精品解析：河南省四小博德弘德联盟校区2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

四小博德弘德联盟校区 九年级数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列词语描述的事件，是随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 瓜熟蒂落 D. 偷天换日 2. 对于二次函数的图象下列叙述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标 C. 当时，y随x增大而减小 D. 函数的最小值是2 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 已知点在反比例函数（ 为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是 上的三个点，若，，则 的半径为（　　） A. 1 B. 2 C. 21 D. 3 6. 如图，在中，对角线 ， 相交于点O，点E为 的中点，交 于点F．若 ，则 的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 如图，将绕点 按顺时针旋转一定角度得到，点 的对应点 恰好落在 边上.若，，则 的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，），则下列说法中不正确的是（ ） A. 当水箱未装水（）时，压强p为 B. 当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为 C. 当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是 D. 若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 二、填空题 11. 已知反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是：________． 12. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 13. 如图，在 中， 是 边上的高，且，则 的度数为________． 14. 如图，在中，，，，将绕点 顺时针旋转后得到，点 经过的路径为，将线段 绕点 顺时针旋转后，点 恰好落在上的点处，点 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留） 15. 如图，在 中，，D是平面内一点，，连接 、E为 的中点，连接，则的最小值为________，最大值为________． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 为了使学生树立正确的劳动观点和劳动态度，养成劳动习惯、掌握必要的劳动技能，常州某校开设了劳动教育课程，桐桐和明明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等． （1）桐桐恰好选中“烹饪”的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都选中同一门课程的概率． 18. 如图，矩形 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线 ， 相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形 向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 19. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，随着交通安全意识的增强，居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商家抓住商机，购进两个品牌的头盔进行销售．已知购进 品牌头盔3个和 品牌头盔2个共需180元，购进 品牌头盔2个和 品牌头盔3个共需195元． （1）购进 、 品牌头盔的单价分别是多少？ （2）商家经过调查统计，销售 品牌头盔时，设销售价为 元，则销售量 与 之间满足函数关系．问销售价定为多少元时，该商家销售 品牌头盔可获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 如图，在 中，直径 弦 于点E，于点F，交 于点H，连接 ． （1）求证：； （2）， ，求 的半径． 21. 问题呈现：我们知道，将一次函数的图象向上平移3个单位长度可以得到一次函数的图象，通过《反比例函数》这一章的学习，我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象之间有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 … （1）绘制函数图象：根据表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线画出函数的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①________，②________． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向_______平移______个单位长度得到的． 22. 某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； （3）小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 23. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板 如图1摆放，若，．将三角尺绕点 逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接， 并延长，延长线相交于点交 于点 ． 问题1　　和 的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接 ，点是 的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角 从变化到时，点 经过路线的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四小博德弘德联盟校区 九年级数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列词语描述的事件，是随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 瓜熟蒂落 D. 偷天换日 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．据此进行判断即可． 【详解】解：A．守株待兔，是随机事件，故选项符合题意； B．水中捞月，是不可能事件，故选项不符合题意； C．瓜熟蒂落，是必然事件，故选项不符合题意； D．偷天换日，是不可能事件，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 对于二次函数的图象下列叙述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标 C. 当时，y随x增大而减小 D. 函数的最小值是2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的顶点式 ，分析开口方向、顶点坐标、增减性和最值． 【详解】解：∵ 是顶点式，其中 ，，， ∴ ，开口向上，故A错误； 顶点坐标为 ，故B错误； 对称轴为 ，开口向上，∴当 时， 随 增大而增大，故C错误； 当 时， 有最小值 ，故D正确． ∴选D． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 4. 已知点在反比例函数（ 为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小， 根据反比例函数的性质，由于，函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内 随的增大而减小，点 在第三象限， 值为负；点 和 在第一象限， 值为正，且由于 ，故，因此 ． 【详解】∵ ， ∴ 函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限内 随的增大而减小， ∵ 点的， ∴ ， ∵ 点和的， ∴ ，， 又 ∵ ，且在第一象限内函数递减， ∴ ， ∴ ，即 ． 故选：A． 5. 如图，是 上的三个点，若，，则 的半径为（　　） A. 1 B. 2 C. 21 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交 于点 ，连接，由圆周角定理可得 ，，从而得到为等腰直角三角形，再由勾股定理进行计算得出 的长，即可得出 的半径． 【详解】解：延长，交 于点 ，连接， ， 则： ，， ， ， ， 的半径为， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角，是解题的关键． 6. 如图，在中，对角线 ，相交于点O，点E为 的中点，交 于点F．若，则 的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵点E为 的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 7. 如图，将绕点 按顺时针旋转一定角度得到，点 的对应点 恰好落在 边上.若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的性质判断出是等边三角形，然后设，得到，，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】根据题意可知AB=AD,且∠ABD=60°， ∴是等边三角形，且， 设， 则，，所以，， 在中，，得，（负值已舍）. 故选C. 【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握旋转的性质，再利用勾股定理进行计算. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与 轴的交点位于 轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 9. 如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】研究图形旋转的规律，每三次旋转为一个周期，相当平移一个三角形的周长12个单位，说明三个循环直角回坐标轴上，三角形⑩和三角形①的状态一样． 【详解】∵对连续作如图所示的旋转变换， ∴每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了个单位， 而， ∴三角形⑩和三角形①的状态一样， 则三角形⑩与三角形⑨的直角顶点相同， ∴三角形⑩的直角顶点的横坐标为，纵坐标为0． 三角形⑩的直角顶点的坐标为：． 故选：B． 【点睛】本题考查图形旋转规律探索题涉及点的坐标，旋转与平移关系，掌握点的坐标的求法，会用旋转与平移关系解释旋转规律是解题关键． 10. 某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，），则下列说法中不正确的是（ ） A. 当水箱未装水（）时，压强p为 B. 当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为 C. 当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是 D. 若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】解：A． 由图得：当时，，故此项说法正确； B． 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，，解得，故此项说法正确； C． 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有， ，由图求得，，解得：，故此项说法正确； D． 当报警器刚好开始报警时：， ， 当时，， ，， ，故此项说法错误． 故选：D． 二、填空题 11. 已知反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，且y随x的增大而增大，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：75． 13. 如图，在 中，是 边上的高，且，则 的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题，熟悉相似三角形的判定证明及用好其性质是解题关键． 根据是 边上的高和即可证明；再由相似三角形的性质证，再结合，即可得． 【详解】由题意可知，． ， ， ． ， ． 14. 如图，在中，，，，将绕点 顺时针旋转后得到，点 经过的路径为，将线段 绕点 顺时针旋转后，点 恰好落在上的点处，点 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：∵旋转， ∴， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在 中，，D是平面内一点，，连接 、E为 的中点，连接，则的最小值为________，最大值为________． 【答案】 ①. 2 ②. 3 【解析】 【分析】如图，取 的中点，连接，求解， 在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，则为最小，为最长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，取 的中点，连接， ∵ 为 的中点，， ∴， ∴ 在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，则为最小，为最长， ∵， ∴， ∴， ∵为 中点， ∴， ∴，， ∴的最小值为2，最大值为3； 故答案为：2，3 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，圆的确定，圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，确定E的轨迹是解本题的关键． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）先将方程整理，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 整理得： 或 ， 17. 为了使学生树立正确的劳动观点和劳动态度，养成劳动习惯、掌握必要的劳动技能，常州某校开设了劳动教育课程，桐桐和明明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等． （1）桐桐恰好选中“烹饪”的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都选中同一门课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4门课程，每门课程被选中的可能性相等， ∴桐桐恰好选中“烹饪”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设分别用A、B、C、D表示“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”这4门课程，列表如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人都选中同一门课程的结果数有4种， ∴两人都选中同一门课程的概率为． 18. 如图，矩形 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线 ，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形 向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】（1） （2） 画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出 ，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当 时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： 【小问3详解】 解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 19. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，随着交通安全意识的增强，居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商家抓住商机，购进两个品牌的头盔进行销售．已知购进 品牌头盔3个和 品牌头盔2个共需180元，购进 品牌头盔2个和 品牌头盔3个共需195元． （1）购进 、 品牌头盔的单价分别是多少？ （2）商家经过调查统计，销售 品牌头盔时，设销售价为元，则销售量 与之间满足函数关系．问销售价定为多少元时，该商家销售 品牌头盔可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） A品牌头盔的单价是30元，B品牌头盔的单价是45元 （2） 销售价定为65元时，可获得最大利润，最大利润是12250元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，二次函数图象的综合，理解数量关系，正确列出二元一次方程组，二次函数解析式是解题的关键． （1）设A品牌头盔的单价是a元，B品牌头盔的单价是b元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，每个A品牌头盔的利润为元，设利润为，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A品牌头盔的单价是a元，B品牌头盔的单价是b元， 由题意得：， 解得，， ∴A品牌头盔的单价是30元，B品牌头盔的单价是45元； 【小问2详解】 解：销售 品牌头盔时，设销售价为元，则销售量 与之间满足函数关系，A品牌头盔的单价是30元， ∴每个A品牌头盔的利润为元， 设利润为， ∴ ， ∵， ∴有最大值，当时，的值最大，最大值为元， ∴销售价定为65元时，可获得最大利润，最大利润是12250元． 20. 如图，在 中，直径 弦于点E，于点F，交 于点H，连接． （1）求证：； （2）， ，求 的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接，如图，利用垂直的定义得到，，则利用等角的余角相等得到，再根据圆周角定理得到，所以，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）设，则，根据等腰三角形的性质得到，，在中利用勾股定理得到，解方程即可得到圆的半径． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（舍）， ∴， 即 的半径为5． 21. 问题呈现：我们知道，将一次函数的图象向上平移3个单位长度可以得到一次函数的图象，通过《反比例函数》这一章的学习，我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象之间有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 … （1）绘制函数图象：根据表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线画出函数的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①________，②________． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向_______平移______个单位长度得到的． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）左，1 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）描点连线即可得到函数图象； （2）类比反比例函数图象性质可得； （3）观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； 【小问1详解】 解：函数如下图所示： 【小问2详解】 解：根据函数图象可知：①在每一分支上，函数值 随自变量的增大而减小； ②图像是关于点成中心对称的图形 【小问3详解】 解：观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； 故答案为：左，1； 22. 某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； （3）小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 【答案】（1） （2） 解：不能，理由： 由题意得，点F的横坐标为， 当时，， 故校车不能完全停到车棚内； （3）米 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达式对应是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点F的横坐标为，当时，，即可求解； （3）设提高h米，则新抛物线的表达式为，由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为，当时，，则符合要求，即可求解． 【小问1详解】 解：把点和点代入得， ， 解得， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意得：新抛物线的表达式为：， 由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为， 当时，， 则， 故米， 23. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板 如图1摆放，若，．将三角尺绕点 逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接， 并延长，延长线相交于点交 于点 ． 问题1　　和 的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点 是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【答案】（1） ；； （2）证明：如图，∵四边形 是正方形， ∴， ∵点 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点 是的中点， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，由四边形 是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）如图，由，，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）如图， 证明在以 为圆心， 为半径的 上，过作于，当时，证明，可得，，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可； 【详解】解： ；；理由如下： 如图，∵四边形 是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ，， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）如图，∵，， ∴在以 为圆心， 为半径的 上， 过作于， 当时， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵，，， ∴， ∴点经过路线的长度为. 【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $