精品解析：湖南省邵阳市第二中学2025-2026学年高一上学期12月学科竞赛数学试题

高一数学竞赛试卷 范围：必修一前四章 分值：150分 一、单选题（5*8=40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别表示出集合，然后根据交集运算求得结果. 【详解】因为，解得，所以， 又因为，所以， 故选：B. 2. “”是“关于x的不等式的解集为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先判断不等式的解集为成立的条件，然后根据充分性、 必要性的定义选出正确答案. 【详解】关于x的不等式的解集为, 当时，,此时不等式的解集为，满足条件； 当时，则，解得：， 综上，的取值范围为：， 故“”是“关于x的不等式的解集为”的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知函数（且）是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数可判断分段函数在上单调递减，再根据二次函数和对数函数的单调性列不等式即可. 【详解】因为当时，二次函数图象开口向上，则要使整个函数单调，则函数在上单调递减， 则分段函数在上单调递减， 则有 解得. 故选：C. 4. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为偶函数建立方程求出，然后得出函数的解析式，根据分段函数求出即可. 【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数， 所以定义域关于原点对称， 所以即， 解得：或， 又，所以， 所以函数， 所以， 故选：D. 5. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得方程在区间上有解，构造函数，求出它的值域，得到的范围即可 【详解】若函数与的图象上存在关于轴对称的点， 则方程在区间上有解， 令， 由的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线 故当时，取最小值 当时，取最大值 故的范围为 故选 【点睛】本题主要考查了构造函数法求方程的解以及参数范围，解题的关键是将已知转化为方程在区间上有解，属于基础题． 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用解析式得到，结合已知及对数运算性质求函数值. 【详解】由 ， 所以， 所以， 故. 故选：A 7. 黎曼函数，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件判断出的周期性，然后化简并根据黎曼函数的定义计算出结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以且， 又因为，所以，所以， 所以，所以，所以是周期为的周期函数， 所以，， 因为当时，，所以，所以， 所以， 故选：D. 8. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称性、单调性、奇偶性得到，从而得，从而得到结果． 【详解】的图象关于点对称， 的图象关于原点对称， 为奇函数． ， ， 在R上是减函数， ， ， 在区间上是减函数，则 故选：B. 二、多选题（3*6=18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数定义域是，则的定义域是 B. 已知，，则的取值范围是 C. 已知实数满足，则的最小值为27 D. 已知，，且，则的最小值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法判断A；根据不等式的性质判断B；利用基本不等式求解判断CD. 【详解】选项A：函数定义域为，则， 故函数的定义域是， 令，则，故的定义域是，故A正确； 选项B：由，得，由，得， 故，故B错误； 选项C：由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为27，故C正确； 选项D：由，得， 则，当且仅当时等号成立， 则的最小值为，故D错误. 故选：AC 10. 用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析可知，或，对集合的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可. 【详解】对，有， 故，则或， 当时，由， 故，则有，即， 此时，符合要求； 当时，则，故， 对于，若，解得， ① 当时，，解得， 此时，符合要求； ② 当时，，解得， 此时，符合要求. 若，则有一根属于，另一根不属于， 当时，有，故不是的根， 当时，有，故不是的根， 故时，不合题意； 综上所述，实数的值可能为或． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析得出或，对集合的元素个数进行讨论，在求出参数后一定要注意进行检验. 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 若函数恰有三个零点，则实数t的值是 或1 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出分段函数的图象，数形结合可得出函数的单调性及的分布情况，从而可得到，的取值范围. 【详解】解：如图 对于A：当时，函数在递增，当时，函数在上递增， 所以函数在和上递增，不能取并集，所以A错误. 对于B： 若函数恰有三个零点，则有三个解，即与两个函数图象有三个交点. 如上图当或时恰有三个交点，因此或，所以B正确. 对于C： 如图，，即，， 所以，，，所以， 所以，所以C正确. 对于D：，，，所以， ，所以，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题（3*5=15分） 12. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三个二次的关系，得到方程有两根为和，且，将用表示后代入所求不等式，化简即可求其解集. 【详解】由题意，方程有两根为和，且. 则解得. 将上式代入不等式，整理得， 因，故得，解得， 即不等式的解集是. 故答案为： 13. 函数，定义使为整数的数叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有______个. 【答案】9 【解析】 【分析】由结合对数的运算性质可得，若其值为整数，则，结合，可以很容易得出满足条件的数的个数. 【详解】因为函数， 所以，， 所以， 若为整数，则， 又因为， 所以. 故答案为：9. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性求得的解析式，构造函数，根据的单调性以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以，联立， 解得，又因为对于任意的，都有成立， 所以，即成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， 若，则对称轴，解得； 若，则在单调递增，满足题意； 若，则对称轴恒成立；综上，． 故答案为： 【点睛】易错点睛： 奇偶性判断的细节：在利用奇偶性构造函数时，容易在符号处理上出现错误，尤其是对于奇函数和偶函数的性质.确保每一步推导中符号的准确是非常重要的. 分类讨论的完整性：在进行参数的分类讨论时，必须确保每种情况都被考虑到，包括.如果遗漏某一情况，可能会导致结论不完整. 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. 设全集，集合，. （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合、，利用交集的定义可求得集合； （2）求出集合，分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围； 【小问1详解】 解：由得，即，解得， 则， 由可得，解得，即， 所以，. 【小问2详解】 解：由（1）可得或， 当时，，因为，所以，解得； 当时，，此时； 当时，，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围是. 16. 某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本万元，且该景区门票价格为64元/人． （1）求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式．（利润=收入-成本） （2）当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）游客人数为万时利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可； （2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可． 【小问1详解】 该景区的门票收入为万元， 则利润，即， 故该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式； 【小问2详解】 当时，， 当时，二次函数开口向下，对称轴为，故， 当时，，当且仅当，即时等号成立， ， 综上，游客人数为万时利润最大，最大利润为万元． 17. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 18. 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，是“距”增函数，求实数的取值范围； （2）若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （2）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围，再由结合的范围求出的最小值，进而求解即可. 【小问1详解】 由题设可得，在上恒成立， 即， 整理得到：在上恒成立， 故，解得， 则实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立，且恒成立， 故且，解得， 则实数的取值范围为； 由， 因为，， 所以当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数，即的最小值为1； 当时，在时取得最小值，最小值为， 此时，即函数的最小值为， 综上所述，. 19. 已知函数对一切实数，都有成立，且, （1）求的值; （2）求的解析式; （3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法进行求解即可； （2）利用赋值法进行求解即可； （3）根据指数函数的性质、绝对值的性质，结合换元法、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【小问1详解】 在中， 令，结合得； 【小问2详解】 在中， 令，得， ； 【小问3详解】 由（2）可知：， 所以 ，其中，即， 令，函数图象如下图所示： 则有， 因为关于x的方程有三个不同的实数解， 所以方程有两个不相等的实根，不妨设为， 由函数的图象可知：，或， 设 则有，或， 解得或，所以， 因此实数k 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学竞赛试卷 范围：必修一前四章 分值：150分 一、单选题（5*8=40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“关于x的不等式的解集为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数（且）是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 10 5. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 黎曼函数，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3*6=18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数定义域是，则的定义域是 B. 已知，，则的取值范围是 C. 已知实数满足，则的最小值为27 D. 已知，，且，则的最小值为3 10. 用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 若函数恰有三个零点，则实数t的值是 或1 C. D. 三、填空题（3*5=15分） 12. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_________. 13. 函数，定义使为整数的数叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有______个. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. 设全集，集合，. （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围. 16. 某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本万元，且该景区门票价格为64元/人． （1）求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式．（利润=收入-成本） （2）当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ 17. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 18. 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，是“距”增函数，求实数的取值范围； （2）若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 19. 已知函数对一切实数，都有成立，且, （1）求的值; （2）求的解析式; （3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $