27.2.3相似三角形的应用举例同步训练2025-2026学年人教版数学九年级下册

27.2.3 相似三角形的应用举例 同步训练 一、单选题 1．如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以所在的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点M的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明用两根长度相同的小木棍，自制了一个“形”测量工具，与交于点，．现将其放进一个锥形瓶内，测得，则该锥形瓶底部点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（    ） A． B． C． D． 4．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（   ）    A． B． C． D． 5．如图①，是一款不锈钢晾衣架实物图，图②是其侧面示意图，已知与相交于点，，根据图②中的数据可得的值为（    ） A．0.9 B．1 C．1.1 D．1.2 6．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（   ） A． B． C． D． 7．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 二、填空题 8．在同一时刻太阳光下，身高的小颖在地面上形成的影长是，她所在学校的科技楼在同一水平地面上的影长为，科技楼的实际高度为 ． 9．如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是 ． 10．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高 ． 11．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为 ． 三、解答题 12．如图，小华和小军同学想要测量学校教学楼的高度，小华站在地面上的点A处，此时小华在太阳光线下的影子顶端和教学楼在太阳光线下的影子顶端恰好重合于地面上的点B处，接着小军从点B处沿方向移动米到达点C处（即米），并在点C处测得，已知小华的身高米，小华的影长米，点O，A，B，C在同一条直线上，，，图中所有的点都在同一平面内，求教学楼的高度． 13．清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 14．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点C处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端E，已知淇淇眼睛A到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度： (2)如图②所示，嘉嘉采用影长法测量旗杆高度．同一时刻，他测得1米长竹竿竖直放置时影长为2米；测量旗杆时，其影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡C上（），与地面成角，求旗杆的高度． 15．综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得米，米，米，，，则，由相似三角形的性质代入数据计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，米，米，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点A的坐标为， 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，证明出，根据相似三角形对应边成比例可得，代数可求的长度． 【详解】解：∵小明用两根长度相同的小木棍，自制了一个“形”测量工具， ∴ ∴ ， ， ， 又， ， ． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明，得到，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查相似三角形解应用题，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 根据题意，确定，再判断，进而得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   ， ，， ， ， ， ，解得， 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由，可得出，进而得出，解出即可得出结论．熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， 即 解得． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由已知证明，得到，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 8． 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据平行投影原理，同一时刻太阳光下物高与影长成正比，设科技楼高度为h米，建立比例方程求解． 【详解】解：设科技楼的实际高度为h米， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 9．3 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意得：，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 根据两个三角形相似，对应边上的高的比等于相似比可知：， ∴； 故答案为：． 10． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意可知：，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长． 【详解】解：由题意可得：，，，， ， ， 即， 解得：， 树高， 故答案为：． 11． 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 12．米 【分析】本题考查相似三角形的应用． 设米，可知米，米，根据等角对等边得到米，根据，得到，证明，得到，求出的值，计算即可． 【详解】解：设米， ∵米，米， ∴米，米， ∵，， ∴， 即米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴米． 13．42米 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，平行投影的含义，先证明可得，如图，过点H作于点N，交于点P，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由题意可知，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作于点N，交于点P， 设米，则米， 米，（米），米， ∵， ∴， ∴，即 解得：． ∴清风阁的高为42米． 14．(1)的长为 (2)旗杆的高度约为 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． （1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）延长交的延长线于点F，过点D作于点E，根据勾股定理求出的长，再由同一时刻物高与影长关系得出的长，进而求得的长，仍由同一时刻物高与影长关系即可得出的长． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， ∴，即， ∴， 答：的长为； （2）解：延长交的延长线于点F，过点D作于点E， ∵， ， ， ， ∴， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， ∴， ∴， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为． 15．（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是 【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 则， ∵四边形是正方形， ，即， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设， 四边形是矩形， ，即，， ，， ，即， ， 矩形面积， 当时，此时最大，最大值为2400， ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $