专题 6.2 图形的初步知识全章复习（9大考点22类题型）- 2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲练（浙教版 2024）

专题 6.2 图形的初步知识全章复习（9大考点22类题型） 目录 一．基础篇 1 【考点一】基本概念辨析 2 【题型1】判断关于直线、射线、线段的说法正误 2 【题型2】立体几何与平面几何的识别 3 【题型3】 “两点之间的距离” 与 “线段的长度” 的概念辨析 4 【考点二】基本识图 6 【题型4】识别图形中的直线、射线、线段的数量 6 【题型5】角的三种方法表示 7 【题型6】点与直线、直线与直线的位置关系 9 【考点三】基本事实 11 【题型7】基本事实的辨析与应用 11 【考点四】基本作图 13 【题型8】画一条线段等于已知线段 13 【题型9】作线段的中点 14 【考点五】基本运算 17 【题型10】角度制运算 17 【题型11】钟面角与方位角 18 【题型12】线段的基本运算 20 【题型13】角度的基本运算 21 【考点六】基本性质应用 23 【题型14】线段中点性质的运算 23 【题型15】角的平分线基本运算 25 【题型16】余角和补角的基本运算 27 二．培优篇 29 【考点七】直线与线段数量规律探究 29 【题型17】线段数量与直线交点个数规律探究 29 【题型18】角的个数规律探究 31 【考点八】线段与角的综合运算 33 【题型19】线段综合运算 33 【题型20】角的综合运算 36 【考点九】线段的动点与角的旋转探究 38 【题型21】线段动点问题综合探究 38 【题型22】角与旋转问题综合探究 42 一．基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】基本概念辨析 【题型1】判断关于直线、射线、线段的说法正误 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 【答案】D 【分析】本题主要考查几何语言的规范性，准确掌握规范的几何语言是学好几何的保障． 根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误，不符合题意； B、直线是向两方无限延伸的，不能延长，故本选项错误，不符合题意； C、射线向一个方向无限延伸，故延长射线，说法错误，不符合题意； D、延长线段到点，使，说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①延长直线AB至点C；②延长射线AB至点C；③反向延长射线AB至点C；④延长线段AB至点C；⑤反向延长线段AB至点C．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的延长性质．需逐一分析每个说法的正确性，结合几何基本概念进行判断． 解：对于①延长直线至点：直线是向两方无限延伸的，不存在延长直线的说法，不符合题意； 对于②延长射线至点：射线 是从出发，向 的方向无限延伸的，只能反向延长射线，不能直接延长射线 至点，不符合题意； 对于③反向延长射线至点：射线 向 方向无限延伸，反向延长（即从 往 的反方向延长）射线 至点 是可行的，符合题意； 对于④延长线段至点：线段 两个端点，长度有限，可延长线段至点，符合题意； 对于⑤反向延长线段 是指从端点向的反方向延长，是可行的，符合题意； 正确的说法有③、④、⑤，共 3 个． 故选：． 【点拨】本题考查了直线、射线、线段的延长性质.需逐一分析每个说法的正确性，结合几何基本概念进行判断．解题关键是区分直线、射线、线段的本质差异． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 解：以C为端点的射线共有3条，故①错误； 因为射线和射线的端点不同，方向也不同，所以不是同一条射线，故②错误； 直线和直线是同一条直线，故③正确； 射线的端点相同，都为点A，故④正确． 综上所述，其中正确的结论是：③④． 故答案为：③④． 【题型2】立体几何与平面几何的识别 【例题2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）图中属于柱体的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球． 柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 解：柱体分为圆柱和棱柱，所以图中属于柱体的有：第一个，第三个，第四个，第六个，共4个， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的立体图形中，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ． （填序号） 【答案】 ①②③⑦ ⑤⑥ ④ 【分析】本题考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 解：在如图所示的立体图形中，柱体有①②③⑦，锥体有⑤⑥，球体有④， 故答案为：①②③⑦；⑤⑥；④． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示的立体图形中，含有曲面的是（   ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4） 【答案】B 【分析】本题考查立体图形的知识，难度不大，关键是掌握一些常见的立体图形的形状． 根据圆柱、球都含有一个曲面可得出答案． 解：根据题意得：只要有一个面是曲面且是立体图形都符合题意，故含有曲面的是（1）圆柱；（3）球． 故选：B． 【题型3】 “两点之间的距离” 与 “线段的长度” 的概念辨析 【例题3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）下列说法中，正确的是（       ） A．两点之间，直线最短 B．线段就是M，N两点之间的距离 C．在连接两点的所有连线中，最短的连线的长度就是这两点之间的距离 D．从北京到武汉，火车行驶的路程就是武汉到北京的距离 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点之间的距离的定义以及两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟知定义． 根据两点间的距离的定义：连接两点间的线段的长度叫做两点之间的距离以及两点之间线段最短进行逐一判断即可． 解：A．两点之间，线段最短，故此说法不正确； B．线段的长度就是M，N两点之间的距离，故此说法不正确； C．在连接两点的所有连线中，最短的连线的长度就是这两点之间的距离，故此说法正确； D．从北京到武汉，火车行驶的路程大于武汉到北京的距离，故此说法不正确． 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·期末）以下说法正确的是（    ） A．线段上只有两个点 B．射线也可以叫做射线 C．直线的长度是50厘米 D．线段的长度就是A、B两点的距离 【答案】D 【分析】本题主要考查直线，射线和线段，根据直线，射线和线段的概念逐项进行判断即可． 解：A. 线段上有无数个点，故选项A说法错误，不符合题意； B. 射线与射线不是同一条射线，故选项B说法错误，不符合题意； C. 直线无法度量，故选项C说法错误，不符合题意； D. 线段的长度就是A、B两点的距离，说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】已知点A、B、C三点在一条直线上，线段，线段，则线段的长度为 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差运算，正确的画图是解答的基础．根据题意画正确图形：分两种情况①点A在线段上；②点A在线段的延长线上，再进一步解答即可． 解：①如图，点A在线段上， ∵线段，线段， ∴线段； ②如图，点A在线段的延长线上， ∵线段，线段， ∴线段； 故答案为：或． 【考点二】基本识图 【题型4】识别图形中的直线、射线、线段的数量 【例题4】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（    ） A．3个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的度量，解题关键是按照一定的顺序度量，不漏不重． 根据直尺上的刻度得到图中共有条线段，进而求解即可． 解：图中共有条线段， 能直接量出6个长度，分别是：． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，，，，为直线上的四个点，图中共有 条线段，以点为端点的射线有 条，它们分别是 和 ． 【答案】 射线 射线（或射线） 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的概念即可求解，掌握相关概念是解题的关键． 解：图中线段为，，，，，，共条，以点为端点的射线有条，它们分别是射线，射线（或射线）， 故答案为：；；射线；射线（或射线）． 【变式2】（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 【题型5】角的三种方法表示 【例题5】（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： （1）有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） （2）如果你认为有错误，错误的答案为______________． （3）另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【答案】（1）认同；（2）；（3），， 【分析】本题主要考查了角的表达方式，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，角还可以用一个希腊字母或阿拉伯数字表示，熟练掌握角的表达方式是解题关键． （1）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （2）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （3）根据角的表达方式即可求解． 解：（1）解：其中表达有错误，所以我认同他的观点． 故答案为：认同． （2）解：表达有错误， 故答案为：． （3）解：应改为：，； 图中还有没表示出来． 故答案为：，，． 【变式1】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 解：题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 【题型6】点与直线、直线与直线的位置关系 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）请按要求画图： （1）点A在直线l上，点B和点C都在直线l外； （2）在平面上任意画出A，B，C三个点，过点A，B画直线l．说明点C和直线l的位置关系． 【答案】（1）图见分析；（2）图见分析，点C可能在直线l上，也可能在直线l外 【分析】本题考查点与直线的位置关系，画直线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据点与直线的位置关系画图； （2）根据点与直线的位置关系分类画图． 解：（1）解：如图所示； （2）解：如图所示，点C可能在直线l上，也可能在直线l外． 【变式1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的语言描述．利用线段、直线和射线，点与直线的关系等语言描述逐一判断即可解题． 解：A. 如图1，直线、相交于点，描述相符，故该选项不符合题意； B. 如图2，直线与线段有公共点，描述不相符，故该选项符合题意； C. 如图3，延长线段，描述相符，故该选项不符合题意； D. 如图4，直线不经过点，描述相符，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： （1）画射线． （2）画线段和，它们相交于O． （3）画直线，连接和． （4）此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）10，6，1 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的画法和数量，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义画图即可； （2）根据线段的定义画图即可； （3）根据直线的定义画图即可； （4）根据直线，射线，线段的定义求数量即可． 解：（1）解：射线如图， （2）解：线段和如图， （3）解：直线，连接和如图， （4）解：从图中可以知道图中有10条线段，有6条射线，有1条直线， 故答案为：10，6，1． 【考点三】基本事实 【题型7】基本事实的辨析与应用 【例题7】（24-25七年级上·河南商丘·期末）下列三个生活、生产现象：①从A地到B地修建公路，只要尽可能沿着线段AB修建，就能缩短路程；②建筑工人在砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别固定一根木桩，然后拉一条直的细线作参照线；③用两个钉子可以把一根木条固定在墙上．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了线段的应用，两点确定一条直线的应用，理解两点间线段最短及两点确定一条直线是解题的关键． 解：①依据：两点间线段最短； ②③依据：两点确定一条直线； 故答案为：②③． 【变式1】（25-26七年级上·广西崇左·月考）小李准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为（如图），能解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．曲线比直线长 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题关键． 根据两点之间，线段最短，可以解释导航显示两地距离为．但导航提供的三条可选路线长却分别为． 解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为，理由是两点之间，线段最短． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，在三角形中，，其理由是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段比射线短 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间线段最短即可得到结论． 解：在三角形中，，其理由是两点之间线段最短， 故选：B． 【考点四】基本作图 【题型8】画一条线段等于已知线段 【例题8】已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【答案】①③⑤④② 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，⑤在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； ∴正确的顺序是①③⑤④② 故答案为：①③⑤④②． 【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式1】（2025七年级上·湖北·专题练习）如图，已知三点A、B、C，请完成作图： （1）画直线、画射线； （2）连接，并在延长线上取点E，使得；（尺规作图并保留作图痕迹） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查画直线，射线和线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据直线和射线的定义，画图即可； （2）以点B为圆心，的长为半径画弧交于一点，再以该点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E即可． 解：（1）解：如图，直线、射线即为所求； （2）如图，点E即为所求． 【变式2】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据图形观察分析得出. 解：、错误，图中； 、错误，图中； 、错误，图中； 、正确， 故选： 【点拨】本题主要考查了尺规作图的应用，解题的关键是明确作一条线段等于已知的线段的方法. 【题型9】作线段的中点 【例题9】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）根据下列语句画出图形：如图，已知A，B，C三点．    ①画线段，画射线，画直线； ②取线段的中点D，连接． 【答案】①详见分析；②详见分析 【分析】本题考查的是画线段，射线，直线，利用测量法画线段的中点，掌握直线，射线，线段的画图方法是解本题的关键． 解：①如图所示．线段，射线，直线即为所求；    ②D为的中点，线段即为所求； 【变式1】按照下面语句画图，并回答问题： （1）画线段，画直线，画射线； （2）作线段的中点M，在线段上任意取一点N（点N不与端点A，C重合），连接； （3）通过测量发现“三角形的周长大于四边形的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是______． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）两点之间线段最短 【分析】（1）根据线段、直线、射线的定义进行作图即可； （2）根据题目要求作图即可； （3）根据两点之间线段最短，得出三角形的周长大于四边形的周长． 解：（1）解：如图，线段，直线，射线即为所求；    （2）解：点M、N，线段即为所求；    （3）解：通过测量发现“三角形的周长大于四边形的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【点拨】本题主要考查了线段、射线、直线的定义和画法，解题的关键是熟练掌握线段、射线、直线的区别和联系． 【变式2】如图，已知A、B、C、D是平面内的四个点，请根据下列要求在所给的图中作图. ①.画直线AB； ②.画线段BC； ③.画射线AC； ④.画线段AD并取线段AD的中点E. 【答案】见分析 解：试题分析：①画直线AB，直线是向两方无限延伸的； ②连接BC，线段有两个端点； ③画射线AC，射线是向一方无限延伸的． ④连接AD，并取AD的中点E即可. 【考点五】基本运算 【题型10】角度制运算 【例题10】（25-26七年级上·山西临汾·月考）计算：（结果用度、分、秒表示） （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 解：（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）单位换算： （1）； （2）　　　　　°； （3）； （4）________． 【答案】（1）2700；（2）1.3；（3）52，21，36；（4）49.5225 【分析】本题考查角度单位换算，涉及度、分、秒之间的相互转换．换算依据是：，，因此．进行换算时，度化分乘以60，分化秒乘以60，秒化度除以3600；小数度转换为度分秒时，整数部分为度，小数部分化分，再小数部分化秒． （1）根据度与分之间的换算依据计算即可； （2）根据秒与度之间的换算依据计算即可； （3）根据度、分、秒之间的换算依据计算即可； （4）根据度、分、秒之间的换算依据计算即可． 解：（1）解：， 故答案为：2700； （2）解：， 故答案为：1.3； （3）解：， 故答案为：52，21，36； （4）解：，，， ， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1） ′ ″． （2）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的计算，度分秒的单位互化，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行加法运算，然后将小数位乘以换算成“分”，再将“分”的小数乘以化为“秒”； （2）将先化为，再进行减法运算． 解：（1）解：， ， ， ∴． 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：． 【题型11】钟面角与方位角 【例题11】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）计算：（1） ° ′ ″； （2）如图，2点30分时，时针与分针所成的角为 度． 【答案】 12 25 12 105 【分析】本题主要考查钟面角及角度的换算，熟练掌握钟面角及角度的换算是解题的关键； （1）根据角度的换算可进行求解； （2）根据分针一分钟走，时针一分钟走可进行求解． 解：（1）∵，， ∴； 故答案为12、25、12； （2）由题意得：； 故答案为105． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上4 点整时，时针与分针的夹角为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查钟面角，关键是结合实际生活和角的含义进行解答． 钟面被12小时等分，每个小时对应角，4点整时，时针指向4，分针指向12，故夹角为． 解：∵钟面圆周角为，每小时对应角度为， ∴4点整时，时针从12点位置转过． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 方向，B岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，由题意得：，推出，即可求解； 解：由题意得：， 则， ∵， ∴， ∴ ∴. ∵， ∴ 【题型12】线段的基本运算 【例题12】（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，在直线上顺次取三点，点是线段中点，．求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查求线段长度，数形结合，熟记中点定义是解决问题的关键． 先由求出长度，再由点是线段中点得到，最后数形结合表示出线段的长度即可得到答案． 解：∵， ， ， ∵点是线段中点， ， 则． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·月考）点是直线上一点，若线段的长为4，，线段的长 【答案】或4 【分析】本题考查了线段的和差计算，两点间的距离，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．当在线段上时，；当在线段的延长线上时，，结合求解即可． 解：设，则 当在线段上时，， 即， 解得， 则 当在线段的延长线上时，， 即， 解得， 则 故答案为或4． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，已知，则线段的长度为（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点的定义，线段的三等分点，数形结合是解题的关键． 根据点C是的中点求出，再根据点D是线段的三等分点即可得出． 解：点C是线段的中点，， ， 点D线段的三等分点， ， ， 故选：C． 【题型13】角度的基本运算 【例题13】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形， 和在同一条直线上．这时，的度数是多少?为什么? 【答案】． 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，由题意得，，又，则，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·河南新乡·月考）如图，一束光线照射到玻璃表面时，发生了折射和反射现象，已知，，，则反射光线与折射光线形成的的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查了角的和差计算，解题的关键是正确找出各角度之间的关系． 根据求解即可． 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025七年级上·重庆·专题练习）将一副三角尺按下列不同位置摆放，满足的有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角尺的角度计算，关键是找到角的和差的关系． 解：①， ②∵， ∴， ③∵是同一个角的余角， ∴， ④， ∴②③满足； 故选：D． 【考点六】基本性质应用 【题型14】线段中点性质的运算 【例题14】（24-25六年级上·上海·月考）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． （1）求的长． （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了线段的和差，根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． （1）先根据点为线段的中点，得出的长，进而可得出结论； （2）先求出的长，再由得出的长，进而可得出结论． 解：（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，点、、在同一直线上，，，点、分别是、的中点，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和与差计算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先求出线段的总长，再根据线段的中点的定义分别求出、的长，再根据即可求解． 解：点、、在同一直线上，，， ， 又点、分别是、的中点， ，， ． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点C是线段的巧点，则最长为 ； 【答案】 是 8 【分析】本题主要考查线段和差倍分的计算，理解线段的数量关系是关键． （1）根据“巧点”的计算方法判定即可； （2）根据“巧点”的计算，分类讨论即可求解． 解：（1）∵线段的长是线段中点分割的两条线段长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）∵，点C是线段的巧点， ∴当点C在中点的左边，即，则； 当点C在中点，即，则； 当点C在中点的右边，则； 故最长为， 故答案为：8． 【题型15】角的平分线基本运算 【例题15】（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）把一副直角三角尺按如图方式拼在一起，其中，，． （1）求图1中的度数； （2）如图2，延长到点M，作的平分线，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是角的和差运算． （1）利用角的和差关系可得答案． （2）先求解，再利用角平分线进一步求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（2025七年级上·陕西西安·专题练习）如图，一副三角板，其中，，，小明将点与点重合，且使平分，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算；由角平分线的定义得，结合角的和差，即可求解． 解：因为平分， 所以， 因为，， 所以， 所以． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，，平分，若， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及角的和差，依据角平分线的定义，得到，再根据计算求解，即可解题． 解：，平分， ， ， ； 故答案为：． 【题型16】余角和补角的基本运算 【例题16】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）是否平分？试说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）平分；理由见分析 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （）由角平分线的定义，得到的度数； （）根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； （）由角分线的定义证明即可求解． 解：（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）一副三角尺按如图所示的方式摆放，且和互余，且比大，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的概念，互为余角的两角和为． 根据余角的概念得到，进而根据比大计算即可． 解：因为和互余， 所以． 又比大， 所以， 代入得， 解得， 所以． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示，、都是直角， °． 【答案】 【分析】此题考查了余角的性质，角的和差计算等知识，根据同角的余角相等得到，即可求出的度数． 解：反向延长射线得到直线， ∵、都是直角， ∴，． ∴， ∴． 故答案为：． 二．培优篇 【考点七】直线与线段数量规律探究 【题型17】线段数量与直线交点个数规律探究 【例题17】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·河南周口·月考）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，…按这样的规律，若n条直线相交最多有36个交点，则此时n的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查的是相交线及规律性题目，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点……按这样的规律计算可解答问题．解答此题关键是根据直线的条数变化得到的交点个数的变化，得出规律，再利用规律进行计算即可解答问题． 解：2条直线相交有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， ∴5条直线相交最多有个交点， ∴6条直线相交最多有个交点， ∴7条直线相交最多有个交点， ∴8条直线相交最多有个交点， ∴9条直线相交最多有个交点． ∴此时n的值为9． 故答案为：9． 【变式2】①如图1直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段； ②如图2直线l上有3个点，则图中有 条可用图中字母表示的射线，有 条线段； ③如图3直线上有n个点，则图中有 条可用图中字母表示的射线，有 条线段； ④应用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需 场比赛． 【答案】 4 3 15 【分析】②写出射线和线段后再计算个数，注意射线的方向性，如射线和射线是两条； ③根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个只用一次；线段是从所有点中，任取两个，据此用n表示射线和线段的数量即可； ④若某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），等价于直线上有6个点，求线段的数量，再结合③中规律，即可解答． 解：②射线有：共4条， 线段有：共3条． 故答案为：4，3； ③根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个只用一次，故射线的条数是；线段是从所有点中，任取两个，故线段的条数是． 故答案为：，； ④∵某校七年级共有6个班进行足球比赛， ∴全部赛完共需比赛场次为：（场）， ∴全部赛完共需比赛场次为15． 故答案为：15． 【点拨】本题考查了射线和线段的定义及其应用，掌握射线、线段定义以及归纳规律是解题的关键． 【题型18】角的个数规律探究 【例题18】（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 【变式1】如图，在锐角内部，画条射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角照此规律，画条不同射线，可得 个锐角．    【答案】 3 6 10 【分析】从一个锐角顶点引出条不同射线，可得个锐角，依据规律解答即可． 解：在锐角内部，画条射线，可得3个锐角；； 画条不同射线，可得6个锐角；； 画条不同射线，可得10个锐角；； 照此规律，画条不同射线，可得个锐角． 故答案为：3，6，10，． 【点拨】本题考查了射线和角的概念，掌握规律的探求方法是解题的关键． 【变式2】如图，当过O点画不重合的2条射线时，共组成1个角；当过O点画不重合的3条射线时，共组成3个角；当过O点画不重合的4条射线时，共组成6个角；…，根据以上规律，当过O点画不重合的10条射线时，共组成角的个数是 ． 【答案】45 【分析】根据题意分别写出当过O点画不重合的2、3、4、5条射线时，组成的角的个数，总结规律代入即可． 解：当过O点画不重合的2条射线时，共组成1个角； 当过O点画不重合的3条射线时，共组成3个角； 当过O点画不重合的4条射线时，共组成6个角； 当过O点画不重合的5条射线时，共组成10个角； 当过O点画不重合的n条射线时，则组成的角的个数为： ， 故当n=10时，， 即：当过O点画不重合的10条射线时，共组成角的个数是45． 故答案为：45． 【点拨】本题考查了角的概念，图形的变化规律，根据题意推出规律公式是解题的关键． 【考点八】线段与角的综合运算 【题型19】线段综合运算 【例题19】（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）如图，已知线段，点M，C为线段上两点，点M为的中点，，． （1）求的长； （2）若点D为直线上一点，且，求的长． 【答案】（1）；（2）的长为或 【分析】本题主要考查了线段的中点、线段和差计算等知识，正确理解题意，弄清线段之间的关系是解题关键． （1）先根据中点得出，进一步得出，继而由可得答案； （2）分点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况，再进一步即可解答． 解：（1）解：∵，点M为的中点， ∴． ∵， ∴，， ∴． （2）解：当点D在线段上时，如图． ∵，， ∴． 又∵， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图． ∵，， ∴． 又∵， ∴； 综上所述，的长为或． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，点B和点C把线段分成三部分，点M是线段的中点，，下列说法：①；②；③，正确的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了线段的和差与中点性质，解题的关键是根据线段比例关系求出各段长度．先设，，，由得，，则；因为是中点，故；；验证，；从而可得答案． 解：∵点B和点C把线段分成三部分， 设，，， ∵， ∴， ∴， 则， ∵是中点， ∴，故①正确； ，故②正确； ，，故③错误； 故答案为：①②． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，是线段上任意两点，是的中点，是的中点． （1）若，求的长； （2）若，你能用含和的式子表示线段的长度吗？若能，请直接写出答案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查线段的中点及和差关系，熟练掌握线段的中点及和差关系是解题的关键． （1）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 【题型20】角的综合运算 【例题20】（25-26七年级上·山西太原·月考）如图，和都是直角，在的内部． （1）如果，那么____________． （2）找出除和之外相等的角：____________；如果，它们还会相等吗？____________（填“相等”或者“不相等”）． （3）若的度数为，那么的度数为____________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；相等；（3） 【分析】本题考查角的和差运算，解题的关键是利用直角的性质分析角之间的关系． （1）通过直角的度数，结合已知角的度数，计算； （2）根据角的和差关系找出相等的角，并判断其恒等性； （3）用含的代数式表示． 解：（1）解：和都是直角，， ， ， ． 故答案为：； （2）解：， ，即． 若，上述等式仍成立，故它们仍然相等． 故答案为：；相等． （3）解：， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，钟表上显示的时间是1时30分．设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点在内部（为钝角）引一条射线，再作平分平分，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查的是钟面角，角平分线的含义，角的和差运算，先求解，再画图，结合角平分线与角的和差运算可得答案． 解：∵，， ∴， 当射线在内部时， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 【变式2】（25-26七年级上·福建厦门·月考）已知是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图①，若，求的度数； （2）将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，猜想与之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的数量关系是解题的关键： （1）先求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系得到，，即可得出结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； ∵， ∴． 【考点九】线段的动点与角的旋转探究 【题型21】线段动点问题综合探究 【例题21】（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为7，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． （1）当时，求点表示的数及线段的长度； （2）当点运动到线段的中点时，求的值； （3）当为何值时，点到点的距离与点到点的距离之差为4？ 【答案】（1）点表示的数为，；（2）；（3）或 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用与两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）当运动时间为秒时，点在数轴上所表示的数为，由此得出点表示的数，由点表示的数减去点表示的数即可求出线段的长度； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上所表示的数为，线段的中点表示的数是，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）将点到点的距离与点到点的距离用含的代数式表示出来，列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：（1）解：点表示的数为， ． （2）中点表示的数为， ，解得 ． （3）当点在之间时， ，， 若， ，解得． 若， ，解得． 当点在点右侧时， 又， ∴此种情况不存在． 综上所述，或． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”．如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用、新定义问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 分四种情况求t的值，一是，则，求得；二是，则，求得；三是，则，求得，四是，则，求得，可知t的最大值为，最小值为，求出它们的差即得到问题的答案． 解：∵点P是线段的“美点”， ∴或或或AQ=2PQ， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， ∵， ∴t的最大值为，最小值为， ∴（秒）， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的三等分点的计算公式，设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为，再根据数轴上两点的三等分点的计算公式得到点表示的数和点表示的数，再求两个数差的绝对值即可． 解：设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为， ∵点始终为线段靠近点的三等分点， ∴点表示的数为 点始终为靠近点的三等分点， 点表示的数 所以 故答案为8． 【变式3】（25-26七年级上·广东茂名·月考）如图，B是线段上一动点，沿A→D→A以的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动时间为t秒（）． （1）当时，求线段与线段的长度． （2）用含t的代数式表示运动过程中的长． （3）在运动过程中，若中点为E，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，，当时，；（3）不变， 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差计算，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键； （1）根据速度×时间=路程，可得答案；根据线段的和差，可得BD的长．再根据线段中点的性质，可得答案； （2）此题分两情况：①A-D的过程中，根据速度×时间等路程，可得答案；②D返回A的过程中，根据线段的和差，可得的长； （3）根据线段中点的性质，可得的长，的长，根据线段的和差，可得答案． 解：（1）解：∵B是线段上一动点，沿A→D→A以的速度往返运动， ∴当时，． ∵，， ∴，   ∵C是线段的中点， ∴； （2）解：∵B是线段上一动点，沿A→D→A以的速度往返运动， ∴当时，； 当时，； （3）解：不变． ∵中点为E，C是线段的中点， ∴， ． ∴ ． 【题型22】角与旋转问题综合探究 【例题22】（21-22七年级上·河北唐山·期中）如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． （1）求的度数； （2）若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； （3）在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据角平分线的定义及和角关系即可求得结果； （2）根据角平分线的定义及和角与差角关系即可求得结果； （3）分两种情况讨论：顺时针旋转与逆时针旋转，根据角平分线的定义及和角、差角关系即可求得结果． 解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴； （3）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， 当旋转是顺时针时，如图（2）， 则； 当旋转是逆时针时，如图， 则； 综上，的度数为或． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，把一个角表示为几个角的和差形式是解答本题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（    ）． A．5或23 B．5或21 C．7或23 D．7或21 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值． 解：∵， ∴， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ∴； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ∴； ∴t的值为：5或23． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【答案】秒或5秒或20秒 【分析】本题考查角的运算中的新定义，仔细分析动态过程，确定三种情况是解题的关键． 根据旋转的过程，依次设定，，，四种情况进行分析． 解：由题意，可分四种情况： 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 不符合条件“当首次等于时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒或20秒． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且． （1）若射线平分，则 ． （2）射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动，开始时与重合，其中与重合、与重合，若以每秒的速度顺时针运动．试探究是否存在运动到某一时刻使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． （3）将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，平分，为的三等分线，，若．直接写出的值为 ． 【答案】（1）；（2）的度数为或；（3） 【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义计算即可得解； （2）由题意可得，，，再分两种情况：当在外部时；当在内部时；分别列出关于的一元一次方程，解方程即可得解； （3）由题意可得，表示出，，结合建立关于的方程，解方程即可得解． 解：（1）解：∵点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且， ∴， ∵射线平分， ∴； （2）解：∵射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动， ∴， ∵开始时与重合，其中与重合、与重合，以每秒的速度顺时针运动， ∴，， 如图，当在外部时， ， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 此时； 如图，当在内部时， ， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 此时； 综上所述，的度数为或； （3）解：如图： ∵将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为， ∴， ∴， ∵为的三等分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴的值为． 【点拨】本题考查了与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.2 图形的初步知识全章复习（9大考点22类题型） 目录 一．基础篇 1 【考点一】基本概念辨析 2 【题型1】判断关于直线、射线、线段的说法正误 2 【题型2】立体几何与平面几何的识别 2 【题型3】 “两点之间的距离” 与 “线段的长度” 的概念辨析 3 【考点二】基本识图 3 【题型4】识别图形中的直线、射线、线段的数量 3 【题型5】角的三种方法表示 4 【题型6】点与直线、直线与直线的位置关系 5 【考点三】基本事实 5 【题型7】基本事实的辨析与应用 5 【考点四】基本作图 6 【题型8】画一条线段等于已知线段 6 【题型9】作线段的中点 7 【考点五】基本运算 8 【题型10】角度制运算 8 【题型11】钟面角与方位角 8 【题型12】线段的基本运算 9 【题型13】角度的基本运算 9 【考点六】基本性质应用 10 【题型14】线段中点性质的运算 10 【题型15】角的平分线基本运算 11 【题型16】余角和补角的基本运算 12 二．培优篇 12 【考点七】直线与线段数量规律探究 12 【题型17】线段数量与直线交点个数规律探究 12 【题型18】角的个数规律探究 13 【考点八】线段与角的综合运算 14 【题型19】线段综合运算 14 【题型20】角的综合运算 14 【考点九】线段的动点与角的旋转探究 15 【题型21】线段动点问题综合探究 15 【题型22】角与旋转问题综合探究 16 一．基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】基本概念辨析 【题型1】判断关于直线、射线、线段的说法正误 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①延长直线AB至点C；②延长射线AB至点C；③反向延长射线AB至点C；④延长线段AB至点C；⑤反向延长线段AB至点C．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是 （填序号）． 【题型2】立体几何与平面几何的识别 【例题2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）图中属于柱体的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的立体图形中，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ． （填序号） 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示的立体图形中，含有曲面的是（   ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4） 【题型3】 “两点之间的距离” 与 “线段的长度” 的概念辨析 【例题3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）下列说法中，正确的是（       ） A．两点之间，直线最短 B．线段就是M，N两点之间的距离 C．在连接两点的所有连线中，最短的连线的长度就是这两点之间的距离 D．从北京到武汉，火车行驶的路程就是武汉到北京的距离 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·期末）以下说法正确的是（    ） A．线段上只有两个点 B．射线也可以叫做射线 C．直线的长度是50厘米 D．线段的长度就是A、B两点的距离 【变式2】已知点A、B、C三点在一条直线上，线段，线段，则线段的长度为 【考点二】基本识图 【题型4】识别图形中的直线、射线、线段的数量 【例题4】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（    ） A．3个 B．6个 C．8个 D．10个 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，，，，为直线上的四个点，图中共有 条线段，以点为端点的射线有 条，它们分别是 和 ． 【变式2】（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【题型5】角的三种方法表示 【例题5】（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： （1）有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） （2）如果你认为有错误，错误的答案为______________． （3）另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【变式1】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【题型6】点与直线、直线与直线的位置关系 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）请按要求画图： （1）点A在直线l上，点B和点C都在直线l外； （2）在平面上任意画出A，B，C三个点，过点A，B画直线l．说明点C和直线l的位置关系． 【变式1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： （1）画射线． （2）画线段和，它们相交于O． （3）画直线，连接和． （4）此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 【考点三】基本事实 【题型7】基本事实的辨析与应用 【例题7】（24-25七年级上·河南商丘·期末）下列三个生活、生产现象：①从A地到B地修建公路，只要尽可能沿着线段AB修建，就能缩短路程；②建筑工人在砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别固定一根木桩，然后拉一条直的细线作参照线；③用两个钉子可以把一根木条固定在墙上．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有 ．（填序号） 【变式1】（25-26七年级上·广西崇左·月考）小李准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为（如图），能解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．曲线比直线长 D．两点确定一条直线 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，在三角形中，，其理由是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段比射线短 D．以上均不正确 【考点四】基本作图 【题型8】画一条线段等于已知线段 【例题8】已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【变式1】（2025七年级上·湖北·专题练习）如图，已知三点A、B、C，请完成作图： （1）画直线、画射线； （2）连接，并在延长线上取点E，使得；（尺规作图并保留作图痕迹） 【变式2】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【题型9】作线段的中点 【例题9】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）根据下列语句画出图形：如图，已知A，B，C三点．    ①画线段，画射线，画直线； ②取线段的中点D，连接． 【变式1】按照下面语句画图，并回答问题： （1）画线段，画直线，画射线； （2）作线段的中点M，在线段上任意取一点N（点N不与端点A，C重合），连接； （3）通过测量发现“三角形的周长大于四边形的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是______． 【变式2】如图，已知A、B、C、D是平面内的四个点，请根据下列要求在所给的图中作图. ①.画直线AB； ②.画线段BC； ③.画射线AC； ④.画线段AD并取线段AD的中点E. 【考点五】基本运算 【题型10】角度制运算 【例题10】（25-26七年级上·山西临汾·月考）计算：（结果用度、分、秒表示） （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）单位换算： （1）； （2）　　　　　°； （3）； （4）________． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1） ′ ″． （2）计算： ． 【题型11】钟面角与方位角 【例题11】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）计算：（1） ° ′ ″； （2）如图，2点30分时，时针与分针所成的角为 度． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上4 点整时，时针与分针的夹角为（　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 方向，B岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【题型12】线段的基本运算 【例题12】（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，在直线上顺次取三点，点是线段中点，．求线段的长度． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·月考）点是直线上一点，若线段的长为4，，线段的长 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，已知，则线段的长度为（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 【题型13】角度的基本运算 【例题13】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，将长方形纸片沿和折叠成图示的平面图形， 和在同一条直线上．这时，的度数是多少?为什么? 【变式1】（25-26七年级上·河南新乡·月考）如图，一束光线照射到玻璃表面时，发生了折射和反射现象，已知，，，则反射光线与折射光线形成的的度数为 ． 【变式2】（2025七年级上·重庆·专题练习）将一副三角尺按下列不同位置摆放，满足的有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【考点六】基本性质应用 【题型14】线段中点性质的运算 【例题14】（24-25六年级上·上海·月考）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． （1）求的长． （2）若，求的长． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，点、、在同一直线上，，，点、分别是、的中点，则的长是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点C是线段的巧点，则最长为 ； 【题型15】角的平分线基本运算 【例题15】（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）把一副直角三角尺按如图方式拼在一起，其中，，． （1）求图1中的度数； （2）如图2，延长到点M，作的平分线，求的度数． 【变式1】（2025七年级上·陕西西安·专题练习）如图，一副三角板，其中，，，小明将点与点重合，且使平分，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，，平分，若， ． 【题型16】余角和补角的基本运算 【例题16】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）是否平分？试说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）一副三角尺按如图所示的方式摆放，且和互余，且比大，则的度数为（　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示，、都是直角， °． 二．培优篇 【考点七】直线与线段数量规律探究 【题型17】线段数量与直线交点个数规律探究 【例题17】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·河南周口·月考）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，…按这样的规律，若n条直线相交最多有36个交点，则此时n的值为 ． 【变式2】①如图1直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段； ②如图2直线l上有3个点，则图中有 条可用图中字母表示的射线，有 条线段； ③如图3直线上有n个点，则图中有 条可用图中字母表示的射线，有 条线段； ④应用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需 场比赛． 【题型18】角的个数规律探究 【例题18】（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 【变式1】如图，在锐角内部，画条射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角照此规律，画条不同射线，可得 个锐角．    【变式2】如图，当过O点画不重合的2条射线时，共组成1个角；当过O点画不重合的3条射线时，共组成3个角；当过O点画不重合的4条射线时，共组成6个角；…，根据以上规律，当过O点画不重合的10条射线时，共组成角的个数是 ． 【考点八】线段与角的综合运算 【题型19】线段综合运算 【例题19】（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）如图，已知线段，点M，C为线段上两点，点M为的中点，，． （1）求的长； （2）若点D为直线上一点，且，求的长． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，点B和点C把线段分成三部分，点M是线段的中点，，下列说法：①；②；③，正确的是 （填序号）． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，是线段上任意两点，是的中点，是的中点． （1）若，求的长； （2）若，你能用含和的式子表示线段的长度吗？若能，请直接写出答案；若不能，请说明理由． 【题型20】角的综合运算 【例题20】（25-26七年级上·山西太原·月考）如图，和都是直角，在的内部． （1）如果，那么____________． （2）找出除和之外相等的角：____________；如果，它们还会相等吗？____________（填“相等”或者“不相等”）． （3）若的度数为，那么的度数为____________（用含的代数式表示）． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，钟表上显示的时间是1时30分．设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点在内部（为钝角）引一条射线，再作平分平分，则的度数为 °． 【变式2】（25-26七年级上·福建厦门·月考）已知是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图①，若，求的度数； （2）将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，猜想与之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 【考点九】线段的动点与角的旋转探究 【题型21】线段动点问题综合探究 【例题21】（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为7，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． （1）当时，求点表示的数及线段的长度； （2）当点运动到线段的中点时，求的值； （3）当为何值时，点到点的距离与点到点的距离之差为4？ 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”．如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为 ． 【变式3】（25-26七年级上·广东茂名·月考）如图，B是线段上一动点，沿A→D→A以的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动时间为t秒（）． （1）当时，求线段与线段的长度． （2）用含t的代数式表示运动过程中的长． （3）在运动过程中，若中点为E，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 【题型22】角与旋转问题综合探究 【例题22】（21-22七年级上·河北唐山·期中）如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． （1）求的度数； （2）若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； （3）在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（    ）． A．5或23 B．5或21 C．7或23 D．7或21 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且． （1）若射线平分，则 ． （2）射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动，开始时与重合，其中与重合、与重合，若以每秒的速度顺时针运动．试探究是否存在运动到某一时刻使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． （3）将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，平分，为的三等分线，，若．直接写出的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $