北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二上学期数学统练五

数学统练五 （高24级）2025.12 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 3. 经过点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，直线：，当，在变化时，点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（ ） A. 12 B. 10.5 C. 9 D. 7.5 9. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，点在曲线上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，______. 12. 已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______. 13. 已知直线与：交于，两点，且，则______. 14. 若直线与双曲线没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围为___________. 15. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.设曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③面积的最大值为1； ④（为坐标原点）. 其中正确结论的序号是__________. 三、解答题共3道小题，共35分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知椭圆：的右焦点，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 17. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 18. 若有限数列A：的各项均为正整数，且对，都有，则称数列A具有性质P.将数列A各项之和记为. （1）分别判断下列两个数列：1，6，2，4，3，：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说明理由. （2）若数列A具有性质P，且项数m为6，求的最小值. （3）对具有性质P且项数固定为m的数列A，记的最小值为.判断是否存在正整数使得.若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由. 数学统练五 （高24级）2025.12 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共3道小题，共35分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 设点在椭圆上且，则，即， 当时，，直线为，因为，故直线为，为直线与的交点，即，直线的轴截距点，此时，所以. 当时，因为轴于点，所以， 故的斜率为，因，故的斜率为， 所以直线的方程为，令得点纵坐标为， 故， 直线的斜率为，代入， 直线的方程为， 令，解得， 故， 因此为定值. 综上所述，为定值. 【17题答案】 【答案】（1） （2）的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）3个 【18题答案】 【答案】（1）数列不具有性质，数列具有性质，理由如下： 对于数列 因为 因为存在两个连续三项的和相等，所以数列不具有性质； 对于数列 因为所有连续三项的和互不相等，所以数列具有性质. （2）9 （3）对任意具有性质 的 项数列，记 因为 是 个互不相同且均不小于 的正整数， 所以 又，因此 当 时，． 当 时，取数列的前 项． 完整数列的连续三项和依次为互不相同，所以它的每个前缀都具有性质 ； 且前 项之和不超过 ，故 ． 当 时，由下界得 ． 取数列其连续三项和依次为互不相同，且各项和为 ，所以 ． 综上，满足 的正整数只有 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $