专题07 几何最值模型之将军饮马（含勾股）（几何模型讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题07 几何最值模型之将军饮马（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，，∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴，∴轴，∵，，∴， ∴在中，，故答案为：5 （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小。 又∵，，∴。 ∴周长最小为 故答案为：． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；(2)求的面积； (3)在直线上找一点，使的长最短，请在图中标出点的位置． 【答案】(1)见解析(2)的面积为(3)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所作的三角形； （2）解：的面积为； （3）解：如图，点即为所标出的点． 例2（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则，∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形，∴，∵，∴，∴， ∵， ，∴，在中，由勾股定理可得， ∴的最小值．故选：C． 例3（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】12 【详解】解：作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小，∵∴，，∴ ∵∴∴∴ ∵点B与点F关于的对称，∴，，∴ ∵∴为等边三角形，∵点D为的中点， ∴，，∴ ∴的最小值为12．故答案为：12． 例4（24-25八年级上·宁夏银川·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ① ； ．②____________的线段和． (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； 【答案】(1)，；②，(2) 【详解】（1）解：①∵边长为的正方形，设，则， 由勾股定理可得，，，故答案为：，； ②，，，故答案为：，； （2）作关于直线的对称点，连接，连接交于，如图： 由，关于直线对称可得，，， 根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短， ，，， 当时，的最小值为. 例5（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，点是的中点，∴，， 在中，，∴线段与线段关于直线对称， ∴将关于对称得，则点落在线段上，过C作于点F， ∴，∴， ，分别是，上的动点，最小值为垂线段的值． ∵，，∴， 即，∴， 即的最小值为．故答案为：． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴， ∵的周长是18，， ∴的周长，点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． 例2（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作点关于的对称点，连接，则，此时， 当点在同一直线上时，有最大值，此时， 当的最大值是时，， ，，由题意得和关于对称， ，，，，， ，，是等边三角形， ，，， ，，，故选B． 例3（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，已知点，，点为轴上一点当最大值时，点的坐标为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作关于轴对称点，连接并延长交轴于点， ，的坐标为，设直线的解析式为：， ，解得：，直线的解析式为：， 当时，，点的坐标为：，， 当，，不共线时，根据三角形三边的关系可得：， 此时取得最大值．故选：B． 例4（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∴，∴， ∴当三点共线时，的最大值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， ∴的最大值为；故答案为：． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，如图， 由轴对称的性质可得，，，，，，， ∴，可知当点在上时，的周长的最小，最小值， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴，即，故选：． 例2（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点分别关于的对称点，连接分别交于点， ，，，，， ， ， 此时的周长最小，过点作于点，，， ，，， ，，周长的最小值是，故选：A． 例3（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于H，    ∵，且，∴， ∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵，∴，∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为， ∴的面积的最小值为，故选：B． 例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3(2)3(3)5 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高，∴点B，C关于对称，， ∴，∴∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点，∴，而是边上的高 ∴，∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高，∴平分，， ∴，，∴，∴，故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E，∴． ∵点P关于的对称点为D，∴， ∴， ∴是等边三角形，∴．∴．∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为∴． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【详解】解：作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E． 则，，，． 与关于y轴对称，∴．，为等边三角形．∴． ，，，．，． ∵，∴． 同理，．∴．∴． ∴．∴轴．∵，∴． ∴四边形是平行四边形．∴． ∵轴．∴， ∴是等边三角形．∴．∴． ∵，的最小值是7．故答案为： 例2（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3；故答案为：3 例3（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，连接，，    ∵，由对称性可知，，， ∴，∴，由对称性可得，， 由勾股定理得，，∴， 当M、N、P、Q共线时，的值最小， 即的最小值为13．故答案为：13. 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：连接、，是等腰三角形，点是边的中点， ，，解得， 是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，∴ ∵∴当A、M、D三点共线时，值最小，的长为的最小值， 周长的最小值．故选：C． 2．（2025·安徽马鞍山·三模）在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：设点到的距离为，点到的距离为， ，，点在的角平分线上， 作点关于的对称点，， 当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为， ，是等边三角形，，，， ，的最小值为，故选：C． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图：作于交于，连接， ∵在中，，，∴是等边三角形， ∵，，∴，，∴点C关于的对称点为点B， ，，∴当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为， ∴的最小值是6．故选：B． 4．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】延长至点，使得，连接，，，如下图所示： 又，垂直平分，， ， 当，D，E三点共线时，等号成立，当时，有最小值，即有最小值，为的长． 当时，由得， ，解得，综上可知，的最小值为．故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：作F关于的对称点为M，作边上的高， ∵平分，∴M必在上，∵F关于的对称点为M，∴， ∴，即 (垂线段最短)， ∵的面积为，，∴，∴，即的最小值为5．故选：B 6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，即的周长最小．在中，，，，， 根据勾股定理可得 ，，∴，在中，， ，的周长的最小值，故选：B． 7．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值；②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值；④当点的坐标为时，取得最小值．上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：由题意，如图1，，关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又，轴，，故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于，设直线为， ，，，直线为， 联立方程组，，此时，故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ，取得最小值为， 在的垂直平分线上， ，的中点为，直线为， 的垂直平分线为，联立方程组，， ，此时取得最小值，故④正确；综上，正确的有①④；故选：B． 8．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【详解】解：如图，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接， ∵，∴，∵，∴，则的最小值为5，故选：B． 9．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点，的坐标分别为，∴， 与同底边，且的面积等于面积的， ∴点P到的距离是3，即点的纵坐标为，点在直线上运动， 作点关于直线对称的点，连接，则点， ．当三点共线时，的值最小． 设直线的表达式为，把点代入，得， 解得，．令，则，解得， 当的值最小时，点的坐标为．故选：C． 10.（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：如图，作B关于的对称点D，连接， ∴，，∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，即此时的值最小， 由轴对称的性质可得，， ，，是等边三角形， ，，， ，，， ，故答案为：． 11．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 【答案】 【详解】解：作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点交于点，垂直平分垂直平分，， ，，， 连接交于点，交于点，连接、，则， ，， ，此时的周长最小， ，故答案为：． 12．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 【答案】8cm 【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC， 又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm）， 在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC ∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC 当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∴，∴， ∴当三点共线时，的最大值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， ∴的最大值为；故答案为：． 14．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的；(2)画出关于直线对称的，并求四边形的面积；(3)为轴上一动点，的最小值为_________． 【答案】(1)图见详解(2)图见详解，(3) 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形： （2）解：如图，即为所求作的三角形： 根据题意可得：，，故四边形的面积：． （3）解：如图，连接，根据轴对称的性质，可得， ∴当，，三点一线时，取最小值，由勾股定理结合图形可得， ∴取最小值为，即的最小值为，故答案为：． 15．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图1，在中，．(1)求的面积．(2)如图2，点、、分别为边、、上（均不与端点重合）的动点，求周长的最小值．    【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，       ∵在中，．∴, ∴，，在中，， ∴，∴；∴ （2）如图所示，分别作关于的对称点，连接,则， ∴周长；当四点共线时，最小值为 的长， ∵∴ 又∵∴是等腰直角三角形，∴ ∴当时，取得最小值，此时 ∴周长的最小值为 16．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上．(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值；(3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【答案】(1)1，2(2)的最小值为．(3) 【详解】（1）解：已知点，，到y轴的距离为，到y轴的距离为2； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 关于轴对称，，，， ，取得最小值，且最小值为， 过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，， ，，，， ，的最小值为． （3）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为， 关于轴对称，，， 设直线为，代入， ，，直线为， 当时，，解得，故． 17．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离， 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ， 平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为___________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标；(3)在平面直角坐标系中有一点．①可以表示到点和点___________的距离和；②请结合平面直角坐标系，应用两点间的距离公式求代数式的最小值． 【答案】(1)(2)最小值为5，(3)①；② 【详解】（1）解：点，，，故答案为：； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ，由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ，的最小值为， 设直线的解析式为，把，代入得： 解得：，直线的解析式为， 当时，，解得：，； （3）①可以表示到点和点的距离和，故答案为：； ②表示到点和点的距离和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段上时，代数式的值最小， 的最小值为． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题起源】如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短． 【解决方案】如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置． 【实际运用】（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号） 方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 【数学思考】（2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小； ①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图； ②请解释上述作图的理由；（3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）方案3；（2）①见解析；②见解析；（3） 【详解】解：（1）由题意，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是，最短．即最短的铺设路径方案是方案3；故答案为：方案3； （2）①连接交于点，在上截取，如图所示； ②∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴当点在线段上时，的值最小； ∴连接，即可得到点，再根据，确定点即可； （3）如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：，，， ∵，∴， ∴为等边三角形，∴， ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最小为的长，即的长， ∴当时，的周长最小，由题意，点到的距离为， ∴的最小值为，即：的周长的最小值为． 19.（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线的同侧有两个点，在直线上找一点，使点到两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题 (1)如图2，画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的，并在上画出点，使最小；(2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值为___________．(3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为___________． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：如图，，点即为所求， （2）作于点H，交于点，过点作于点，则的最小值为， 平分，， 在中， 由勾股定理得 ，所以的最小值为，故答案为： （3）作点C关于的对称点，作点D关于的对称点， 连接分别交于点，连接，则的最小值为的长． 由对称可得垂直平分，垂直平分， 在中，由勾股定理得 所以的最小值为13，故答案为： 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 几何最值模型之将军饮马（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；(2)求的面积； (3)在直线上找一点，使的长最短，请在图中标出点的位置． 例2（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ． 例4（24-25八年级上·宁夏银川·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ① ； ．②____________的线段和． (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； 例5（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 例2（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例3（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，已知点，，点为轴上一点当最大值时，点的坐标为(     ) A． B． C． D． 例4（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 例2（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ． 例2（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例3（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2025·安徽马鞍山·三模）在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 4．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值；②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值；④当点的坐标为时，取得最小值．上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 9．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10.（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 11．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 12．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 14．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的；(2)画出关于直线对称的，并求四边形的面积；(3)为轴上一动点，的最小值为_________． 15．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图1，在中，．(1)求的面积．(2)如图2，点、、分别为边、、上（均不与端点重合）的动点，求周长的最小值．    16．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上．(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值；(3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 17．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离， 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ， 平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为___________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标；(3)在平面直角坐标系中有一点．①可以表示到点和点___________的距离和；②请结合平面直角坐标系，应用两点间的距离公式求代数式的最小值． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题起源】如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短． 【解决方案】如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置． 【实际运用】（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号） 方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 【数学思考】（2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小； ①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图； ②请解释上述作图的理由；（3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值． 19.（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线的同侧有两个点，在直线上找一点，使点到两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题 (1)如图2，画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的，并在上画出点，使最小；(2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值为___________．(3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为___________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $