2.1.1 等式的性质与方程的解集 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

这是一份高中数学开学课件，聚焦《人教B版2019必修第一册》第二章“等式与不等式”第一节，以“等式性质与方程解集”为核心，构建“导入-知识点-例题-检测-拓展”的学习支架，系统覆盖等式性质、恒等式、方程求解等内容。 资料特色鲜明，融合数学核心素养，通过“观察等式实例-抽象结论”引导学生用数学眼光发现数量关系，“尝试与发现”活动强化符号语言表达，结合十字相乘法分解、分式方程检验等实例培养逻辑推理，为教师提供分层教学资源，助力学生夯实基础、提升解题严谨性。 高一学生处于初高中衔接关键期，需适应抽象思维与符号表达要求，本资料通过初中知识回顾与高中方法拓展结合，帮助学生平稳过渡，培养分类讨论等数学思维，为后续不等式学习及数学能力发展奠定基础。

第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 《人教B版2019高中数学必修第一册》 知识点 一.等式的性质 二.重要恒等式 三.方程的解集 等式的两边同时加上、减去同一个数或代数式，等式仍成立； 等式的两边同时乘以、除以（不为零）同一个数或代数式，等 式仍成立． 1 2 a2－b2＝(a＋b)(a－b)； (a±b)2＝a2±2ab＋b2； a3±b3＝(a±b)(a2 ∓ab＋b2)； (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 1 2 3 4 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． （初中知识） （等价变形） （运用等式性质求解、写出方程解集） 2 导入 观察： 1.3 3 2.3 4 3.M N 4.M N ≠ = ≠ = 结论： 等号两边的两个运算数一定表示同一个量. 等号两边的两个运算数若为数，则是同一个数. 等号两边的两个运算数若为代数式，则只是代数式表示形式不同 导出： 通过结论，我们可以得出今天的知识点一和知识点二 3 知识点一 一.等式的性质 等式的两边同时加上、减去同一个数或代数式，等式仍成立； 等式的两边同时乘以、除以（不为零）同一个数或代数式，等 式仍成立． 1 2 （初中知识） 尝试与发现 用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果a=b，则对于任意c，都有 (2)如果a=b，则对于任意不为零的c，都有 若a=b，则∀c，a±c=b±c 若a=b，则∀c，a c=b c ×/ ×/ 4 如果从量词的角度对以上六个等式进行分类的话，可以知道等式 对任意实数都成立,而等式 是存在实数使其成立. 二.重要恒等式 a2－b2＝(a＋b)(a－b)； (a±b)2＝a2±2ab＋b2； a3±b3＝(a±b)(a2 ∓ab＋b2)； (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 1 2 3 4 （等价变形） 尝试与发现 补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准： （1）a2－b2＝ （平方差公式） （2）(a±b)2＝ （两数和的平方公式） （3）3x-6=0 （4）(a+b)c=ac+bc （5）m(m-1)=0 （6）t3+1=(t+1)(t2-t+1) (a＋b)(a－b) a2±2ab＋b2 (1)(2)(4)(6) (3)(5) (3)只有x=2时成立 知识点二 5 知识点二 结论： 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 恒等式是进行代数变形的依据之一.例如，因为(x+y)2=x2+2xy+y2对于任意x，y都成立，所有可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍会成立，若用-z替换其中的y，则 (x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2 =x2-2xz+z2 由此就得到了以前学过的两数差的平方公式。 6 知识点应用 例1：化简 . 解 （方法一） 利用两数和（差）的平方公式展开，然后合并同类项，即 (2x+1)2-(x-1)2 =4x2+4x+1-(x2-2x+1) =3x2+6x （方法二） 可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即 (2x+1)2-(x-1)2 =[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)] =3x(x+2) =3x2+6x 7 知识点应用 检测： 1.分解因式a2＋8ab－33b2得(　　) A．(a＋11)(a－3)　　B．(a＋11b)(a－3b) C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) B 提问：你是怎么得到的正确答案？ 蒙的？ 将答案进行展开合并同类项？（二次项、常数项、一次项只要有一项对不上就错） 十字相乘法？ 8 十字相乘法列恒等式 经常会用到的恒等式：对任意的x,a,b, 都有 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 为什么？ 答 将左边展开然后合并同类项即可 同理：给定式子x2+Cx+D, 如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则 x2+Cx+D=(x+a)(x+b) 为解题方便，可用十字相乘法分解因式，如图： 例如：对于式x2+5x+6来说，以为2×3=6且2+3=5，所以 x2+5x+6=（x+2)(x+3) 9 十字相乘法 尝试与发现 证明恒等式 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd 并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法. 例如： 对于3x2+11x+10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如图所示，所以 3x2+11x+10=(x+2)(3x+5) 10 十字相乘法 应用： 把下列各式因式分解： (1)6x2＋11x－7； (2)x＋5－6y(x>0，y>0)； (3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2. 解： (1)由十字相乘法 , 得： 6x2＋11x－7=(2x-1)(3x+7) 解： (2)x＋5－6y=（+6）（） 解： (3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2 =(x+y+2z)(x+y-3z) 11 方程的解集 我们知道，方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 例1 方程 3x+5=−1 的解集为 {−2}. 例2 求方程x2-5x+6=0得解集 解 因为x2-5x+6=(x-2)(x-3),所以原方程可化为 (x-2)(x-3)=0,  从而可知x-2=0或x-3=0,即x=2或x=3,因此所求解集为 { 2,3}. 例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解华为(x-x1)(x-x2)=0的形式，那么就能方便的求出原方程的解集了。 12 方程的解集 例3 求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数. 思考？ 能直接在等式ax=2的两边同时除以a，从而得到x= 吗？为什么？ 解 当时，等式两边同除以，得，解集为; 当时，方程变为，无解，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为. 13 基础题型 解下列方程，并写出其解集 (1)2(x-1)+3=5 (2) 解 (1)2(x-1)+3=5 经过去括号→移项→合并同类项→系数化为 1，得 方程得解集为{2} 解 (2) 方程得解集为{-15} 强调：移项要变号，去分母时两边同乘各分母的最小公倍数，检验（可选， 基础题可省略，复杂题必做） 14 易错题 解方程 ，并写出其解集 解 利用等式性质 2 去分母，两边同乘(x-1)，转化为整式方程2=x-1， 解得x=3； 核心步骤：检验，将(x=3)代入原分式分母，3-1≠0，故解集为{3} 易错警示：分式方程去分母时，默认分母不为 0，因此必须检验，避免出现增根（如解方程 ，易忽略分母不为 0，误得解集{2}，实际无解，解集为∅） 15 拓展提升 已知关于 x 的方程ax=2的解集为{1}，求 a 的值； 若解集为空集，求 a 的取值。 思路引导：结合等式性质 2，分a≠0和a=0讨论，培养分类讨论意识，为后续含参 方程学习铺垫。 解： （1）已知方程ax=2的解集为{1}，说明x=1是方程的解，将x=1代入方程： a×1 = 2，解得：a=2。 解： （2）对于一元一次方程ax=b，当a=0且b≠0时，方程无解（解集为空集）。 在方程ax=2中，b=2≠0，因此当a=0时，方程变为0×x = 2，无实数解，解 集为空集。综上，a的取值为0。 16 课堂小结 ① 核心知识：等式 2 条性质（牢记除法除不为 0） 方程解集的定义与表示； ② 核心能力：一元一次方程、简单分式方程的求解步骤，分式方程必检验； ③ 易错点：等式性质 2 的除法条件 分式方程增根 解集的集合表示规范 17 当堂检测 1．(多选)下列运用等式性质进行的变形，正确的是(　　) A．如果＝，那么＝ B．如果＝，那么＝ C．如果＝，那么bc＝ad D．如果＝，那么 = 解析：选项A为分比定理；选项B为分比定理；选项C为两内项之积等于两外项之积；选项D，当b＝d＝0时，无意义．故选A、B、C. ABC 18 当堂检测 1．方程2(x－2)＋x2＝(x＋1)(x－1)＋3x的解集为________． {-3} 3x+y2 - 19 3．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a＝________． 解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.解得a＝－eq \f(14,3)或a＝eq \f(26,3). 2．若m(3x－y2)＝9x2－y4，则m＝________． $