28.2.2 应用举例 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

应用举例 一、单选题 1．如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 2．一座无人机在飞过上海环球金融中心时（高约米），与建筑底部的控制人员的俯角为，则无人机到控制人员的距离为（   ）米 A． B． C．1260 D．315 3．如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 4．如图，学生甲在凉亭处测得湖心岛在其南偏西的方向上，又从处向正东方向行驶300米到达凉亭处，测得湖心岛在其南偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（   ） A．150 B． C． D． 5．如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 6．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上(梯子顶端靠墙)，小明测得：甲与地面的夹角为；乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角；丙的坡度为．那么，这三个梯子的倾斜程度为（   ） A．甲较陡 B．乙较陡 C．丙较陡 D．一样陡 8．如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为，则小车在斜面上下滑的平均速度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．小芳想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，向左走米到处再测得点仰角为，且、、三点在同一直线上，则新教学楼的高度是 米．(结果保留到整数，参考数据： ， ， ） 12．如图，测高仪距建筑物底部，，在测高仪处观测建筑物顶端的仰角为，测高仪高度为，则建筑物的高度为 ．（精确到，，，） 13．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时A，B两处相距 海里．（结果取整数，参考数据：，，） 14．如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东方向，则此时货轮与灯塔B的距离为 海里（结果精确到海里．参考数据：）．    15．若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度为9米，则此斜坡的坡度为 ． 16．如图，一名滑雪运动员沿着坡度为：的斜坡，从滑行至，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了 米． 三、解答题 17．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 18．为方便市民休闲散步，计划在人工水渠两侧新建 两条步道．经测量，点B 在点A南偏东 方向，点C在点A的正南方且在点 B的正西方，点D在点A南偏东 方向且在点B的正北方， 米． (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)请计算说明哪条步道较短？（参考数据： ） 19．如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 20．图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B C B D D A B 1．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，可得米，，，解，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得米，， ∴ ∴米 故选：A． 3．D 【分析】本题主要考查了仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：根据仰角与俯角的概念，可知从点观测点的仰角是， 从点观测点的俯角是， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作与点，利用锐角三角函数求出米，米，再求出米，即可求解． 【详解】解：如图，过点作与点， ， ， ， ， 在中，，米， 米，米， ， ， ， 在中，米， 米， 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查解直角三角的应用，正确识别图形是解题的关键．根据题意得到，，，再根据三角函数的定义求值即可． 【详解】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 6．B 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判断即可 【详解】解：A、根据图象得， ∴，选项错误，不符合题意； B、根据图象得， ∴，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 7．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直接利用坡度的定义求出坡角，进而比较得出答案． 【详解】解：∵乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角， ∴设乙梯子与地面的夹角为， ∴， ∴， ∵丙的坡度为， ∴设丙梯子与地面夹角为， ∴， ∴， 又甲与地面的夹角为， ∴这三个梯子的倾斜程度相同， 故选：D． 8．D 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数是解题关键． 根据题意，可求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ． 故选：D． 9．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可得，则米． 【详解】解：在中，， ∴米， 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的性质，解直角三角形求出斜坡的长，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案． 【详解】解：由题意得，斜坡的长度为， ∴小车在斜面上下滑的平均速度为， 故选：B． 11． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，分别解，求出的长，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：米，，设米， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 12．7.6 【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点E，则，， 在中， ∴ ∴ 故答案为：7.6． 13．112 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 过点P作于点C，然后分别在和中，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点C， 根据题意得：，，海里， 在中，，海里， ∴海里， ， 在中，， ∴海里， ∴海里， 即A，B两处相距112海里． 故答案为：112． 14． 【分析】本题考查了方位角，解直角三角形的运用，理解方位角，掌握锐角三角函数的计算是关键． 根据题意得到，（海里），如图所示，过点作于点，根据，得到（海里），在中有含角的直角三角形的性质得到（海里），由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，（海里）， 如图所示，过点作于点，    ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， 故答案为： ． 15． 【分析】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求得水平距离，再根据铅垂距离水平距离求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了坡度坡比的定义，利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握坡比的定义．根据坡比的定义，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，从而求解． 【详解】解：∵斜坡的坡度为： ∴ ∴ 在中，，， 则， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，则，，因为，，故，再代入数值到，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， 答：乙建筑物的高为． 18．(1)米 (2)更短 【分析】该题考查了解直角三角形和矩形的性质与判定，解题的关键是正确做出辅助线． （1）延长，过点作交的延长线于点，根据题意可得，则四边形是矩形，即可得出，，米，求出米． （2）结合（1）求出，，比较即可求解． 【详解】（1）解：延长，过点作交的延长线于点， 根据题意可得， 则四边形是矩形， ∴，， ∴米， ∴米． （2）解：结合（1）可得米，米，米， 米，米， 则米， 米， ， 故更短． 19．楼的高度是204米 【分析】本题考查解三角函数，矩形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点F，证明四边形是矩形，，求出，则，，继而求出，则，即可解答． 【详解】解：过点A作于点F，如图， 由题意，得 ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：楼的高度是204米． 20．68cm 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】过点作于点，如下图： ∵， ∴， 在中，，， ∴(cm)， ∴， 答：车位锁的底盒长为68cm． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用举例 一、单选题 1．如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 2．一座无人机在飞过上海环球金融中心时（高约米），与建筑底部的控制人员的俯角为，则无人机到控制人员的距离为（   ）米 A． B． C．1260 D．315 3．如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 4．如图，学生甲在凉亭处测得湖心岛在其南偏西的方向上，又从处向正东方向行驶300米到达凉亭处，测得湖心岛在其南偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（   ） A．150 B． C． D． 5．如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 6．如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上(梯子顶端靠墙)，小明测得：甲与地面的夹角为；乙的底端距离墙角 ，且顶端距离墙角；丙的坡度为．那么，这三个梯子的倾斜程度为（   ） A．甲较陡 B．乙较陡 C．丙较陡 D．一样陡 8．如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为，则小车在斜面上下滑的平均速度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．小芳想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，向左走米到处再测得点仰角为，且、、三点在同一直线上，则新教学楼的高度是 米．(结果保留到整数，参考数据： ， ， ） 12．如图，测高仪距建筑物底部，，在测高仪处观测建筑物顶端的仰角为，测高仪高度为，则建筑物的高度为 ．（精确到，，，） 13．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时A，B两处相距 海里．（结果取整数，参考数据：，，） 14．如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它北偏东方向，则此时货轮与灯塔B的距离为 海里（结果精确到海里．参考数据：）．    15．若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度为9米，则此斜坡的坡度为 ． 16．如图，一名滑雪运动员沿着坡度为：的斜坡，从滑行至，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了 米． 三、解答题 17．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 18．为方便市民休闲散步，计划在人工水渠两侧新建 两条步道．经测量，点B 在点A南偏东 方向，点C在点A的正南方且在点 B的正西方，点D在点A南偏东 方向且在点B的正北方， 米． (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)请计算说明哪条步道较短？（参考数据： ） 19．如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 20．图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $