专题07 一次函数与几何图形的综合（5大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义聚焦一次函数与几何图形综合，通过分题型梳理构建知识体系，以核心解题思路、基本步骤及注意事项为框架，清晰呈现定点问题、将军饮马等5大题型的重难点，帮助学生把握代数与几何的内在联系。 讲义亮点在于方法指导与分层练习结合，如将军饮马问题通过对称点转化最短路径，培养几何直观与推理意识。典例示范步骤，练习梯度设计，基础生可掌握通法，优秀生能深化思维，助力教师实施精准复习教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题07 一次函数与几何图形的综合（5大基本题型） 题型1：一次函数的图像经过某定点问题 题型2：一次函数中的将军饮马问题 题型3：面积分割问题 题型4：取值范围问题 题型5：存在性问题 【题型1】一次函数的图像经过某定点问题 核心解题思路：一次函数图像经过定点的问题，本质是消去参数的影响，即无论参数（如k）取何值，函数图像都经过某一固定点。解决此类问题的关键是将函数解析式整理为关于参数的线性组合形式，令参数的系数为零，解出对应的x和y值，即为定点坐标。 基本解题步骤： 1. 整理函数解析式：将一次函数解析式整理为“参数×(关于x的表达式)＋常数项”的形式（或类似结构）。 2. 消去参数影响：令参数的系数为零（此时参数的取值不影响等式成立），解出x的值。 3. 求定点坐标：将x的值代入原解析式，求出对应的y值，即为定点坐标。 注意事项： 1. 若函数解析式为（k为参数），需确保b中含有与k相关的项，否则定点为（当k变化时，直线绕旋转）。 2. 可通过特殊值法验证定点：取参数的两个不同值，求出对应的直线解析式，联立求解交点，即为定点。 【典例1】关于的一次函数不论取何值，函数图象恒过定点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，将函数表达式变形为，由不论取何值，函数图象恒过定点，所以，解得，得出定点的坐标为，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：将函数表达式变形为， ∵不论取何值，函数都经过点， ∴，解得， 代入得， ∴定点的坐标为， 故答案为：． 【练习1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为_____； （2）在点的移动过程中，的取值范围为_____． 【答案】 或或 【分析】本题考查了一次函数的定点问题、一次函数的性质以及直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）通过对直线解析式进行变形，分析出不受参数影响的定点坐标； （2）分析点在端点及特殊位置（直线平行）时的斜率，结合线段的范围确定的取值范围． 【详解】（1）解：将直线变形为， 当，即时，的取值不影响的值，此时， 定点． （2）直线与轴交于点， 令，解得， ， ①当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ②当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ③当直线与直线平行时，此时，与直线无交点， 故， 结合图形分析， 当时，与线段（及右侧延伸）相交； 当时，与线段（及左侧延伸）相交； 当时，与线段相交． 的取值范围为或或． 【练习2】在平面直角坐标系中，线段的端点是，，直线． （1）直线恒过一定点，该点的坐标为________． （2）若直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质， （1）通过因式分解提取，令求得定点坐标； （2）利用直线过定点，利用待定系数法解得直线、直线的解析式，结合一次函数的图像与性质确定的取值范围． 【详解】解：（1）直线方程可化为， 当时，，与无关， 故恒过定点； （2）如下图，设直线恒过定点， 由（1）可知，， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析为， 结合一次函数的图像与性质，可知若直线与线段有交点，则k的取值范围为或． 故答案为：（1）；（2）或． 【练习3】关于一次函数，给出下列说法正确的是（） ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则； ④该函数恒过定点． A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，包括单调性、象限分布、平移变换和定点问题，根据一次函数的定义和性质逐项判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①若点，在函数图象上，且， ∵，即，， ∴随增大而增大， ∴，故①符合题意； ②若函数不经过第四象限， ∴且，即，故②不符合题意； ③函数向上平移2个单位得，与坐标轴交于点和， 围成的三角形面积为， 令，得，即或，故③不符合题意； ④当时，， ∴函数恒过定点，故④符合题意； 综上，符合题意的是①④， 故选：C． 【题型2】一次函数中的将军饮马问题 核心解题思路：将军饮马问题是最短路径问题的经典模型，本质是利用轴对称变换将“直线同侧两点到直线上某点的距离之和”转化为“直线异侧两点的距离”（两点之间线段最短）。 基本解题步骤： 1. 确定对称点：选择直线同侧的两个定点中的一个（如A），作其关于直线的对称点（如A′）。 2. 作对称点的方法：过点A作直线的垂线，垂足为O，延长AO至A′，使OA′＝OA。 3. 连接对称点与另一定点：连接A′与另一定点（如B），与直线交于点P，则P即为使AP＋BP最短的点。 4. 证明最短性：根据轴对称性质，AP＝A′P，故AP＋BP＝A′P＋BP＝A′B（两点之间线段最短）。 注意事项： 1. 若直线为坐标轴（如x轴、y轴），对称点的坐标可直接写出（如点关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为）。 2. 若直线为一般式（如），对称点的坐标可通过公式计算：设点关于直线的对称点为(x′,y′)，则： 【典例1】如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点的坐标为，点为线段的中点，点为线段上一动点，连接，则周长的最小值为（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式． 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，然后根据一次函数解析式求出点、的坐标，再求出点、的坐标，再由对称的性质找出点M的坐标，结合勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图． 令中，则 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点为线段的中点， 点． ∵点在线段上， ∴， 解得：，即点， ∴， ∴， ∴周长的最小值为： 故选：A． 【练习1】如图，C，D是直线上的两动点，且，已知，，则四边形的周长最小值时，该四边形的面积为________． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称—最短路径问题、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先将点向下平移1个单位长度得到点，连接，易得四边形是平行四边形，因此， 可得四边形的周长，作点关于直线的对称点，连接，易得当、、三点共线时，取最小值，由，，求出直线所在的解析式为，即可求出点，点，求出此时该四边形的面积即可． 【详解】解：将点向下平移1个单位长度得到点，连接， C，D是直线上的两动点，且， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形的周长， 作点关于直线的对称点，连接， ， 当、、三点共线时，取最小值，如图所示， ，， 设直线所在的解析式为， 把点，代入解析式， 得，解得， 直线所在的解析式为， 当时，点， ， 点， ． 【练习2】如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点D的坐标为___________ (3)如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将，，分别代入求解即可； （2）通过角平分线的性质证明，通过勾股定理求出，及的长度，即可得到点坐标，再由，即可求出点的坐标； （3）由平分，可得，关于对称，即，由此可得到轴距离即为所求． 【详解】（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； （2）解：由（1）可知：， 如图，    设长为，则， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 在中，，即， 解得， ， ； ， ，， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， ． （3）解：如图，连接，    由（2）知：， 点，关于对称， ， ， ∴当三点共线，且轴时，的值最小， 即到轴距离为最小值， 由（2）知：， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，对称的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分线的性质及求线段和最值的方法． 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)的周长最小值为． 【分析】（1）把代入，可得，再分别求解的坐标可得，进一步可得答案； （2）如图，由，为等腰三角形且，可得，可得，可得直线为：，再进一步求解即可，当轴时，不符合题意；从而可得答案； （3）如图， 求解，，，设线段向上平移个单位，向右平移个单位，可得，，过作轴于，可得，证明，结合，可得，可得，在直线上运动，且在的内部，作关于直线的对称点，连接，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴正半轴，轴相交于两点， ∴当，， ∴， ∵直线分别与轴，轴相交于两点， ∴当，，当，则， ∴，， ∴，而， ∴； （2）解：如图， ∵，为等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 直线为：， ∴， 解得：， ∴； 当轴时，不符合题意； 综上：． （3）解：如图，∵，，， ∴，，， ∵在的内部， ∴设线段向上平移个单位，向右平移个单位， ∴，， 过作轴于， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴在直线上运动，且在的内部， 作关于直线的对称点，连接， 则， ∴的周长为， 当共线时，的周长最小， 而， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，化为最简二次根式，本题的难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【题型3】面积分割问题 核心解题思路：一次函数与几何图形的面积问题，本质是将不规则图形转化为规则图形（如三角形、矩形），利用坐标计算边长或高，进而求面积。常用的方法有直接法（规则图形）、割补法（不规则图形）、平行线转移法（等底等高）。 基本解题步骤： 1. 确定图形形状：根据一次函数与坐标轴的交点或其他点的坐标，确定图形的形状（如三角形、矩形、梯形）。 2. 选择面积计算方法： (1) 直接法：若图形为规则图形（如三角形），直接计算底和高。例如，三角形的底在x轴上，长度为，高为点C的纵坐标绝对值，面积为。 (2) 割补法：将不规则图形分割为多个规则图形（如三角形＋矩形），分别计算面积后求和；或补成规则图形（如矩形－三角形），用总面积减去补的部分。 (3) 平行线转移法：通过作平行线，将不规则图形的底或高转移到坐标轴上，利用坐标计算。例如，作三角形的高平行于y轴，将高转移到x轴上，计算长度。 3. 计算面积：代入坐标值，计算面积。 注意事项： 1. 若图形为三角形，且三个顶点坐标已知，可使用坐标法计算面积：设三点坐标为、、，面积为：； 2. 若图形为梯形，面积为×（上底＋下底）×高，其中上底和下底为平行于坐标轴的线段长度，高为两平行线之间的距离。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，两点，是直线上的一点，过点的另一条直线与轴相交于点． (1)求m，b的值； (2)求△的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入即可求出的值，再将点坐标代入，即可得到的值； （2）求出、的坐标即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 将点坐标代入， 得：， ； （2）解：由（1）可知：， 当时，，， ，， ， ， ． 【练习1】如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)求出的面积； (2)在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质等知识． （1）求出点B坐标为，根据三角形面积公式即可求解； （2）设点M坐标为，当点M位于射线上时，根据即可得到，求出，得到点M坐标为；当点M位于射线上时，根据即可得到，求出，得到点M坐标为． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B坐标为． ∴； （2）解：∵点M在直线上， ∴设点M坐标为， 如图1，当点M位于射线上时， ∵， ∴， 即， 解得， 此时点M坐标为； 如图2，当点M位于射线上时， ∵ ∴， 即， 解得， 此时点M坐标为． 综上所述，满足条件的点M有两个，坐标为或． 【练习2】如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，   ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 【练习3】如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)点的坐标是，求证：是直角三角形． (3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由． (4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)存在，的面积为或 (4)点E的坐标为或 【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，三角形的面积． （1）分别令，，即可求出函数图形与坐标轴交点的坐标； （2）根据两点间距离公式求出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可； （3）当时，是等腰直角三角形．分点D在线段上和当点D在线段的延长线上两种情况求解即可； （4）根据，得到点E在的延长线上，或在的延长线上，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴． （2）证明：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：由（2）可知是直角三角形，， ∴当时，是等腰直角三角形． 如图，当点D在线段上时， ∵， ， ∴． 如图，当点D在线段的延长线上时， ． 综上所述，直线存在点，使得是等腰直角三角形，的面积为或． （4）解：∵，， ∴点E在的延长线上，或在的延长线上， ①如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点G， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为6， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． ②如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或． 【题型4】取值范围问题 核心解题思路：一次函数的取值范围问题，本质是函数定义域与值域的限制，需结合实际问题（如线段长度、点的位置）或几何约束（如直线与坐标轴的交点、图像在某一象限的条件）确定参数的范围。 基本解题步骤： 1. 分析约束条件：明确问题中的约束条件（如点的坐标为正、直线与某轴交于正半轴、图像在某一象限）。 2. 转化为等式：将约束条件转化为关于参数的等式。 3. 解等式：解出临界值，根据题目写出参数的范围。 注意事项： 1. 若问题涉及线段长度，需确保长度为正； 2. 若问题涉及点的位置（如在某象限），需确保点的坐标符号符合要求。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为 (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标； (3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值，即可求解； （2）根据三角形的面积公式结合，即可求解； （3）由于直线过定点，代入点的坐标，即可求得，若直线与的三边有两个公共点，根据图象即可得到． 【详解】（1）把代入得，， 解得， 点的坐标为 把，点坐标代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）在中，； 当时，， ， ， ， ， ， 点在轴上， ， ， ， 或； （3）直线经过点， 把点的坐标代入得，， 解得， 若直线与的三边有两个公共点，则，即 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积． 【练习1】探究活动；函数的图象与性质． (1)函数的自变量x取值范围是______； (2)在如图网格中，建立平面直角坐标系，参考画正比例函数图形的经验，画出的图象； (3)根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为______； ②当x______时，y随x的增大而增大； (4)已知为图象上一点，A点是图象与x轴的交点，B，那么求的面积． 【答案】(1)全体实数 (2)见解析 (3)①0；② (4)的面积为2或4 【分析】本题考查了画函数图象、求函数的自变量的取值范围、写出函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据解析式即可得解； （2）先列表，再画出函数图象即可； （3）根据画出的函数图象写出性质即可； （4）先求出点的坐标，再利用割补法计算即可得解． 【详解】（1）解：函数的自变量x取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数； （2）解：列表：      … 0 1 2 3 4 …      … 5 4 3 2 1 0 1 2 3 … 描点、连线： （3）解：根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0， 故答案为：0； ②当时，y随x的增大而增大， 故答案为：； （4）解：∵为图象上一点， ∴， ∴或， ∴或， 在中，当时，， ∵A点是图象与x轴的交点， ∴， 当点P的坐标为时，如图， ； 当点P的坐标为时，如图， ； 即的面积为2或4． 【练习2】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（）填表，画函数图像见解析；（）；（）的取值范围为；（）的取值范围为或． 【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可； （）根据函数图像即可求解； （）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围； （）先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围． 【详解】解：（）当时，，当时，， ∴如表， 描点，连线，如图， （）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确； 当时，，解得或，原说法错误； 该函数存在最大值，最大值为，原说法错误； 该函数图像是轴对称图形，原说法正确； 故选：； （）∵， ∴当时，有最小值：，当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为； （）设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 同理解析式为， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 由函数时，，即解析式为， 时，，即解析式为， 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：； 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：， ∴综上可得：的取值范围为或． 【练习3】【观察发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①的度数为； ②C，D是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是． （2）如图3，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图4，是某试验田的一块区域示意图，，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点M在线段上，点N在线段的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为，按设计要求，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）过点作轴，过点作轴，与相交于点，过点作轴，交直线于点．证明，得出，设点，点，得出．即点在直线上．过点作直线的对称点，当点三点共线时，最小，即的值最小． 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②解：根据垂线段最短，得到时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为； （3）解：如图，过点作轴，过点作轴，与相交于点，过点作轴，交直线于点． ， ， ． ， ． ． 设点，点， 即，解得． 则． 即点在直线上， 过点作直线的对称点，当点三点共线时，最小，即的值最小， 如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，连接， 则点，点，， ， ， ， 点， ，， =， 所需要水管长度的最小值为． 【题型5】存在性问题 核心解题思路：存在性问题是指在运动过程中是否存在某一状态满足特定条件（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形），本质是将几何条件转化为代数方程，通过解方程判断是否存在解。 基本解题步骤： 1. 明确探究目标与几何条件 2. 转化几何条件为代数表达式：用两点间距离公式表示边长 3. 设点坐标：动点P在直线上，故设其坐标为（x为变量）。 4. 建立方程并求解 5. 验证解的合理性 (1) 范围验证：点P需在直线的有效范围内。 (2) 重合验证：点P不能与已知点A、B重合。 (3) 几何意义验证：解需满足原几何条件。 6. 得出结论​ (1) 若方程有符合条件的解，则存在这样的点P，写出其坐标； (2) 若方程无解或解不符合条件，则不存在这样的点P。 【典例1】如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线．且点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)如图①，在射线上有一动点，连接，试求的面积与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； (3)如图②，过点画平行于轴的直线，将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离时（平移距离大于0），直线与轴交于点，与轴交于点、在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）求出A的坐标，再利用待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点，点分别为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ∴， ∵点，， ∴， ∵点在射线上， ∴且， 当时，点在线段上， ∴； 当时，点在线段的延长线上， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； （3）解：存在， 设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， 当点为直角顶点时，设，如图： 过点作，设直线m交轴于点，则， ∵为等腰直角三角形，直线轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图： 过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了2个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【练习1】建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，点的坐标为或或，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解； （2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解； （3）设，分情况计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点H， 直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，；当时，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为； （2）连接， 由（1）可知，， ， ； （3）存在，理由如下： 设， 当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 同（1）可证， ， ， 解得， ； 当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 可得， ， ， ； 当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图： 可得， ， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第一象限，，点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)若为线段的中点，为轴上一点，直线交于，交轴于点，其中，连接，求直线的解析式及四边形的面积； (3)若点是直角坐标平面上的一个动点，是否存在点，使以为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；49 (3)或或或 【分析】（1）过点B作轴于T，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理求出，再根据点A的坐标求出的长即可得到答案； （2）求出点D和点E的坐标，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，进而求出点C的坐标，再求出点F的坐标，根据列式求解即可； （3）分点D和点A为直角顶点两种情况，利用一线三垂直模型构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作轴于T， ∵，轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点D是的中点， ∴， ∵，且点E在y轴正半轴上， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解；如图所示，当点D为直角顶点，且点P在点D上方时， 过点D作轴于M，过点P作交延长线于N， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴； ∵是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点D为直角顶点，且点P在点D下方时， 过点D作轴，过点P作于N，过点A作于M， 同理可证明， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； 如图所示，当点A为直角顶点时，同理可得 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【练习3】综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；②存在，点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． （1）分别令，，求出两点坐标即可。； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合）， 设点的横坐标为，过点作轴， ∴点坐标为， ∴的面积： ∴的面积与之间的函数关系式为； （3）解：①． 理由如下：当的面积时， ，解得：， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在， 过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴， ∴点 情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题07 一次函数与几何图形的综合（5大基本题型） 题型1：一次函数的图像经过某定点问题 题型2：一次函数中的将军饮马问题 题型3：面积分割问题 题型4：取值范围问题 题型5：存在性问题 【题型1】一次函数的图像经过某定点问题 核心解题思路：一次函数图像经过定点的问题，本质是消去参数的影响，即无论参数（如k）取何值，函数图像都经过某一固定点。解决此类问题的关键是将函数解析式整理为关于参数的线性组合形式，令参数的系数为零，解出对应的x和y值，即为定点坐标。 基本解题步骤： 1. 整理函数解析式：将一次函数解析式整理为“参数×(关于x的表达式)＋常数项”的形式（或类似结构）。 2. 消去参数影响：令参数的系数为零（此时参数的取值不影响等式成立），解出x的值。 3. 求定点坐标：将x的值代入原解析式，求出对应的y值，即为定点坐标。 注意事项： 1. 若函数解析式为（k为参数），需确保b中含有与k相关的项，否则定点为（当k变化时，直线绕旋转）。 2. 可通过特殊值法验证定点：取参数的两个不同值，求出对应的直线解析式，联立求解交点，即为定点。 【典例1】关于的一次函数不论取何值，函数图象恒过定点，则点的坐标为______． 【练习1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为_____； （2）在点的移动过程中，的取值范围为_____． 【练习2】在平面直角坐标系中，线段的端点是，，直线． （1）直线恒过一定点，该点的坐标为________． （2）若直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 【练习3】关于一次函数，给出下列说法正确的是（） ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则； ④该函数恒过定点． A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 【题型2】一次函数中的将军饮马问题 核心解题思路：将军饮马问题是最短路径问题的经典模型，本质是利用轴对称变换将“直线同侧两点到直线上某点的距离之和”转化为“直线异侧两点的距离”（两点之间线段最短）。 基本解题步骤： 1. 确定对称点：选择直线同侧的两个定点中的一个（如A），作其关于直线的对称点（如A′）。 2. 作对称点的方法：过点A作直线的垂线，垂足为O，延长AO至A′，使OA′＝OA。 3. 连接对称点与另一定点：连接A′与另一定点（如B），与直线交于点P，则P即为使AP＋BP最短的点。 4. 证明最短性：根据轴对称性质，AP＝A′P，故AP＋BP＝A′P＋BP＝A′B（两点之间线段最短）。 注意事项： 1. 若直线为坐标轴（如x轴、y轴），对称点的坐标可直接写出（如点关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为）。 2. 若直线为一般式（如），对称点的坐标可通过公式计算：设点关于直线的对称点为(x′,y′)，则： 【典例1】如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点的坐标为，点为线段的中点，点为线段上一动点，连接，则周长的最小值为（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 【练习1】如图，C，D是直线上的两动点，且，已知，，则四边形的周长最小值时，该四边形的面积为________． 【练习2】如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点D的坐标为___________ (3)如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 【题型3】面积分割问题 核心解题思路：一次函数与几何图形的面积问题，本质是将不规则图形转化为规则图形（如三角形、矩形），利用坐标计算边长或高，进而求面积。常用的方法有直接法（规则图形）、割补法（不规则图形）、平行线转移法（等底等高）。 基本解题步骤： 1. 确定图形形状：根据一次函数与坐标轴的交点或其他点的坐标，确定图形的形状（如三角形、矩形、梯形）。 2. 选择面积计算方法： (1) 直接法：若图形为规则图形（如三角形），直接计算底和高。例如，三角形的底在x轴上，长度为，高为点C的纵坐标绝对值，面积为。 (2) 割补法：将不规则图形分割为多个规则图形（如三角形＋矩形），分别计算面积后求和；或补成规则图形（如矩形－三角形），用总面积减去补的部分。 (3) 平行线转移法：通过作平行线，将不规则图形的底或高转移到坐标轴上，利用坐标计算。例如，作三角形的高平行于y轴，将高转移到x轴上，计算长度。 3. 计算面积：代入坐标值，计算面积。 注意事项： 1. 若图形为三角形，且三个顶点坐标已知，可使用坐标法计算面积：设三点坐标为、、，面积为：； 2. 若图形为梯形，面积为×（上底＋下底）×高，其中上底和下底为平行于坐标轴的线段长度，高为两平行线之间的距离。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，两点，是直线上的一点，过点的另一条直线与轴相交于点． (1)求m，b的值； (2)求△的面积． 【练习1】如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)求出的面积； (2)在直线BC上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【练习2】如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【练习3】如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)点的坐标是，求证：是直角三角形． (3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由． (4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标． 【题型4】取值范围问题 核心解题思路：一次函数的取值范围问题，本质是函数定义域与值域的限制，需结合实际问题（如线段长度、点的位置）或几何约束（如直线与坐标轴的交点、图像在某一象限的条件）确定参数的范围。 基本解题步骤： 1. 分析约束条件：明确问题中的约束条件（如点的坐标为正、直线与某轴交于正半轴、图像在某一象限）。 2. 转化为等式：将约束条件转化为关于参数的等式。 3. 解等式：解出临界值，根据题目写出参数的范围。 注意事项： 1. 若问题涉及线段长度，需确保长度为正； 2. 若问题涉及点的位置（如在某象限），需确保点的坐标符号符合要求。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为 (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标； (3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______． 【练习1】探究活动；函数的图象与性质． (1)函数的自变量x取值范围是______； (2)在如图网格中，建立平面直角坐标系，参考画正比例函数图形的经验，画出的图象； (3)根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为______； ②当x______时，y随x的增大而增大； (4)已知为图象上一点，A点是图象与x轴的交点，B，那么求的面积． 【练习2】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【练习3】【观察发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①的度数为； ②C，D是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是． （2）如图3，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图4，是某试验田的一块区域示意图，，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点M在线段上，点N在线段的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为，按设计要求，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 【题型5】存在性问题 核心解题思路：存在性问题是指在运动过程中是否存在某一状态满足特定条件（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形），本质是将几何条件转化为代数方程，通过解方程判断是否存在解。 基本解题步骤： 1. 明确探究目标与几何条件 2. 转化几何条件为代数表达式：用两点间距离公式表示边长 3. 设点坐标：动点P在直线上，故设其坐标为（x为变量）。 4. 建立方程并求解 5. 验证解的合理性 (1) 范围验证：点P需在直线的有效范围内。 (2) 重合验证：点P不能与已知点A、B重合。 (3) 几何意义验证：解需满足原几何条件。 6. 得出结论​ (1) 若方程有符合条件的解，则存在这样的点P，写出其坐标； (2) 若方程无解或解不符合条件，则不存在这样的点P。 【典例1】如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线．且点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)如图①，在射线上有一动点，连接，试求的面积与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； (3)如图②，过点画平行于轴的直线，将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离时（平移距离大于0），直线与轴交于点，与轴交于点、在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【练习1】建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第一象限，，点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)若为线段的中点，为轴上一点，直线交于，交轴于点，其中，连接，求直线的解析式及四边形的面积； (3)若点是直角坐标平面上的一个动点，是否存在点，使以为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【练习3】综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $