根据函数图象确定分钟，然后比较作差即可解答． 【详解】（1）解：设，则，解得：， 所以． （2）解：如图：函数，即为所求． （3）解：①当时，； 观察函数图象，对于，当时，；当时，， ∴推测：当时，， ∴水位之差：． 故答案为：． ②当时，三壶补偿模型（标准时间）：分钟， 单壶模型：由数据可得：时，分钟， ∴单壶模型计时比标准时间慢，且慢分钟． 故答案为：慢，7． 22．如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理，要注意分类求解，避免遗漏． （1）先证明，则，即可求解； （2）①由（1）知，轴交于点D，则点D的纵坐标为1，将代入，得，即可求解；②存在，理由: 点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应，有三种情况，分情况讨论即可． 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在第二象限， 所以点C的坐标为． （2）①由（1）知， 轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得， ， ； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时， 则点和点B关于直线对称， 则M的坐标为； 当时， 则点和点B关于的中垂线对称， 故的坐标为； 当时， 则点和点关于对称， 故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 一次函数的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.建立一次函数模型解实际应用题 2.利用一次函数解决实际问题的常见类型 3.一次函数与二元一次方程 4.一次函数与二元一次方程组 题型巩固 一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三、行程问题(一次函数的实际应用) 四、梯度计价问题 五、其他问题(一次函数的实际应用) 六、一次函数与几何综合 七、两直线的交点与二元一次方程组的解 八、图象法解二元一次方程组 九、求直线围成的图形面积 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（6） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.建立一次函数模型解实际应用题 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题. 常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的表达式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的表达式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点2.利用一次函数解决实际问题的常见类型 一次函数是刻画现实世界中数量间关系的最为简单的一个模型，其应用非常广泛，如天平、杠杆、弹簧秤以及测量气压、血压、温度等的有关仪器，它们都是应用一次函数的实例. 利用一次函数的图象还可以解决如利润最大、成本最小、话费最少、运费最省以及是否合算等问题，这些问题我们都可以利用一次函数的图象和性质进行求解. 知识点3.一次函数与二元一次方程 一次函数与二元一次方程的对应关系 知识点4.一次函数与二元一次方程组 1. 一次函数与二元一次方程组的对应关系 2. 两直线的位置关系与二元一次方程组解的情况的关系 两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况 相交 有唯一解 平行 无解 重合 有无数组解 3. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)变函数：把方程组化为一次函数y＝与 (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的 图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 题型巩固 题型一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是 ． 3．A城有肥料，B城有肥料，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费元用分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两乡运肥料分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料，设A城运往C乡的肥料为x吨，运往C乡肥料的总运费为，运往D乡肥料的总运费为； (1)写出关于x的函数关系式以及关于x的函数关系式并指出自变量的取值范围； (2)怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案； (3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了a元，如何调度才能使总运费最少？最少运输费是多少？（用含a的式子表达） 题型二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．某超市以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.3元，直至全部售完．销售金额y与售出西瓜的千克数x之间的关系如图所示，那么超市销售这批西瓜一共赚了（　　） A．20元 B．32元 C．35元 D．36元 5．某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 千克． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 题型三、行程问题(一次函数的实际应用) 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲车；④当甲、乙两车相距时，或或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 题型四、梯度计价问题 10．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差 元． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 题型五、其他问题(一次函数的实际应用) 13．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图是某游乐场每天的利润y（票价总收入减去运营成本）与每天售出的门票张数x的函数图象．目前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，下列图象中能表示采取措施后的图象是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）某市的出租车收费标准：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租车行驶的距离为 x 千米，则需付费用 y（元）与x（千米） 之间的关系为 ． 15．（25-26八年级上·江苏南通）某水果批发站购进苹果和梨共100箱，其中苹果每箱40元，梨每箱45元． (1)若设苹果箱数为x箱，总费用为y元，试用x的代数式来表示总费用y； (2)若购进的100箱水果中，苹果箱数不小于30箱，且不大于90箱，试求该水果批发站此次购入水果的总费用的范围． 题型六、一次函数与几何综合 16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，k的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为 ． 18．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 题型七、两直线的交点与二元一次方程组的解 19．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）函数与的图像如图所示，则 ． 21．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，求直线和的交点坐标．（要写过程） 题型八、图象法解二元一次方程组 22．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 23．已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ； 24．（2024八年级上·江苏·专题练习）利用一次函数的图象解二元一次方程组：． 题型九、求直线围成的图形面积 25．已知直线y＝−x+6，它与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A．6 B．10 C．25 D．30 26．若点A（8，0），B（0，n），且直线AB与坐标轴围成的三角形面积为12，则n＝ ． 27．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值； (2)根据图象，求的面积． 分层强化 一、单选题 1．直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与直线关于y轴对称，直线与x轴交于点C，的面积为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．如图，观察图象可知方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 4．张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与时间的关系．当两人相距时，时间是（   ） A．10 B．10或29.5 C．29.5或35.5 D．10或29.5或35.5或38 5．小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（    ） A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m），过点P作OP的垂线交函数（k＞1）的图象于点Q．若Q的横坐标为1，且OP2﹣PQ2＝6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 7．定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知直线与的图像如图所示，则二元一次方程组的解为 ． 9．甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当乙追上甲时，甲加工零件的时间为 ． 10．将“”和“”按如图所示的方式有规律地排列．设图中“”的个数为x，“”的个数为y，写出y与x之间的函数关系式为 ． 11．如图，已知a，b，c分别是的三条边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是，则c的值是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点P沿路线运动．当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 13．如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是 ． 三、解答题 14．利用图象求方程组的解． 15．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 16．伴随着网络媒体技术的持续迭代与迅猛发展，其影响力不断渗透至社会经济的各个层面．在此背景下，直播间带货作为一种创新且高效的网络营销模式，成为当下商业营销领域的重要力量．如图所示的折线反映了某主播在直播期间的在线观看人数y（万人）与其直播时间t（h）之间的函数表达式． (1)求y与t之间的函数表达式； (2)当直播期间的在线观看人数大于20万人时，求时间t的取值范围． 17．如图，过点的直线与直线交于． (1)求直线对应的表达式． (2)直接写出方程组的解． (3)求四边形的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与一次函数的图像交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)结合图像，当时，请直接写出x的取值范围； (3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，与一次函数的图像交于点E．当时，求DE的长． 19．在准备“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费元，免费市话通话时间分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为（元），B套餐每月市话话费为（元），月市话通话时间为x分钟．（） (1)分别写出与x的函数关系式． (2)月市话通话时间为多长时，两种套餐收费一样？ (3)小明爸爸每月市话通话时间为分钟，请说明选择哪种套餐更合算？ 20．甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 21．在数字时钟精准到毫秒的今天，鲜有人记得，千年前的华夏大地上，古人已用智慧构建起精妙的计时系统——铜壶滴漏．我国现存最完整的成组型滴漏是元代仁宗延佑三年（公元1316年）铸造，全组由4个安放在阶梯上的漏壶组成，最上层称日壶，第二层称月壶，第三层称星壶，最底下一层称受水壶．受水壶铜盖中央插一把铜尺，尺上刻有12时辰的刻度，铜尺前插一木制浮剑，木剑下端是一块木板，叫浮舟．水由日壶按次沿龙头滴下，受水壶中的水随时间的推移而逐渐增加，浮剑逐渐上升，从而读出时间． 铜壶滴漏作为我国古代重要的计时工具，为何通常由四个壶构成？为探寻其中奥秘，科学兴趣小组分别制作了单壶模型与三壶补偿模型展开深入探究． 记录了当实验时间为t（单温：分钟）时，单壶模型受水壶水位（单位：厘米）和三壶补偿模型受水壶水位（单位：厘米），部分数据如下： t 0 10 20 30 40 50 60 0 1.5 2.8 3.9 4.8 5.5 6.0 0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与t，与t的关系，回答下列问题： (1)可以看作是关于t的正比例函数，解析式为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当时，单壶模型与三壶补偿模型受水壶水位之差约为________（结果保留小数点后一位）； ②实验发现三壶补偿模型计时与标准时间基本一致，每小时受水壶水位上升．当受水壶水位为时，用单壶模型计时比标准时间________（填写“快或慢”）________分钟（结果取整数）． 22．如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $