专题05 利用点的坐标规律探究问题（4大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理了平面直角坐标系的核心内容，将基本概念、点的坐标特征、坐标变换与图形规律等要点按“概念-规律-应用”逻辑组织，并用列表归纳象限符号、对称点坐标等核心规律，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型分类+规律建模”的练习设计，如题型1通过长方形动点运动问题引导学生分析坐标周期性变化，题型4“有序循环点”新定义问题培养创新意识。每个题型配备典例解析和分层练习，助力教师实施精准教学，提升学生用数学思维分析问题的能力。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题05 利用点的坐标规律探究问题（4大基本题型） 题型1：沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 题型2：沿斜线运动的点的规律探究 题型3：平面直角坐标系中图形的变换规律探究 题型4：平面直角坐标系中的新定义问题探究 一、平面直角坐标系的基本概念 平面直角坐标系是探究点坐标规律的基础工具，核心概念包括： 1. 构成要素：由两条互相垂直、原点重合的数轴（x轴/横轴，向右为正；y轴/纵轴，向上为正）组成，交点为原点O。 2. 象限划分：两坐标轴将平面分为四个象限，按逆时针顺序为第一（＋,＋）、第二（－,＋）、第三（－,－）、第四（＋,－）象限；坐标轴上的点不属于任何象限。 3. 点的坐标表示：对于平面内任意点P，过P作x轴、y轴的垂线，垂足对应的数a（横坐标）、b（纵坐标）组成有序实数对(a,b)，表示点P的坐标。 二、点的坐标特征（核心规律） 点的坐标特征是“坐标规律探究”的关键，主要包括： 1. 象限内点的坐标符号：第一象限：(＋,＋)；第二象限：(－,＋)；第三象限：(－,－)；第四象限：(＋,－)。 2. 坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点：纵坐标为0，即(a,0)；y轴上的点：横坐标为0，即(0,b)；原点：(0,0)。 3. 平行于坐标轴的直线上的点： (1) 平行于x轴的直线：所有点的纵坐标相同（如直线y＝3上的点(1,3)、(2,3)）； (2) 平行于y轴的直线：所有点的横坐标相同（如直线x＝－2上的点(－2,1)、(－2,4)）。 4. 对称点的坐标变换： (1) 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数（如P(a,b)关于x轴对称点为(a,－b)）； (2) 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（如P(a,b)关于y轴对称点为(－a,b)）； (3) 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数（如P(a,b)关于原点对称点为(－a,－b)）。 5. 象限角平分线上的点： (1) 第一、三象限角平分线：横、纵坐标相等（如(2,2)、(－1,－1)）； (2) 第二、四象限角平分线：横、纵坐标互为相反数（如(3,－3)、(－4,4)）。 三、坐标变换与图形规律​ 坐标变换是“坐标规律探究”的重要应用，主要包括： 1. 点的平移规律： (1) 向右（左）平移a个单位：横坐标加（减）a，纵坐标不变； (2) 向上（下）平移b个单位：纵坐标加（减）b，横坐标不变。 2. 图形的坐标变换： (1) 平移：图形整体平移时，所有顶点的坐标按相同规律变化； (2) 轴对称：图形关于x轴或y轴对称时，顶点坐标按对称规律变换； (3) 旋转：图形绕原点旋转时，坐标按旋转角度变化。 四、坐标与图形的联系（规律应用）​ 利用点的坐标规律可解决图形相关问题，核心包括： 1. 距离计算： (1) 点P到x轴的距离：（纵坐标的绝对值）； (2) 点P到y轴的距离：（横坐标的绝对值）； (3) 点P到原点的距离：（勾股定理）。 2. 图形形状与坐标的关系： (1) 三角形：三边长度可通过坐标计算（如 (2) 对称图形：对称轴两侧的点坐标满足对称规律（如关于x轴对称的图形，x轴是对称轴，对应点纵坐标相反）。 【题型1】沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 核心特征：点沿x轴或y轴方向平行移动（如水平/垂直方向的往复运动），坐标变化具有周期性或线性递增/递减规律。 核心解题思路： 1. 确定运动方向与距离：分析点在x轴（横坐标）或y轴（纵坐标）上的移动方向（正/负）及每次移动的距离。 2. 寻找周期或线性规律：通过前几次运动后的坐标，总结横坐标或纵坐标的变化规律（如每次增加/减少固定值，或每n次运动后回到初始位置）。 3. 计算总运动量：根据总时间或总步数，计算点在x轴和y轴上的总位移，从而得到最终坐标。 基本解题步骤： 1. 明确点的初始坐标 2. 分析每次运动的方向 3. 总结规律 4. 代入总时间或总步数，计算最终坐标。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点的坐标分别为，，，，一动点从点出发，以个单位长度／秒的速度沿循环运动，则第2026秒点所在的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给运动方式求出第2026秒时点P走了一圈多1个单位长度是解题的关键．根据所给点的坐标，求出四边形的周长，再求出点P所走路程即可解决问题． 【详解】解：由，，，可知， ， 且四边形为矩形， 所以矩形的周长为． ∵， ∴， ∴第2026秒点所在的位置在点下方1个单位长度处，即； 故选：A． 【练习1】如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2025分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型-点的坐标．先找出坐标轴上的点所用的时间的规律，再按照运动方向推断求解． 【详解】解：在第分钟时，粒子所在的位置是， 在第分钟时，粒子所在的位置是， 在第分钟时，粒子所在的位置是， 在第分钟时，粒子所在的位置是， ， 在第分钟时，粒子所在的位置是， 在第2025分钟时，这个粒子所在位置的坐标是， 故选：B． 【练习2】沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及多项技术的深度融合．其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“→”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，正确找出规律是解题的关键．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，且，再根据第三象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，…， 由坐标结合图形发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故选：A． 【练习3】如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，数字规律探究．通过分析平移次数与坐标的关系总结规律是解题的关键． 先梳理每次平移后的坐标，发现平移规律为奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度，而进行了1013次向上平移，1013次向右平移，则的横坐标和纵坐标都加上1013即可求解． 【详解】解：观察平移规律，第一次向上平移1个单位长度至点， 第二次向右平移1个单位长度至点， 第三次向上平移1个单位长度至点， 第四次向右平移1个单位长度至点， 可以发现平移规律：奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度． 是偶数，所以是经过次平移得到的， 由于偶数次平移是向右平移，从点开始，经过次平移，横坐标的变化是向右平移了个单位长度，所以的横坐标为； 又因为奇数次平移是向上平移，从点开始，经过次平移，纵坐标的变化是向上平移了个单位长度，所以的纵坐标为； ． 故选D． 【题型2】沿斜线运动的点的规律探究 核心特征：点沿斜线（如y＝x、y＝－x）运动，坐标变化与几何图形性质（如半径、角度、边长）相关。 核心解题思路： 1. 分析运动轨迹的几何性质：确定轨迹的形状、方向（如顺时针/逆时针）。 2. 计算单位时间内的运动距离：根据速度和时间，计算点在轨迹上的位置。 3. 结合几何坐标公式，计算点在特定时间的位置坐标。 基本解题步骤： 1. 明确轨迹的几何参数 2. 计算总运动距离：速度×时间 3. 确定点在轨迹上的位置 4. 转换为直角坐标系坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键．观察图形可以看出；；每个为一组，由于，在负半轴，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答． 【详解】解：观察图形可以看出；每个为一组， ， 在负半轴，纵坐标为， 的横坐标分别为， 则的横坐标为, 的横坐标为， 的坐标为． 故选：C． 【练习1】如图所示，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点…，按这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为______． 【答案】 【分析】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形得到点的运动规律并应用是解题的关键．根据图形分析点的运动规律：纵坐标的规律为、、、，每次运动为一个循环；横坐标的规律为：第次、第次运动后的横坐标为、，即，，第次、第次运动后的横坐标为、，即，，即可得到答案． 【详解】解：第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ， 纵坐标的规律为、、、，每次运动为一个循环， 横坐标的规律为：第次、第次运动后的横坐标为、，即，； 第次、第次运动后的横坐标为、，即，， ， 的纵坐标为，横坐标为， 的坐标为， 故答案为：，． 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号．观察图形可知，点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的．，用2026除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：∵第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到． ∴点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的． ， ∴动点第2026次运动时向右个单位，纵坐标为第二次移动后的点为0， ∵第一次是从开始运动， ， ∴点此时坐标为， 故答案为：． 【练习3】如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题： (1)请写出点，，的坐标； (2)请你写出点，，的坐标； (3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查了坐标系中点的规律，函数关系式，解题的关键是正确从坐标系中找出点的规律． （1）根据坐标系即可求解； （2）可得三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2，据此规律求解即可； （3）由题可知时，，时，，时，，…，即可得． 【详解】（1）解：点，，，，，，…按照此规律，可得，，； （2）解：由图可知，三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2， ， ，，； （3） 解：由题可知时，，时，，时，，…， （4） 可得． 【题型3】平面直角坐标系中图形的变换规律探究 核心特征：图形经过平移、翻折（轴对称）、旋转等变换后，顶点坐标的变化规律。 核心解题思路： 1. 明确变换类型与参数：确定图形经过的变换（如“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”），以及变换的参数（如翻折的轴、平移的距离）。 2. 推导单次变换的坐标变化：根据变换类型，得出顶点坐标的变化公式（如沿y轴翻折，横坐标不变，纵坐标变为相反数；向下平移1个单位，纵坐标减少1）。 3. 寻找多次变换的周期：通过多次变换后的顶点坐标，总结变换的周期（如每2次变换后回到初始位置）。 4. 计算总变换次数的坐标：根据总变换次数和周期，计算最终的顶点坐标。 基本解题步骤： 1. 明确图形的初始顶点坐标。 2. 分析单次变换的坐标变化： 3. 总结多次变换的周期 4. 计算总变换次数的坐标： 【典例1】如图，在直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，… 已知：，，，；，，，．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标的变化规律，运用数形结合思想，找到点的坐标的变化规律是解题的关键．根据点的坐标的变化规律即可求出答案． 【详解】解：由题意和图可得，点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标是． 点的坐标是． 故答案为：． 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上.再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上.将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点，，则点的横坐标为（　） A．51 B．56 C．59 D．63 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标变化规律问题，根据题意，正确得出点的横坐标是解题的关键； 利用勾股定理求出的长，数形结合求得点，，，，的坐标，从中得出点的横坐标，再求点的横坐标即可． 【详解】解：在中，，， ， 的周长为：， 由题知，点，，，， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为：当n为偶数时，横坐标为：6n， 当n为奇数时，横坐标为：， 是奇数， 点的横坐标为：， 故选：B． 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点A第1次关于y轴对称后的对应点坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点坐标为， 即点A回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为：． 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、点的坐标规律探索，由等腰直角三角形的性质结合勾股定理可得，，，…，，由题意可得，，，…，每8个一循环，再回到轴的正半轴，再结合即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…， ∴，，，…，， 由题意可得：，，，…，每8个一循环，再回到轴的正半轴， ∴， ∴点在轴正半轴上， ∵， ∴点的坐标为，即， 故答案为：． 【题型4】平面直角坐标系中的新定义问题探究 核心特征：通过自定义规则定义点的变换，要求根据规则计算点的坐标或探究规律。 核心解题思路： 1. 理解新定义的规则：仔细阅读题目中的新定义，明确输入（原坐标）与输出（新坐标）的关系。 2. 计算前几个点的坐标：根据新定义，计算原有点经过1次、2次、3次……变换后的坐标，寻找规律。 3. 总结循环周期：通过前几个点的坐标，总结变换的周期（如每4次变换后回到初始坐标）。 4. 计算总变换次数的坐标：根据总变换次数和周期，计算最终的坐标。 基本解题步骤： 1. 明确新定义的变换规则。 2. 计算前几个点的坐标： 3. 寻找循环周期：观察P0、P1、P2、P3、P4……的坐标，是否有重复的点（如P4＝P0），若有，则周期为4。 4. 计算总变换次数的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“有序循环点”，已知点的有序循环点是，点的有序循环点是，点的有序循环点是…，这样依次得到点、、、…，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点的变化规律，读懂题目信息，理解“有序循环点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．根据“有序循环点”的定义依次求出各点，发现每4个点为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：点的坐标为， ，，，，， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ， 点的坐标与的坐标相同，为， 故选：A． 【练习1】在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探究，理解友好点的定义是解题的关键． 根据友好点的定义，计算前5个点的坐标，发现点的坐标每4个点为一个循环，进而确定的坐标，再根据友好点的定义得到的友好点为，即可得出答案． 【详解】解：∵点的友好点为，的坐标为 ∴的坐标为，即， 同理可得，的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， …… ∴点的坐标每4次为循环， ∵，， ∴的坐标为，的坐标为， ∵，， ∴的友好点为， ∴点的友好点为， 故选：B． 【练习2】法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律探索，找到正确的规律是解决本题的关键． 根据各点坐标得出每4次变换为一个循环是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴经过一次变换为：， 经过二次变换为：， 经过三次变换为：， 经过四次变换为：， ∴变换周期为4， ∵， ∴． 故选D． 【练习3】对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“完美点”．例如，点的一对“完美点”是点与点． （1）若点的一对“完美点”重合，则y的值为__________； （2）若点B的一个“完美点”的坐标为，则点B的坐标为__________． 【答案】 12 或 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“完美点”定义，求出点A的一对“完美点”的坐标，利用重合条件列方程求解； （2）根据“完美点”的定义可得或，分别解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，，则点的一对“完美点”的坐标分别为，， ∵点的一对“完美点”重合， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）∵点B的一个“完美点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题05 利用点的坐标规律探究问题（4大基本题型） 题型1：沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 题型2：沿斜线运动的点的规律探究 题型3：平面直角坐标系中图形的变换规律探究 题型4：平面直角坐标系中的新定义问题探究 一、平面直角坐标系的基本概念 平面直角坐标系是探究点坐标规律的基础工具，核心概念包括： 1. 构成要素：由两条互相垂直、原点重合的数轴（x轴/横轴，向右为正；y轴/纵轴，向上为正）组成，交点为原点O。 2. 象限划分：两坐标轴将平面分为四个象限，按逆时针顺序为第一（＋,＋）、第二（－,＋）、第三（－,－）、第四（＋,－）象限；坐标轴上的点不属于任何象限。 3. 点的坐标表示：对于平面内任意点P，过P作x轴、y轴的垂线，垂足对应的数a（横坐标）、b（纵坐标）组成有序实数对(a,b)，表示点P的坐标。 二、点的坐标特征（核心规律） 点的坐标特征是“坐标规律探究”的关键，主要包括： 1. 象限内点的坐标符号：第一象限：(＋,＋)；第二象限：(－,＋)；第三象限：(－,－)；第四象限：(＋,－)。 2. 坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点：纵坐标为0，即(a,0)；y轴上的点：横坐标为0，即(0,b)；原点：(0,0)。 3. 平行于坐标轴的直线上的点： (1) 平行于x轴的直线：所有点的纵坐标相同（如直线y＝3上的点(1,3)、(2,3)）； (2) 平行于y轴的直线：所有点的横坐标相同（如直线x＝－2上的点(－2,1)、(－2,4)）。 4. 对称点的坐标变换： (1) 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数（如P(a,b)关于x轴对称点为(a,－b)）； (2) 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（如P(a,b)关于y轴对称点为(－a,b)）； (3) 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数（如P(a,b)关于原点对称点为(－a,－b)）。 5. 象限角平分线上的点： (1) 第一、三象限角平分线：横、纵坐标相等（如(2,2)、(－1,－1)）； (2) 第二、四象限角平分线：横、纵坐标互为相反数（如(3,－3)、(－4,4)）。 三、坐标变换与图形规律​ 坐标变换是“坐标规律探究”的重要应用，主要包括： 1. 点的平移规律： (1) 向右（左）平移a个单位：横坐标加（减）a，纵坐标不变； (2) 向上（下）平移b个单位：纵坐标加（减）b，横坐标不变。 2. 图形的坐标变换： (1) 平移：图形整体平移时，所有顶点的坐标按相同规律变化； (2) 轴对称：图形关于x轴或y轴对称时，顶点坐标按对称规律变换； (3) 旋转：图形绕原点旋转时，坐标按旋转角度变化。 四、坐标与图形的联系（规律应用）​ 利用点的坐标规律可解决图形相关问题，核心包括： 1. 距离计算： (1) 点P到x轴的距离：（纵坐标的绝对值）； (2) 点P到y轴的距离：（横坐标的绝对值）； (3) 点P到原点的距离：（勾股定理）。 2. 图形形状与坐标的关系： (1) 三角形：三边长度可通过坐标计算（如 (2) 对称图形：对称轴两侧的点坐标满足对称规律（如关于x轴对称的图形，x轴是对称轴，对应点纵坐标相反）。 【题型1】沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 核心特征：点沿x轴或y轴方向平行移动（如水平/垂直方向的往复运动），坐标变化具有周期性或线性递增/递减规律。 核心解题思路： 1. 确定运动方向与距离：分析点在x轴（横坐标）或y轴（纵坐标）上的移动方向（正/负）及每次移动的距离。 2. 寻找周期或线性规律：通过前几次运动后的坐标，总结横坐标或纵坐标的变化规律（如每次增加/减少固定值，或每n次运动后回到初始位置）。 3. 计算总运动量：根据总时间或总步数，计算点在x轴和y轴上的总位移，从而得到最终坐标。 基本解题步骤： 1. 明确点的初始坐标 2. 分析每次运动的方向 3. 总结规律 4. 代入总时间或总步数，计算最终坐标。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点的坐标分别为，，，，一动点从点出发，以个单位长度／秒的速度沿循环运动，则第2026秒点所在的位置是（   ） A． B． C． D． 【练习1】如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2025分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【练习2】沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及多项技术的深度融合．其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“→”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【练习3】如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型2】沿斜线运动的点的规律探究 核心特征：点沿斜线（如y＝x、y＝－x）运动，坐标变化与几何图形性质（如半径、角度、边长）相关。 核心解题思路： 1. 分析运动轨迹的几何性质：确定轨迹的形状、方向（如顺时针/逆时针）。 2. 计算单位时间内的运动距离：根据速度和时间，计算点在轨迹上的位置。 3. 结合几何坐标公式，计算点在特定时间的位置坐标。 基本解题步骤： 1. 明确轨迹的几何参数 2. 计算总运动距离：速度×时间 3. 确定点在轨迹上的位置 4. 转换为直角坐标系坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【练习1】如图所示，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点…，按这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为______． 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________． 【练习3】如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题： (1)请写出点，，的坐标； (2)请你写出点，，的坐标； (3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式． 【题型3】平面直角坐标系中图形的变换规律探究 核心特征：图形经过平移、翻折（轴对称）、旋转等变换后，顶点坐标的变化规律。 核心解题思路： 1. 明确变换类型与参数：确定图形经过的变换（如“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”），以及变换的参数（如翻折的轴、平移的距离）。 2. 推导单次变换的坐标变化：根据变换类型，得出顶点坐标的变化公式（如沿y轴翻折，横坐标不变，纵坐标变为相反数；向下平移1个单位，纵坐标减少1）。 3. 寻找多次变换的周期：通过多次变换后的顶点坐标，总结变换的周期（如每2次变换后回到初始位置）。 4. 计算总变换次数的坐标：根据总变换次数和周期，计算最终的顶点坐标。 基本解题步骤： 1. 明确图形的初始顶点坐标。 2. 分析单次变换的坐标变化： 3. 总结多次变换的周期 4. 计算总变换次数的坐标： 【典例1】如图，在直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，… 已知：，，，；，，，．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的的坐标是______． 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上.再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上.将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点，，则点的横坐标为（　） A．51 B．56 C．59 D．63 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为_______． 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【题型4】平面直角坐标系中的新定义问题探究 核心特征：通过自定义规则定义点的变换，要求根据规则计算点的坐标或探究规律。 核心解题思路： 1. 理解新定义的规则：仔细阅读题目中的新定义，明确输入（原坐标）与输出（新坐标）的关系。 2. 计算前几个点的坐标：根据新定义，计算原有点经过1次、2次、3次……变换后的坐标，寻找规律。 3. 总结循环周期：通过前几个点的坐标，总结变换的周期（如每4次变换后回到初始坐标）。 4. 计算总变换次数的坐标：根据总变换次数和周期，计算最终的坐标。 基本解题步骤： 1. 明确新定义的变换规则。 2. 计算前几个点的坐标： 3. 寻找循环周期：观察P0、P1、P2、P3、P4……的坐标，是否有重复的点（如P4＝P0），若有，则周期为4。 4. 计算总变换次数的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“有序循环点”，已知点的有序循环点是，点的有序循环点是，点的有序循环点是…，这样依次得到点、、、…，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【练习1】在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（   ） A． B． C． D． 【练习2】法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【练习3】对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“完美点”．例如，点的一对“完美点”是点与点． （1）若点的一对“完美点”重合，则y的值为__________； （2）若点B的一个“完美点”的坐标为，则点B的坐标为__________． / 学科网（北京）股份有限公司 $