精品解析：福建省福州市第一中学2025-2026学年高一提前自主招生考试数学试卷

福建省福州第一中学提前招生考试数学试卷 一、单选题 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 或1 2. 现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为，若从中任取2瓶混合，则会发生复分解反应的概率为（ ） A B. C. D. 3. 在中，和均为锐角，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. “无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三.”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军.”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（ ） A. （1）班 B. （2）班 C. （3）班 D. （4）班 5. 如图，在矩形中，，分别与三边相切于点，若过点作的切线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. “剪纸”是我国一项传统民间艺术．现有一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到9个十三边形和一些多边形纸片，则至少要剪（ ） A. 88刀 B. 89刀 C. 90刀 D. 91刀 二、填空题 7. 若不等式组非空解集为，则实数的取值范围为______． 8. 化简：______． 9. 如图，四边形的顶点都在坐标轴上，且，与的面积分别为4和9．若双曲线恰好经过的中点，则的值为______． 10. 若函数图象的一条对称轴为直线，则的值是______． 三、解答題 11. 解决下列问题： （1）计算：； （2）当时，求的值． 12. 已知关于的方程有两个不相等的正实数根． （1）求实数的取值范围； （2）最大值． 13. 如图，是的一条弦，过点分别作的垂线，点为上一点，过点作的切线交上述垂线于点，连接交于点． （1）若是的直径，求证：； （2）若不是的直径，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请举例说明． 14. 已知：抛物线与轴交于两点，且顶点为，直线经过两点．将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线，其顶点为，且抛物线与直线另一个交点为，与轴交于两点（点在点右边）． （1）求抛物线解析式； （2）连接，过点作的平行线交轴于点，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州第一中学提前招生考试数学试卷 一、单选题 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，结合完全平方公式即可求解. 【详解】若，则由得，平方可得， 故，此时， 若，则由得，由于，则， 故不能成立， 综上可得， 故选：B 2. 现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为，若从中任取2瓶混合，则会发生复分解反应的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定组合数，找出发生复分解反应的组合，最后计算概率 【详解】从5瓶溶液中任取2瓶，共有， 溶液中酸性为，碱性为， 酸碱中和反应生成水属于复分解反应，所以发生复分解反应的组合有， 因此会发生复分解反应的概率为， 故选：C. 3. 在中，和均为锐角，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 4. “无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三.”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军.”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（ ） A. （1）班 B. （2）班 C. （3）班 D. （4）班 【答案】B 【解析】 【分析】通过假设，结合每个人的预测都只对一半，然后推理可得. 【详解】若（1）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 则（2）班得第四，此时丙的预测全错，不满足题意； 若（2）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 由丙的预测可知（1）班得第四，满足题意； 若（3）班得冠军，由甲的预测可知（4）不是第三，由丙的预测可知（1）班得第四， 则（2）班得第三，（4）班得亚军，此时乙的预测全错，不满足题意； 若（4）班得冠军，此时甲的预测全错，不满足题意. 故选：B 5. 如图，在矩形中，，分别与三边相切于点，若过点作的切线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由圆与矩形三边相切的条件确定圆的半径，再利用切线长定理表示出线段长度，最后结合勾股定理建立方程求解的长度. 【详解】在矩形中，，，故，. 因与、、相切，设其半径为， 由切线长定理，，， 结合得，即. 由此得，，故. 设与的切点为，由切线长定理，，. 设，则，，. 在中，由勾股定理：, 代入，得：, 展开化简：，，解得. 因此. 故选：D 6. “剪纸”是我国一项传统民间艺术．现有一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到9个十三边形和一些多边形纸片，则至少要剪（ ） A 88刀 B. 89刀 C. 90刀 D. 91刀 【答案】B 【解析】 【分析】通过找出剪的次数与多边形数量、边数的关系建立不等式求解即可. 【详解】由题知初始为一个正方形，有4条边， 则每剪1刀，多边形数量增加1，总边数增加4， 设剪刀后，多边形总数为，总边数为， 若最终要得到9个十三边形， 设其余多边形数量为， 则多边形总数为，即， 其余多边形边数最少为3（三角形）， 因此总边数至少为， 由题意得：， 解得：， 所以至少要剪89刀， 故选：B. 二、填空题 7. 若不等式组的非空解集为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把不等式组化为一元一次不等式组的一般形式，然后根据不等式组的解集判断的取值范围即可. 【详解】不等式组可化为，因为不等式组的解集为， 所以. 故答案为： 8. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式运算性质化简即得. 【详解】 故答案为：. 9. 如图，四边形的顶点都在坐标轴上，且，与的面积分别为4和9．若双曲线恰好经过的中点，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，根据相似比表示出，然后结合中点坐标公式求出点坐标，代入即可得解. 【详解】设，因为，所以， 所以，记，则， 又与的面积分别为4和9，所以， 解得，则，则， 又点在曲线上，所以. 故答案为：3 10. 若函数图象的一条对称轴为直线，则的值是______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用函数的对称性求解. 【详解】函数的两个零点， 因为图象的一条对称轴为直线， 所以根据对称性，得到该函数另外两个零点为， 所以方程的两个根为， 所以，解得， 此时，函数解析式为， 因为 ， ， 所以，所以函数图象的一条对称轴为直线，满足题意， 所以， 故答案为：11. 三、解答題 11. 解决下列问题： （1）计算：； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据幂、三角函数以及因式分解的计算，可得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 将代入上式，可得. 12. 已知关于的方程有两个不相等的正实数根． （1）求实数的取值范围； （2）的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合韦达定理与正根的符号条件，分析判别式、根的和与积的范围，确定的取值区间； (2)先化简目标代数式，代入韦达定理的结果转化为关于的函数，通过配方法求其最大值. 【小问1详解】 对于方程，设其两根为. 由韦达定理，，. 因方程有两个不相等的正实数根，需满足，，. ，关于a的二次函数其判别式为，故恒大于0. 由得，解得；由得，解得. 综上所述，的取值范围是. 【小问2详解】 因为，所以当时，原式取得最大值为. 13. 如图，是的一条弦，过点分别作的垂线，点为上一点，过点作的切线交上述垂线于点，连接交于点． （1）若是的直径，求证：； （2）若不是的直径，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请举例说明． 【答案】（1）证明见解析； （2）成立，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，可证，得到，同理，，则，则，可证明，得到，则，由，即可求解； （2）延长交于点，连接，根据圆周角定理，切线的性质等可得，，，，可证明，，则有，即，所以有，由此即可求解． 小问1详解】 证明：如下图所示，连接， ∵是的直径，，， ∴是的切线， ∵过点作的切线交上述垂线于点，即点是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：成立，理由如下， 证明：如下图所示，延长交于点，连接， ∵为的直径， ， ，， ∵为的切线， ， ，，，， 又，， ，， 均为的切线， ， ∴，， 又， ，， ，， ，即， ∴， ． 14. 已知：抛物线与轴交于两点，且顶点为，直线经过两点．将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线，其顶点为，且抛物线与直线的另一个交点为，与轴交于两点（点在点右边）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，过点作的平行线交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标得出直线解析式，再根据直线经过抛物线顶点即可求解抛物线解析式； （2）根据题意得出，由相似三角形的性质得出，设抛物线沿射线方向向右平移个单位，再向上平移个单位得到，根据各点坐标表示出线段，列出方程求解即可． 【小问1详解】 因为直线经过， 所以，解得，则直线， 因为点为抛物线的顶点，抛物线与轴交于两点, 所以点横坐标为1，抛物线， 又直线经过点，所以， 代入，解得， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以， 因为直线的表达式为，设与轴交点为， 所以，则， 所以， 设抛物线沿射线方向向右平移个单位，再向上平移个单位得到，则点，， 所以， 令，解得， 所以，则， 所以， 设，则， 所以原方程可化为：， 所以，解得， 因为，所以，此时， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $