精品解析：陕西省商洛市多校2025-2026学年高三上学期12月学情调研测试数学试题

2025-2026学年12月学情调研测试卷 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解. 【详解】集合， 所以. 故选：D 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z的代数形式，然后通过其对应的点可得点的位置. 【详解】， z在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知向量不平行，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，先转化平行关系为等式，再整理等式分离向量系数，最后利用“不共线向量的系数对应相等”列方程求解即可. 【详解】因为向量，不平行，， 所以存在实数，使得：， 即，解得. 故选：B. 4. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，利用两角差的正切公式可求得结果. 【详解】因为，则，故， 因此，. 故选：B. 5. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】分教师甲与2名学生去北京与教师甲与另一名教师及2名学生去北京两种情况分类讨论可求分配方案的方法数. 【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有（种）； 当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有（种）， 综上，分配方案共有（种）. 故选：C. 6. 已知等差数列的公差不为零，，是和的等比中项，设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再求出判断即可. 【详解】设的公差，因为，是和的等比中项，所以， 即，解得，则， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 7. 一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程，确定圆心、半径，再根据弦长得，求得弦心距，过点的直线，先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑直线斜率存在的情况解出斜率即可求出直线方程. 【详解】由圆的方程，得到圆心坐标为，半径， 直线被圆截得的弦长为8，弦心距， 若此弦所在的直线方程斜率不存在，直线方程为，满足题意； 若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为， 所求直线的方程为，， 圆心到所设直线的距离，整理得，解得：， 此时所求方程为，即， 综上，此弦所在直线的方程为或 故选：D 8. 若关于x不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】含参分类讨论解不等式，再结合解集中恰有3个整数即可求出答案. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某科技公司统计了一款APP，最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为，则（ ） 月份编号x 1 2 3 4 5 下载量y（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5 A. y与x负相关 B. C. 预测第6个月的下载量约为2.1万次 D. 残差绝对值的最大值为0.5 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用回归方程斜率值判断A；求出样本中心点，进而求出判断B；求出预测值判断C；求出各残差判断D. 【详解】对于A，由，得变量与负相关，A正确； 对于B，，， ，则，解得，B正确； 对于C，当时，，预测第6个月的下载量约为2.1万次，C正确； 对于D，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，，因此残差绝对值的最大值为0.2，D错误. 故选：ABC 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可． 【详解】对A，当时，由得， 又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，故A错误； 对B，设，则，则，故B正确； 对C，当时，由，得； 当时，由，得无解；故C正确； 对D，，都有 ，故D正确； 故选：BCD． 11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为，AB为底面圆直径，，点C在底面圆周上．（不与A、B重合），则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 的中点为，则平面PAC C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的内切球半径为 【答案】BD 【解析】 【分析】直接计算体积判断A；根据，结合线面平行判定定理判断B；根据圆锥侧面展开图为扇形计算侧面积判断C；根据轴截面三角形的内切圆半径即为该圆锥内切球半径计算判断D. 【详解】 因为圆锥的顶点为P，底面圆心为，AB为底面圆直径，， 所以是等边三角形， 对于A，该圆锥的体积为，故错误 对于B，在中，由的中点为，的中点为， 所以，又平面，平面，所以平面，故正确； 对于C，该圆锥的侧面积为，故错误； 对于D，作圆锥的轴截面如下图，则的内切圆半径即为该圆锥的内切球半径，设所求半径为， 则根据等面积法有，解得， 所以该圆锥的内切球半径为，故正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数a，b满足，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据基本不等式常数“1”的妙用方法计算求解即可. 【详解】由题且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为9. 故答案为：9. 13. 已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中点在直线上得，再联立方程，结合韦达定理，中点坐标公式得，解方程即可得答案. 【详解】又中点在直线上， 所以，即，故直线的方程为 设，联立方程得， 所以，， 因为的中点为， 所以，解得，满足判别式， 故. 故答案为： 14. 已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】转化为，求导，得到，从而得到答案. 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解， 只需， ，， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）已知的内角C满足，且点D在线段AB上，求CD的长． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求解. （2）由（1）及已知求出，再利用诱导公式及等腰三角形性质求解. 【小问1详解】 由， 得， 所以的最小正周期为， 由，得， 所以图象的对称轴为. 【小问2详解】 在中，由，得，即， 而，即，则，， 由，得，而， 所以 16. 已知等差数列的前n项和为且． （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列前n项和列出方程组求出首项及公差即可求解. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合裂项相消法及等比数列前n项和公式求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由及，得， 解得，所以数列的通项公式为， 前n项和. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 17. 如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD． （1）证明：． （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合正三棱柱的结构特征推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求出坐标，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在正三棱柱中，取中点，连接，则， 由D为棱的中点，得，而平面，则平面， 又平面，于是，由平面， 得平面，而平面，因此，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 平面平面，则平面与平面的一个法向量均为， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得，解得， ，而，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2）①不存在，详见解析 ② 【解析】 【分析】(1)利用双曲线离心率及之间的关系得到双曲线方程； (2)设出两个交点，将直线与双曲线方程联立得到两个根的关系式，①运用向量法将 转化为，整理出参数方程最终得到直线方程； ②为得到的面积，首先得到弦长，到直线的距离，再表示三角形面积，利用单调性求出面积最小值即可. 【小问1详解】 因为，故. 由，代入得，则. 又因为在双曲线上，代入，得，则， 故双曲线方程为. 【小问2详解】 由题可设，将代入双曲线中， 整理得，由根与系数关系得， ， ①不存在符合的直线. 令， 由得，即， 将代入上式得， ， 展开并整理， 将根与系数关系代入， 化简整理得，解得. 因此直线方程为. 检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系， 因此不存在满足条件的直线. ②弦长， 到直线的距离， ， 令，可知在单调递增， 故，所以的面积最小值为. 19. 若直线与两个函数图象在公共点处相切，称直线为这两个函数的“合一切线”． （1）已知，求函数的零点； （2）求函数与函数的“合一切线”方程； （3）已知，若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求a，b的值． 【答案】（1）0； （2）； （3），，. 【解析】 【分析】（1）求定义域，二次求导，得到函数单调性，进而得到函数最小值为，故有且只有1个零点，零点为0； （2）在（1）基础上得到公共点为，利用导数的几何意义得到“合一切线”方程为； （3）设与的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则，所以，不妨设，则，由“合一切线”的定义得到方程组，求出，，，通过检验，满足要求. 【小问1详解】 中，令，解得， 故定义域为， ，令，则恒成立， 故函数，即在上单调递增， 又，故当时，，当时，， 所以上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，又， 故有且只有1个零点，零点为0； 小问2详解】 由（1）知，函数与函数的公共点仅有1个， 即横坐标为0，则，故公共点为， ，故在处的切线斜率为， 切线方程为，即， ，故在处的切线斜率为， 切线方程为，即， 综上，与函数的“合一切线”方程为； 【小问3详解】 ， 设函数与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为， 其斜率分别为，则， 因为，所以， 所以， 不妨设，则， 因为， 由“合一切线”的定义可知，， 又，故，， 故，， 由“合一切线”的定义可知，， 又，，，代入上式，可得， 当，，时，此时， 而，故为偶函数，而也为偶函数， 故， 综上，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年12月学情调研测试卷 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量不平行，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种 6. 已知等差数列的公差不为零，，是和的等比中项，设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C D. 或 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某科技公司统计了一款APP，最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为，则（ ） 月份编号x 1 2 3 4 5 下载量y（万次） 5 45 4 3.5 2.5 A. y与x负相关 B. C. 预测第6个月的下载量约为2.1万次 D. 残差绝对值的最大值为0.5 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为，AB为底面圆直径，，点C在底面圆周上．（不与A、B重合），则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 的中点为，则平面PAC C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的内切球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数a，b满足，则的最小值为________． 13. 已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则________． 14. 已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）已知的内角C满足，且点D在线段AB上，求CD的长． 16. 已知等差数列的前n项和为且． （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD． （1）证明：． （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 18. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 19. 若直线与两个函数图象在公共点处相切，称直线为这两个函数的“合一切线”． （1）已知，求函数的零点； （2）求函数与函数的“合一切线”方程； （3）已知，若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求a，b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $