福建省福州格致中学2024-2025学年高一上学期自主招生数学试卷

福州格致中学高中自主招生 数学真题卷 一、选择题（每题6分，满分60分.下列各题的四个选项中只有一个是正确的，请将你的选择填写在答题卡选择题1~10的位置.） 1. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（） A. 或 B. 且 C. 且 D. 或 2. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分，都是正方形花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（） A. B. C. D. 3. 已知实数x满足，则值是（ ） A. B. 1 C. 或2 D. 或1 4. 若实数满足．则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 或1 6. 已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小不确定 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若一直角三角形的斜边长为，内切圆半径是，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线与直线，，，围成正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为1的正方形在边长为3的正方形所在平面上移动，始终保持．线段的中点为M，的中点为N，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题6分，满分30分.请将答案填写在答题卡“非选择题”中第1框内，并按以下图示作答.） 11. 使函数有意义的自变量x的取值范围是________． 12. 对正实数a，b作定义若，则________． 13. 如下图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点A、B为圆心，2为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点F，则EF的长为________． 14. 定义：．现有，则________． 15. 设抛物线（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，则________． 三、解答题（共4题，满分60分.请将下列四题的解答过程分别填写在答题卡“非选择题”第2、3、4、5框内.） 16. 设m是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根、． （1）若，求m的值． （2）求的最大值． 17. （1）在中，，的正弦、余弦之间有什么关系？请给出证明过程． （2）已知锐角满足：，，求的值． 18. 喜欢钻研的小亮对角的三角函数产生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求的正弦值呢？经研究，他发现：，于是他大胆猜想：（和为锐角）．将图1(a)等积变形为图1(b)可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2(a)和图2(b).如图，锐角为的直角三角形斜边为m，锐角为的直角三角形斜边为n，请你借助图2(a)和图2(b)证明上述猜想能成立． 19. 已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，与双曲线相交于C、D两点，且点D的坐标为． （1）如图1（1），当点C的横坐标为2时，求点C的坐标和的值． （2）如图1（2），当点A落在x轴的负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接． ①判断与否平行，并说明理由； ②当时，求点C的坐标和的值． （3）若，请直接写出的值（不必书写解题过程） 福州格致中学高中自主招生 数学真题卷 一、选择题（每题6分，满分60分.下列各题的四个选项中只有一个是正确的，请将你的选择填写在答题卡选择题1~10的位置.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（每题6分，满分30分.请将答案填写在答题卡“非选择题”中第1框内，并按以下图示作答.） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】36 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】4 【15题答案】 【答案】 三、解答题（共4题，满分60分.请将下列四题的解答过程分别填写在答题卡“非选择题”第2、3、4、5框内.） 【16题答案】 【答案】（1）；（2）10. 【17题答案】 【答案】（1），证明见解析；（2） 【18题答案】 【答案】证明见解析 【19题答案】 【答案】（1）， （2）①，理由见解析；②， （3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $