专题06 一次函数的几何变换（3大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理一次函数几何变换的知识体系，先整合两点距离、中点坐标、直线位置关系等基础公式，再按平移、旋转、翻折三大变换题型分层呈现，每个题型明确核心规律与关键结论，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“规律-典例-分层练习”的递进设计，如平移变换强调“上加下减、左加右减”规律，旋转变换总结绕原点90度点坐标变换法则，培养几何直观与推理意识。典例结合基础选择与综合解答题，基础学生可掌握变换公式，优秀生能深化逻辑推理，助力教师实施精准分层教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题06 一次函数的几何变换（3大基本题型） 题型1：一次函数的平移变换 题型2：一次函数的旋转变换 题型3：一次函数的翻折（轴对称）变换 一、一次函数的基础与扩展公式 1. 两点间距离公式：已知点A和点B，则 2. 两点间中点公式：已知点A和点B，则A、B中点C的坐标为 3. 两直线位置关系： (1) 若两直线（，）平行，则 (2) 若两直线（，）垂直，则 4. 点到直线距离公式： (1) 对于一次函数的一般式而言，点A到直线的距离d＝； (2) 对于一次函数的斜截式而言，点A到直线的距离d＝。 【题型1】一次函数的平移变换 平移是一次函数几何变换中最基础、最常见的类型，核心规律是“上加下减（针对常数项b）、左加右减（针对自变量x）”，且平移不改变直线的斜率k（即直线的倾斜程度不变）。 1. 平移规律的具体应用 (1) 上下平移：将直线向上平移m（m＞0）个单位，得到新直线；向下平移m个单位，得到。 (2) 左右平移：将直线向左平移m（m＞0）个单位，得到新直线；向右平移m个单位，得到。 2. 平移的关键结论 (1) 平移后直线的斜率k与原直线相同，仅常数项b发生变化； (2) 平移的方向和距离决定了b的调整量（上下平移直接加减m，左右平移需将x替换为x±m）。 【典例1】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移2个单位长度，所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据函数图象平移的规律“左加右减”，进行求解即可． 【详解】解：∵将函数向左平移2个单位， ∴新函数为． 故选A． 【练习1】将直线先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后经过点，则_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键；通过逆平移找到平移前的点，再代入原直线方程求解即可． 【详解】解：∵平移后经过点， ∴由于先向左平移3个单位再向上平移2个单位，因此逆平移为向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到点，即． 将点代入原直线，得， 解得． 故答案为． 【练习2】如图，把直线往下平移后得到直线，点B的坐标为，则直线的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，根据一次函数平移的性质，设直线的函数表达式为，代入到函数表达式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵把直线往下平移后得到直线， ∴设直线的函数表达式为， 代入点得，， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 【练习3】在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，将直线向右平移个单位长度得到的直线（、为常数，且）恰好经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，以及一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题关键．先将与两点代入直线中求出解析式，再根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出直线的解析式，将已知点坐标代入平移后的直线方程，解出的值即可． 【详解】解：∵点与在直线上， 设直线的解析式为： ， ∴ ， 解得：， ∴直线的解析式为： ∵向右平移个单位，新直线表达式为， 又∵新直线过点， 代入得， 解得， 故选：C. 【题型2】一次函数的旋转变换 旋转变换是几何变换中较复杂的部分，核心是绕定点旋转后的坐标变换，重点掌握绕原点顺时针/逆时针旋转90°的规律。 1. 绕原点顺时针旋转90° (1) 点的变换规律：点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后得到(y,－x)； (2) 直线的变换规律：取原直线上两个点（如与坐标轴的交点），旋转后得到新点，再求新直线的表达式。 2. 绕原点逆时针旋转90° (1) 点的变换规律：点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后得到(－y,x)； (2) 直线的变换规律：类似顺时针旋转，取原直线上两点旋转后求新直线。 3. 绕定点旋转（拓展）：若旋转中心不是原点，需先将坐标系平移至旋转中心，旋转后再平移回原坐标系，步骤较复杂，仅作为扩展了解即可。 【典例1】如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点B按顺时针方向旋转，得到，将向下平移2个单位，得，那么点C的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，分别利用旋转变换，平移变换的性质画出图形可得结论． 【详解】解：如图， 由题意，， 点C绕点B顺时针旋转得到，再向下平移2个单位得到， 故选：C． 【练习1】已知点P的坐标为，下列说法错误的是（    ） A．将点P绕点O旋转所得点的坐标为 B．点P和点关于x轴对称 C．将点P向右平移1个单位所得点的坐标为 D．点P到原点的距离为 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形—旋转变化、轴对称，坐标的平移，勾股定理计算两点之间的距离，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、将点P绕点O旋转所得点的坐标为，故原说法错误，符合题意； B、点P和点关于x轴对称，故原说法正确，不符合题意； C、将点P向右平移1个单位所得点的坐标为，故原说法正确，不符合题意； D、点P到原点的距离为，故原说法正确，不符合题意； 故选：A． 【练习2】在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“旋转点”．已知点的坐标为，点是点的旋转点，点是点的旋转点，…，以此类推．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律，根据题意得到规律是解决问题的关键． 通过计算前几个点的坐标，发现点列得规律是：每4个点循环一次，再由即可求解． 【详解】解：， 则，，，，……， 的坐标规律是：每4个点循环一次， ， 点的坐标与相同，为， 故答案为：． 【练习3】如图．在平面直角坐标系中，第一象限的点（其中），连接，将绕点逆时针方向旋转到． (1)若已知点，则点的坐标为______； (2)如图，延长交轴于点，过点作交轴于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，取线段的中点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析； (3)． 【分析】（1）利用旋转的性质，通过构建全等直角三角形来确定点的坐标．已知绕点逆时针旋转到，可过、作坐标轴的垂线，证明这两个直角三角形全等，根据全等三角形对应边相等得到点坐标． （2）由可证，可得； （3）由可证，可得，再证明即可得解． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于． ， ，， 绕点逆时针旋转到， ，， ，， ． 在和中， ， ． ，， 又在第二象限， ， 故答案为：； （2）解：由旋转知，， ． ， ∴， ∵ ∴，即， ， ． （3）解：如图，在轴上截取，连接，连接，延长到，使得， 由（）可知：，， ， ， 又， ， ， 点是的中点， ∵，， ∴， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型3】一次函数的翻折（轴对称）变换 轴对称变换涉及关于x轴、y轴、原点对称三种情况，核心是通过点的对称变换推导直线的新表达式（直线上任意点的对称点在新直线上）。 1. 关于x轴对称 (1) 点的变换规律：点(x,y)关于x轴对称的点为(x,－y)； (2) 直线的变换规律：将原直线y＝kx＋b中的y替换为－y，得到新直线－y＝kx＋b，即y＝－kx－b。 2. 关于y轴对称 (1) 点的变换规律：点(x,y)关于y轴对称的点为(－x,y)； (2) 直线的变换规律：将原直线y＝kx＋b中的x替换为－x，得到新直线y＝－kx＋b。 3. 关于原点对称 (1) 点的变换规律：点(x,y)关于原点对称的点为(－x,－y)； (2) 直线的变换规律：将原直线y＝kx＋b中的x替换为－x、y替换为－y，得到新直线－y＝－kx＋b，即y＝kx－b。 4. 折叠问题（轴对称的特殊应用）：折叠问题本质是轴对称变换，需利用“折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分”的性质，结合勾股定理或坐标方程求解。 【典例1】将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 【练习1】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 在中，，求出，即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 故选：B． 【练习2】如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．以下结论：①；②；③直线的解析式为；④点D的坐标为．正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断③；由面积公式可求的长，代入解析式可求点D坐标，可判断可判断④，即可求解． 【详解】解：∵直线分别与x、y轴交于点A、B， ∴点，点， ∴，， ∴， 故①正确； ∵线段沿翻折，点O落在边上的点D处， ∴，，，， 故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线解析式为：， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 故③正确； 如图，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【练习3】小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整、并解决问题． (1)函数的自变量x的取值范围是_______，y的取值范围是_______； (2)由，设计如下画图方案： 将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，y的取值范围是_______； ②当时，x的取值范围是_______． ③若对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)全体实数； (2)见解析 (3)①；②或；③ 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据函数，即可解答： （2）根据题意作图即可； （3）①根据函数图象，即可解答；②根据函数图象，即可解答；③画出一次函数，的图象，根据题意列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的自变量x的取值范围是全体实数，y的取值范围是； 故答案为：全体实数；； （2）解：画出函数图象，如图， （3）解：①观察图象得：当时，y的取值范围是； 故答案为：； ②观察图象得：当时，x的取值范围是或； 故答案为：或； ③如图， 根据题意得：直线一定过点， ∵对于x的每一个值，函数的值都小于函数的值， 当直线与平行时，，即当时，满足条件； ∴当时，，此时； 综上所述，k的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题06一次函数的几何变换(3大基本题型) 专题概览 题型1：一次函数的平移变换 题型2：一次函数的旋转变换 题型3：一次函数的翻折（轴对称）变换 题型归纳 一、一次函数的基础与扩展公式 1. 两点间距离公式：已知点A(,y)和点B(y2),则AB=V:-+-2月 2. 两点间中点公式：已知点A(x,y)和点B(:),则A、B中点C的坐标为+，上+业 2 2 3.两直线位置关系： (1)若两直线(y=kx+b(k≠0)，y=k2x+b(k≠0))平行，则k=k (2)若两直线（y=kx+b(k≠0)，y=k,x+b,(k≠0))垂直，则k·k2=-1 4.点到直线距离公式： (1)对于一次函数的一般式Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)而言，点A(x,y)到直线的距离d= x+By+C; 42+B2 kx;-y +b (2)对于一次函数的斜截式y=kx+b(k≠0)而言，点A(x,y)到直线的距离d= ，1。 1+ 【题型1】一次函数的平移变换 平移是一次函数几何变换中最基础、最常见的类型，核心规律是“上加下减（针对常数项b)、左 加右减（针对自变量x)”,且平移不改变直线的斜率k(即直线的倾斜程度不变）。 1.平移规律的具体应用 (1)上下平移：将直线y=kx+b(k≠0)向上平移m(m>0)个单位，得到新直线y=x+b+m;向下平 移m个单位，得到y=+b-m。 (2)左右平移：将直线y=kx+b(k≠0)向左平移m(m>0)个单位，得到新直线y=k(x+m)+b;向右 平移m个单位，得到y=k(x-m)+b。 2.平移的关键结论 (1)平移后直线的斜率k与原直线相同，仅常数项b发生变化； (2)平移的方向和距离决定了b的调整量（上下平移直接加减m,左右平移需将x替换为x士m)。 【典例1】在平面直角坐标系中，将正比例函数)=x的图象向左平移2个单位长度，所得图象的压 数解析式是() 、=x13·少=一2女人 C.y=- x+2D.y=-x-2 2 【练习1】将直线y=x-2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后经过点(2，-4)，则k= 【练习2】如图，把直线)=片x往下平移后得到直线B,点B的坐标为0,4到，则直线AB的函数表 达式为 VA B 【练习3】在平面直角坐标系中，已知点(1,6)与(-3，-2)在直线1上，将直线1向右平移m个单位长度得 到的直线y=x+b(k、b为常数，且k≠0)恰好经过点(-1，-4)，则m的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 【题型2】一次函数的旋转变换 旋转变换是几何变换中较复杂的部分，核心是绕定点旋转后的坐标变换，重点掌握绕原点顺时针逆 时针旋转90°的规律。 1.绕原点顺时针旋转90 (1)点的变换规律：点(xy)绕原点顺时针旋转90°后得到6y,一x): (②)直线的变换规律：取原直线上两个点（如与坐标轴的交点)，旋转后得到新点，再求新直线的表 达式。 2.绕原点逆时针旋转90° (I)点的变换规律：点(xy)绕原点逆时针旋转90°后得到（一y,x); (2)直线的变换规律：类似顺时针旋转，取原直线上两点旋转后求新直线。 3.绕定点旋转（拓展）：若旋转中心不是原点，需先将坐标系平移至旋转中心，旋转后再平移回原 坐标系，步骤较复杂，仅作为扩展了解即可。 【典例1】如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4,6)、B(5,2)、C(2,1,如果将ABC绕点B按顺时针方 向旋转90°，得到△A'BC',将△A'BC'向下平移2个单位，得△A"B'C",那么点C的对应点C"的坐标是 () 7 6 5 4 3 2 -1 C -6-5-4-3-2-10 123456 A.3,2) B.(3,3 C.(4,3 D.(4,2 【练习1】已知点P的坐标为2，-1)，下列说法错误的是() A.将点P绕点O旋转180°所得点的坐标为-1,2) B.点P和点M(2,1关于x轴对称 C.将点P向右平移1个单位所得点的坐标为(3，-1) D.点P到原点的距离为√5 【练习2】在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),我们把点P(y,-x)叫做点P的“旋转点”.已知点A的 坐标为2,1)，点4是点A的旋转点，点A是点A的旋转点，…，以此类推.则点A24的坐标为 【练习3】如图1.在平面直角坐标系中，第一象限的点Aa,b)(其中a<b),连接OA,将OA绕点O 逆时针方向旋转90°到OB. / 图1 图2 图3 (1)若已知点A(1,5),则点B的坐标为 (2)如图2，延长AB交x轴于点C,过点B作BD⊥AC交y轴于点D,求证：OC=OD; (3)如图3，在(2)的条件下，取线段AD的中点M,连接OM，若BC=4,求OM的长. 【题型3】一次函数的翻折（轴对称)变换 轴对称变换涉及关于x轴、y轴、原点对称三种情况，核心是通过点的对称变换推导直线的新表达 式（直线上任意点的对称点在新直线上）。 1.关于x轴对称 (1)点的变换规律：点(x,y)关于x轴对称的点为(c,一y): (2)直线的变换规律：将原直线y=a十b中的y替换为一y,得到新直线一y=a十b,即y=一一b。 2. 关于y轴对称 (1)点的变换规律：点(x,y)关于y轴对称的点为（一xy): (2)直线的变换规律：将原直线y=十b中的x替换为一x,得到新直线y=一a十b。 3.关于原点对称 (I)点的变换规律：点(y)关于原点对称的点为（一x,一y): (2)直线的变换规律：将原直线y=十b中的x替换为一x、y替换为一y,得到新直线-y=一a十b, 即y=kax-b。 4. 折叠问题（轴对称的特殊应用）：折叠问题本质是轴对称变换，需利用“折叠前后对应点的连线 被折痕垂直平分”的性质，结合勾股定理或坐标方程求解。 【典例1】将一次函数y=x+3的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 】如图，一次函数y)+的图象与轴交于点A,与卫继交于点B,动点C在x抽的 轴上，连接BC,将ABC沿BC所在直线折叠，当点A的对应点恰好落在y轴上时，点C的坐标为() / B A.（-6,0 C.(-7,0 2】如图，直线y七+6分别雪x、y继交于点4、B,点C在线段0A上，线段OB沿B0 点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB=10;②∠OBC=∠DBC;③直线BC的解析式为 2412 y=-2x+6;④点D的坐标为 55 正确的结论是() y个 B A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【练习3】小明探究函数y=x+2的图象和性质的过程如下，请将小明的探究过程补充完整、并解决问 题 5 4 1 -5-4-3-2-10 1 2345x 3 =4 5 (1)函数y=x+2的自变量x的取值范围是 ,y的取值范围是 [x+2,x≥-2 (2)由y=x+2= -(x+2,x<-2’设计如下画图方案： 将直线y=x+2在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数y=x+2的图象.在 平面直角坐标系xOy中画出函数y=x+2的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当x>0时，y的取值范围是 ； ②当y≥1时，x的取值范围是 ③若对于x的每一个值，函数y=x+1(k≠0)的值都小于函数y=x+2的值，直接写出k的取值范围.