精品解析：山东省聊城市教育联盟共同体2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025——2026学年第一学期第二次学情检测 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第I卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、当时，是一元二次方程，时，不是一元二次方程，不符合题意； D、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 2. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米 【答案】B 【解析】 【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 3. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定选项B、C；根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定选项A、D． 【详解】解：A、由，，不能判定，因为相等的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意； B、因为，，所以，故本选项不符合题意； C、因为，，所以，故本选项不符合题意； D、由，可得，又因为，所以，故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 用配方法解方程，配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 5. 如图，是的直径，是弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，，再由可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角． 6. 我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，正确理解二阶行列式的运算法则是解题的关键． 根据二阶行列式的运算法则列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴或， 解得． 故选：C． 7. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，交于， 六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过点E，B，C，O，且则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．连接，由，根据圆周角定理可得：是的直径，由，，，可得，，根据勾股定理可求，然后由圆周角定理可得，然后求出的值，即可得的值． 【详解】解：如图，连接， ， 是的直径， ，， ，， 由勾股定理得：， ， ． 故选：A 9. “一题多解”是培养数学思维的重要方式，有三位同学对下面的问题给出了三种不同解法．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．这三位同学都用了方程来解决．设小路的宽度为，得出方程：①；②；③．其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形面积的实际应用（小路面积问题），涉及的知识点是矩形面积公式、平移法简化图形．解题中用到的思想是转化思想（平移小路将不规则区域转化为规则矩形）、拆分思想（拆分小路面积并扣除重叠部分）．解题关键是准确处理小路的重叠部分，避免面积重复计算．易错点是计算小路面积时忽略重叠部分，或平移后错误确定种植区域的长和宽． 【详解】设小路的宽度为m，分别分析三个方程： 方程①： 将“种植花草的区域”通过平移小路，转化为一个新的矩形（长为，宽为），其面积等于矩形空地总面积减去小路面积．因此方程①等价于“种植面积=总面积-小路面积”，正确． 方程②： 直接计算小路面积，将小路分为“两条与宽平行的小路”和“一条与长平行的小路”方程②等价于“小路面积=218”，正确． 方程③： 一条与长平行的小路面积：，但此处未扣除两条小路的重叠部分（），正确的扣除应为，但方程③只扣除了，因此错误． 故选C． 10. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键． 设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解． 【详解】解：设点的横坐标为， 则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为， 放大到原来的倍得到， ， 解得： 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6个空，每空3分，共18分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元一次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 12. 如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则_______°． 【答案】56 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟悉圆周角定理的应用是解题的关键．连接，由为直径，得到，，然后根据三角形内角和定理得到，最后利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接，如图 是的直径 ，则 故答案为：56． 13. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 14. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则截面的半径长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，解题的关键是掌握圆中辅助线得作法；过O作，延长交于N，连接，由垂径定理可得，证明四边形是矩形，设，则，，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】过O作于M，延长交于N，连接， ，， ，， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：5． 15. 某等腰三角形的一边长为3，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的情况．三角形的三边关系．分边长为3是腰或底边两种情况讨论，利用根与系数的关系和判别式求解，并验证三角形三边关系．即可作答． 【详解】解：当边长为3是腰时，则方程有一根为3， 代入方程得， 解得， ∴， 解得 ∴此时另一根为9， ∴三边为3,3,9，但，不能构成三角形； 当边长为3是底边时，则方程有两相等实根， 判别式， 解得， 方程化为， 解得， 则三边为3,6,6，满足三角形三边关系， ∴周长为． 故答案为15． 16. 如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质，找准最大值与最小值的点是解此题的关键． 作于，由勾股定理可求出，由等面积法得出，再结合当点与点重合时，最大，当与上的高，即点重合时，最小，分别利用勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ∵在中，，， ∴， 则， ， ∵， ∴当最大时，就最大， ∴如图，当点与点重合时，最大， 由勾股定理可得：， 如图，当与上的高，即点重合时，最小， 由勾股定理可得： ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 计算： （1）． （2）； （3） 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角函数值，零次幂，绝对值，二次根式，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． （1）先将三角函数值，零次幂，绝对值，二次根式化简，再进行计算，即可求解； （2）先将方程化简为，再用直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （3）用十字相乘法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 【小问3详解】 解：， ， 解得，． 18. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 19. 已知关于的一元二次方程为． （1）求证：无论为何值，此方程一定有实数根； （2）若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：， 不论为何值，方程一定有实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于的二元一次方程，最后求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，是该方程的两个不同的根， ，， ， 化简得：， 解得：，． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 21. 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【答案】（1），两点间的距离为米；（2）② 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了②； 22. 如图，是的直径，C是上一点，于点 D，延长至点 F，使得． （1）求证：与相切； （2）当，时，请直接写出阴影部分的面积_______．（结果保留） 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，证明出是等边三角形，求出，然后根据阴影部分的面积代数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定，不规则图形的面积，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 是直角三角形，点E是斜边上的动点，连接，过点C作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点F，连接． （1）如图1，若三角形为等腰直角三角形，求证：； （2）如图2，若， ①求的值； ②点M是的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查三角形全等与相似的判定及性质、直角三角形的性质，解题关键是通过分析角的关系证明三角形全等或相似，利用相关性质建立边的联系，结合直角三角形性质求解． （1）利用等腰直角三角形的性质，得到，，由推出．再根据同角的余角相等，即，得出．最后证明，从而得出结论． （2）①根据直角三角形两锐角互余，由，推出；再结合，得到．由此证明，根据相似三角形对应边成比例，结合中，得出答案．②先由直角三角形斜边中线性质得出，根据是直角三角形确定；利用第一小问相似结论得到，结合已知求出；再由勾股定理求出，进而得到；最后在中设，根据勾股定理列方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， 在中 ， ； ②点M是的中点，， ，， 又为直角三角形 只能 由①可知 ， ， ， ， 设，则， 在中 ， ， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第一学期第二次学情检测 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第I卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米 3. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，是弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 或 7. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过点E，B，C，O，且则的值为（ ） A. B. C. D. 9. “一题多解”是培养数学思维的重要方式，有三位同学对下面的问题给出了三种不同解法．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．这三位同学都用了方程来解决．设小路的宽度为，得出方程：①；②；③．其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 10. 如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ 　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6个空，每空3分，共18分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__． 12. 如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则_______°． 13. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是_______． 14. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则截面的半径长是________． 15. 某等腰三角形的一边长为3，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为___________． 16. 如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为____________． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 计算： （1）． （2）； （3） 18. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 已知关于的一元二次方程为． （1）求证：无论为何值，此方程一定有实数根； （2）若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 22. 如图，是的直径，C是上一点，于点 D，延长至点 F，使得． （1）求证：与相切； （2）当，时，请直接写出阴影部分的面积_______．（结果保留） 23. 是直角三角形，点E是斜边上的动点，连接，过点C作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点F，连接． （1）如图1，若三角形为等腰直角三角形，求证：； （2）如图2，若， ①求的值； ②点M是的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $